基于模糊推理的智能控制系统.ppt

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1、基于模糊推理的智能控制系统 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第3章 基于模糊推理的智能控制系统学习目标 了解模糊数学的相关理论了解模糊数学的相关理论 掌握模糊控制的基本思想掌握模糊控制的基本思想 掌握模糊控制器的原理掌握模糊控制器的原理 了解模糊控制系统的结构与设计方法了解模糊控制系统的结构与设计方法3.1 模糊控制的基本思想 以以以以往往往往的的的的各各各各种种种种传传传传统统统统控控控控制制制制方方方方法法法法均均均均是是是是建建建建立立立立在在

2、在在被被被被控控控控对对对对象象象象精精精精确确确确数数数数学学学学模模模模型型型型基基基基础础础础上上上上的的的的，然然然然而而而而，随随随随着着着着系系系系统统统统复复复复杂杂杂杂程程程程度度度度的提高，将难以建立系统的精确数学模型。的提高，将难以建立系统的精确数学模型。的提高，将难以建立系统的精确数学模型。的提高，将难以建立系统的精确数学模型。在在在在工工工工程程程程实实实实践践践践中中中中，人人人人们们们们发发发发现现现现，一一一一个个个个复复复复杂杂杂杂的的的的控控控控制制制制系系系系统统统统可可可可由由由由一一一一个个个个操操操操作作作作人人人人员员员员凭凭凭凭着着着着丰丰丰丰富富

3、富富的的的的实实实实践践践践经经经经验验验验得得得得到到到到满满满满意意意意的的的的控控控控制制制制效效效效果果果果。这这这这说说说说明明明明，如如如如果果果果通通通通过过过过模模模模拟拟拟拟人人人人脑脑脑脑的的的的思思思思维维维维方方方方法法法法设设设设计计计计控控控控制制制制器器器器，可可可可实实实实现现现现复复复复杂杂杂杂系系系系统统统统的的的的控控控控制制制制，由由由由此此此此产产产产生生生生了模糊控制。了模糊控制。了模糊控制。了模糊控制。3.1 模糊控制的基本思想 由测量装置、控制器、被控对象及执行机构组成的自由测量装置、控制器、被控对象及执行机构组成的自动控制系统，就是人们所悉知的

4、常规负反馈控制系统。动控制系统，就是人们所悉知的常规负反馈控制系统。图图3-1、3-2分别给出了手动控制和负反馈控制的方分别给出了手动控制和负反馈控制的方框图。框图。图3-2 常规反馈控制系统方框图 图3-1 手动控制方框图3.1 模糊控制的基本思想 模糊数学的创始人，著名的控制论专家Zadeh教授举过一个停车问题的例子，是非常富有启发性的问题。所谓停车问题是要把汽车停在拥挤的停车场上两辆车之间的一个空隙处。对于上述问题，从事控制理论研究者的解决方法是：记车C上的一个固定参考点的位置 ，记车C的方位 ，于是建立车的状态方程和运动方程分别为 (3-1)(3-2)3.1 模糊控制的基本思想 停车问

5、题就转化为寻找一个控制量停车问题就转化为寻找一个控制量u(t)，使其在，使其在满足各种约束的条件下把初始状态转移到终端状态中满足各种约束的条件下把初始状态转移到终端状态中去。去。汽车司机是这样操纵的，先让车向前运动，前轮先向右而后向左，然后使车向后运动，前轮仍先向右而后向左，经过多次反复，车将横向移动一个所需要的距离，最后向前开停在空隙处。这样，汽车司机通过一些不精确的观察，执行一些不精确的控制，却达到了准确停车的目的。3.1 模糊控制的基本思想 模模模模糊糊糊糊控控控控制制制制是是是是建建建建立立立立在在在在人人人人工工工工经经经经验验验验基基基基础础础础之之之之上上上上的的的的。对对对对于

6、于于于一一一一个个个个熟熟熟熟练练练练的的的的操操操操作作作作人人人人员员员员，他他他他往往往往往往往往凭凭凭凭借借借借丰丰丰丰富富富富的的的的实实实实践践践践经经经经验验验验，采采采采取取取取适适适适当当当当的的的的对对对对策策策策来来来来巧巧巧巧妙妙妙妙地地地地控控控控制制制制一一一一个个个个复复复复杂杂杂杂过过过过程程程程。若若若若能能能能将将将将这这这这些些些些熟熟熟熟练练练练操操操操作作作作员员员员的的的的实实实实践践践践经经经经验验验验加加加加以以以以总总总总结结结结和和和和描描描描述述述述，并并并并用用用用语语语语言言言言表表表表达达达达出出出出来来来来，就就就就会会会会得得得得

