五章节留数及其应用.ppt
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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform五章节留数及其应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Anal
2、ysis and Integral Transform第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点5.2 5.2 留数留数5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点 函数不解析的点称为奇点.如果函数 f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(
3、z)的孤立奇点.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 将函数 f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数.根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下：1.可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则称孤立奇点z0为 f(z)的可去奇点.f f(z z)=)=c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.+)+.+c cn n(z z-z z0 0)n n+.,
4、0|+.,0|z z-z z0 0|d d 则在圆域|z-z0|d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而 f(z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis an
5、d Integral Transform2.2.极点极点 如果在洛朗级数中只有有限多个如果在洛朗级数中只有有限多个z z-z z0 0的负幂项的负幂项,且其中关于且其中关于(z z-z z0 0)-1-1的最高幂为的最高幂为(z z-z z0 0)-m m,即即f f(z z)=)=c c-m m(z z-z z0 0)-m m+.+.+c c-2-2(z z-z z0 0)-2-2+c c-1-1(z z-z z0 0)-1-1+c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.()+.(m m 1,1,c c-m m 0),0),则称孤立奇点则称孤立奇点z z0 0为函数为函数 f f
6、(z z)的的m m级极级极点点.上式也可写成上式也可写成:其中其中 g g(z z)=)=c c-m m+c c-m m+1+1(z z-z z0 0)+)+c c-m m+2+2(z z-z z0 0)2 2+.,+.,在在|z z-z z0 0|d d 内是解析的函数内是解析的函数,且且 g g(z z0 0)0.0.反过来反过来,当任何一个函数当任何一个函数 f f(z z)能表示为能表示为(*)(*)的形式的形式,且且g g(z z0 0)0 0 时时,则则z z0 0是是 f f(z z)的的m m级极点级极点.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis
7、and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform如果如果z z0 0为为 f f(z z)的极点的极点,由由(*)(*)式知式知复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3.本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点.复变函数与积分变换复变函数与积分变换
8、Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform4.函数的零点与极点的关系 例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0
9、与z=1是它的一级与三级零点.根据这个定义,我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是:f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 ,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 因为,若 f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级
10、数:f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易证 z0是 f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0,cm0,等价于 f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0。例如 z=1是f(z)=z3-1的零点,由于 f(1)=3z2|z=1=3 0,从而知z=1是f(z)的一级零点.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 所以 在z0的去
11、心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.由于 中的 在z0解析,且 故 必在z0连续,所以给定复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Tran
12、sform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例3 3对对 讨论函数讨论函数 在在 处的性态。处的性态。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform5.2 5.2 留数留数1.1.留数的定义留数的定义2.如果函数如果函数f
13、 f(z z)在在z z0 0的邻域的邻域D D内解析内解析,那么根据柯西积分定那么根据柯西积分定理理 但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 未必再等于零.(先回顾P40例3.1.1)复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform两端沿C逐项积分:定义定义 复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis
14、and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral TransformDz1z2z3znC1C2C3CnC定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则2.留数定理留数定理复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform证明证明 把C内的孤立奇点zk(
15、k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意检查定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可.但如果知道奇点的类型,对求留数会更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Resf(z),z0=0.如果z0 是本性奇点,则只好将其展开成
16、洛朗级数.如果z0 是极点,则有如下规则:复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3.(3.(极点极点)留数的计算规则留数的计算规则规则规则2 2 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的的m m级极点级极点,则则事实上事实上,由于由于f f(z z)=)=c c-m m(z z-z z0 0)-m m+.+.+c c-2-2(z z-z z0 0)-2-2+c c-1-1(z z-z z0 0)-1-1
17、+c c0 0+c c1 1(z z-z z0 0)+.,)+.,(z z-z z0 0)m m f f(z z)=)=c c-m m+c c-m m+1+1(z z-z z0 0)+.+)+.+c c-1-1(z z-z z0 0)m m-1-1+c c0 0(z z-z z0 0)m m+.,+.,规则规则1 1 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的一级极点的一级极点,则则复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral T
18、ransform令令 z zz z0 0,右端的极限是右端的极限是(m m-1)!-1)!c c-1-1,两端除以两端除以(m m-1)!-1)!就是就是ResResf f(z z),),z z0 0,即得即得规则规则2 2,当当 m m=1=1时就是时就是规则规则1 1。复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral T
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