平面简谐波--波动方程教学文案.ppt

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1、平面简谐波-波动方程因因 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的轴方向前进的平面简谐波的波动方程波动方程。利用关系式利用关系式 和和 ，得，得其中其中平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式波动表式的意义：波动表式的意义：上式代表上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率处质点在其平衡位置附近以角频率 作简谐运动。作简谐运动。即即x 一定一定。令。令x=x1，则质点位移，则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函数。t 一定一定。令。令t=t1，则

2、质点位移，则质点位移y 仅是仅是x 的函数。的函数。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式即即 以以y为纵坐标、为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，为横坐标，得到一条余弦曲线，它是它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线所构成的波形曲线(波形图波形图)。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式沿波线方向，任意两点沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：的简谐运动相位差为：x、t 都变化都变化。实线：实线：t1 时刻波形时刻波形；虚线：

3、虚线：t2 时刻波形时刻波形x=u t波的传播波的传播平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式当当t=t1时时，当当t=t1+t时，时，在在t1和和t1+t时刻时刻，对应的位移用对应的位移用x(1)和和x(2)表示，则表示，则 平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 令令x(2)=x(1)+ut，得得 在在t 时间内时间内,整个波形向波的传播方向移动了整个波形向波的传播方向移动了x=x(2)-x(1)=ut，波速，波速u 是整个波形向前传播的速是整个波形向前传播的速度。度。波速波速u 有时也称有时也称相速度相速度

4、。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 沿沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式O 点简谐运动方程：点简谐运动方程：y x oP 点的运动方程为点的运动方程为：平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式2.2.2.2.波动过程中质点的振动速度和加速度波动过程中质点的振动速度和加速度波动过程中质点的振动速度和加速度波动过程中质点的振动速度和加速度 对对 求求t 的偏导数的偏导数,得到得到 任何物理量任何物理量y，若它与时间、坐标间的关系满足上，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一

5、物理量就按波的形式传播。式，则这一物理量就按波的形式传播。速度速度加速度加速度例例题题 频频率率为为=12.5kHz的的平平面面余余弦弦纵纵波波沿沿细细长长的的金金属属棒棒传传播播，棒棒的的杨杨氏氏模模量量为为Y=1.9 1011N/m2，棒棒的的密密度度 =7.6 103kg/m3。如如以以棒棒上上某某点点取取为为坐坐标标原原点点，已已知知原原点点处处质质点点振振动动的的振振幅幅为为A=0.1mm，试试求求:(1)原原点点处处质质点点的的振振动动表表式式，(2)波波动动表表式式，(3)离离原原点点10cm处处质质点点的的振振动动表表式式，(4)离离原原点点20cm和和30cm两两点点处质点振

6、动的相位差，处质点振动的相位差，(5)在原点振动在原点振动0.0021s时的波形。时的波形。解解 棒中的波速棒中的波速 波长波长 波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导周期周期(1)(1)原点处质点的振动表式原点处质点的振动表式y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m(2)(2)波动表式波动表式式中式中x 以以m计计，t 以以s 计计。(3)(3)离原点离原点10cm处质点的振动表式处质点的振动表式 波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导可见此点的振动相位比原点落后，相位差为可见此点的振动相位比原

7、点落后，相位差为 ，或，或落后落后 ，即，即210-5s。(4)(4)该两点间的距离该两点间的距离 ，相应，相应的相位差为的相位差为 (5)(5)t=0.0021s时的波形为时的波形为 式中式中x以以m计。计。波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导5-3 5-3 5-3 5-3 波的能量波的能量波的能量波的能量 能流能流能流能流 弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。1.1.1.1.波的能量波的能量波的能量波的能量 考考虑虑棒棒中中的的体体积积

8、V，其其质质量量为为m(m=V)。当当波波动动传传播播到到该该体体积积元元时时，将将具具有有动动能能Wk和和弹弹性性势势能能Wp。平面简谐波平面简谐波 可以证明可以证明 波的能量波的能量波的能量波的能量体积元的总机械能体积元的总机械能W 对单个谐振子对单个谐振子 在在波波的的传传播播过过程程中中，任任一一体体积积元元都都在在不不断断地地接接受受和和放放出出能能量量，其其值值是是时时间间的的函函数数。与与振振动动情情形形相相比比，波波动传播能量，振动系统并不传播能量。动传播能量，振动系统并不传播能量。波的波的能量密度能量密度 ：介质中单位体积的波动能量。介质中单位体积的波动能量。通常取能量密度在

9、一个周期内的平均值通常取能量密度在一个周期内的平均值 2.2.2.2.波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导位于位于x 处的体积元处的体积元ab 的动能为的动能为 体积元体积元ab 的振速的振速波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导体积元体积元ab 的胁变的胁变 据杨氏模量定义和胡克定律据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为该积元所受弹性力为 体积元弹性势能体积元弹性势能 由由V=Sx,，结合波动表达式，结合波动表达式 最后得：最后得：若考虑平面余弦弹性横波若考虑平面余弦弹性横波,只要把上述计算中的只要把上述计算中的 和和 f 分别理解为体积元的切变和

10、切力分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量用切变模量G 代替代替杨氏模量杨氏模量Y，可得到同样的结果。，可得到同样的结果。波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导3.3.3.3.波的强度波的强度波的强度波的强度能流能流 在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积S，在单位时，在单位时间内通过间内通过S 的能量。的能量。平均能流：平均能流：平均能流密度平均能流密度或或波的强度波的强度 通过与波传播方向垂直的通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用单位面积的平均能流，用I 来表示，即来表示，即波的强度波的强度波的强度波的强度其中介质的特性阻抗其中介质的特性阻

11、抗 。I 的单位：的单位：瓦特瓦特/米米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不变的意义平面余弦行波振幅不变的意义:若若 ，有，有 。对于球面波，对于球面波，介质不吸收能量，介质不吸收能量时，通过两个球面的总能流相等时，通过两个球面的总能流相等球面波表达式：球面波表达式：式中式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。为波在离原点单位距离处振幅的数值。波的强度波的强度波的强度波的强度 例题例题 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为，液体的密度为1g/cm3，声速为，声速为1500m/s，求这时液体，求这时液体质点振动的振幅。质点振动的振幅。解解 因因 ，所以，所以 可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。波的强度波的强度波的强度波的强度此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