7、到到到到一一一一种种种种定定定定性性性性的的的的、不不不不精精精精确确确确的的的的控控控控制制制制规规规规则则则则。如如如如果果果果用用用用模模模模糊糊糊糊数数数数学学学学将将将将其其其其定定定定量量量量化化化化就就就就转转转转化化化化为为为为模模模模糊糊糊糊控控控控制制制制算算算算法法法法，形成模糊控制理论。形成模糊控制理论。形成模糊控制理论。形成模糊控制理论。3.1 模糊控制的基本思想模糊控制理论具有一些明显的特点：模糊控制理论具有一些明显的特点：模糊控制理论具有一些明显的特点：模糊控制理论具有一些明显的特点：（1 1 1 1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控）模糊控制不需要被控对

8、象的数学模型。模糊控）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。器，故无需知道被控对象的数学模型。器，故无需知道被控对象的数学模型。器，故无需知道被控对象的数学模型。（2 2 2 2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。）模糊控制是一种反映人类智慧

9、的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如模糊控制采用人类思维中的模糊量，如模糊控制采用人类思维中的模糊量，如模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高高高高”、“中中中中”、“低低低低”、“大大大大”、“小小小小”等，控制量由模糊推理等，控制量由模糊推理等，控制量由模糊推理等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。3.1 模糊控制的基本思想（3 3 3 3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心）模糊控制易于被人们接受。

10、模糊控制的核心）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如“今天气温高，则今天天气暖和今天气温高，则今天天气暖和今天气温高，则今天天气暖和今天气温高，则今天天气暖和”，易于被一般人，易于被一般人，易于被一般人，易于被一般人所接受。所接受。所接受。所接受。（4 4 4 4）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。）构造容易。模糊控制

11、规则易于软件实现。（5 5 5 5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。3.1 模糊控制的基本思想 总结人的控制行为，正是遵循反馈及反馈控制的思想。人的手动控制决策可以用语言加以描述，总结成一系列条件语句，即控制规则控制规则。运用微机的程序来实现这些控制规则，微机就起到了控制器的作用。于是，利用微机取代人可以对被控对象进行自

12、动控制。在描述控制规则的条件语句中的一些词，如“较大”、“稍小”、“偏高”等都具有一定的模糊性，因此用模糊集合来描述这些模糊条件语句，即组成了所谓的模糊控制器模糊控制器。在智能控制理论分支中，在智能控制理论分支中，模糊控制是目前为止，模糊控制是目前为止，理论相对来说最完善的。理论相对来说最完善的。3.2 模糊控制的数学基础一、基本概念集合集合 一般指具有某种属性的、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。元素或元元素或元 组成集合的事物。通常用大写字母A,B,CX,Y,Z表示集合，而用小写字母a,b,c,x,y,z表示集合内元素。论域论域 被考虑对象的所有元素的全体，一般用大写字母U表示。模糊集合

13、模糊集合模糊集合模糊集合 对大多数应用系统而言，其主要且重要的信息来源有两种，对大多数应用系统而言，其主要且重要的信息来源有两种，对大多数应用系统而言，其主要且重要的信息来源有两种，对大多数应用系统而言，其主要且重要的信息来源有两种，即来自传感器的数据信息和来自专家的语言信息。数据信息即来自传感器的数据信息和来自专家的语言信息。数据信息即来自传感器的数据信息和来自专家的语言信息。数据信息即来自传感器的数据信息和来自专家的语言信息。数据信息常用常用常用常用0.50.5，2 2，3 3，3.53.5等数字来表示，而语言信息则用诸如等数字来表示，而语言信息则用诸如等数字来表示，而语言信息则用诸如等数

14、字来表示，而语言信息则用诸如“大大大大”、“小小小小”、“中等中等中等中等”、“非常小非常小非常小非常小”等文字来表示。传统等文字来表示。传统等文字来表示。传统等文字来表示。传统的工程设计方法只能用数据信息而无法使用语言信息，而人的工程设计方法只能用数据信息而无法使用语言信息，而人的工程设计方法只能用数据信息而无法使用语言信息，而人的工程设计方法只能用数据信息而无法使用语言信息，而人类解决问题时所使用的大量知识是经验性的，它们通常是用类解决问题时所使用的大量知识是经验性的，它们通常是用类解决问题时所使用的大量知识是经验性的，它们通常是用类解决问题时所使用的大量知识是经验性的，它们通常是用语言信

15、息来描述。语言信息通常呈经验性，是模糊的。因此，语言信息来描述。语言信息通常呈经验性，是模糊的。因此，语言信息来描述。语言信息通常呈经验性，是模糊的。因此，语言信息来描述。语言信息通常呈经验性，是模糊的。因此，如何描述模糊语言信息成为解决问题的关键。如何描述模糊语言信息成为解决问题的关键。如何描述模糊语言信息成为解决问题的关键。如何描述模糊语言信息成为解决问题的关键。3.2 模糊控制的数学基础模糊集合的概念是由美国加利福尼亚大学著名教授模糊集合的概念是由美国加利福尼亚大学著名教授模糊集合的概念是由美国加利福尼亚大学著名教授模糊集合的概念是由美国加利福尼亚大学著名教授L.A.ZadehL.A.Z

16、adeh于于于于19651965年首先提出来的。模糊集合的引入，可将人年首先提出来的。模糊集合的引入，可将人年首先提出来的。模糊集合的引入，可将人年首先提出来的。模糊集合的引入，可将人的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来。模的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来。模的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来。模的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来。模糊集理论为人类提供了能充分利用语言信息的有效工具。糊集理论为人类提供了能充分利用语言信息的有效工具。糊集理论为人类提供了能充分利用语言信息的有效工具。糊集理论为人类提供了能充分利用语言信息的有效工具。模糊集合

17、是模糊控制的数学基础。模糊集合是模糊控制的数学基础。模糊集合是模糊控制的数学基础。模糊集合是模糊控制的数学基础。3.2 模糊控制的数学基础特征函数和隶属函数特征函数和隶属函数特征函数和隶属函数特征函数和隶属函数在数学上经常用到集合的概念。在数学上经常用到集合的概念。在数学上经常用到集合的概念。在数学上经常用到集合的概念。例如：集合例如：集合例如：集合例如：集合A A由由由由4 4个离散值个离散值个离散值个离散值x1x1，x2x2，x3x3，x4x4组成。组成。组成。组成。A=x1,x2,x3,x4A=x1,x2,x3,x4例如：集合例如：集合例如：集合例如：集合A A由由由由0 0到到到到1

18、1之间的连续实数值组成之间的连续实数值组成之间的连续实数值组成之间的连续实数值组成。3.2 模糊控制的数学基础以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素x x，只有两种可能：属于，只有两种可能：属于，只有两种可能：属于，只有两种可能：属于A A，不属于，不属于，不属于，不属于A A。这种特性可。这种特性可。这种特性可。这种特性可以用特征函数以用特征函数以用特征函数以用特征函数来描述：来描述：来描述：来描述：3.2 模糊控制的数学基础 为为为为了了了了表表表表示示示示模模模模糊糊糊糊概概

19、概概念念念念，需需需需要要要要引引引引入入入入模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合和和和和隶隶隶隶属属属属函函函函数的概念：数的概念：数的概念：数的概念：其中其中其中其中A A称为模糊集合，由称为模糊集合，由称为模糊集合，由称为模糊集合，由0,10,1及及及及构成。构成。构成。构成。表表表表示示示示元元元元素素素素x x属属属属于于于于模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合A A的的的的程程程程度度度度，取取取取值值值值范范范范围围围围为为为为0,10,1，称称称称 为为为为x x属属属属于于于于模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合A A的的的的隶属度。隶属度。隶属度。隶属度。3.2 模糊控制的数学基础3.

20、2 模糊控制的数学基础二、模糊集合的定义及表示方法 Zadeh在1965年对模糊集合的定义为：给定论域U，U 到0,1闭区间的任一映射都确定U 的一个模糊集合A，称为模糊集合的隶属函数。若A中的元素用x 表示，则 称为x属于A的隶属度。的取值范围为闭区间0,1，接近1，表示x属于A的程度高；接近0，表示x属于A的程度低。3.2 模糊控制的数学基础 模糊集合有很多表示方法，当论域U 为有限集x1,x2,xn时，通常有以下三种方式：1)Zadeh表示法表示法 用论域中的元素xi与其隶属度 按下式表示A，则 式中，并不表示“分数”，而是表示论城中的元素xi与其隶属度 之间的对应关系；“+”也不表示“

21、求和”，而是表示模糊集合在论域U上的整体。二、模糊集合的定义及表示方法 3.2 模糊控制的数学基础二、模糊集合的定义及表示方法 2)序偶表示法序偶表示法 用论域中的元素xi与其隶属度的构成序偶来表示且，则在序偶表示法中，隶属度为零的项可省略。3.2 模糊控制的数学基础二、模糊集合的定义及表示方法 3)向量表示法向量表示法 用论域中元素的隶属度的构成向量来表示，则在向量表示法中，隶属度为零的项不能省略。3.2 模糊控制的数学基础二、模糊集合的定义及表示方法 例例3.1 在整数1，2，10组成的论域中，即论域Ul，2，10，用A表示模糊集合“几个”。并设其元素的隶属度依次为0，0，0.3，0.7，

22、1，1，0.7，0.3，0，0。解：解：模糊集合A可表示为 或由上式可知，五个、六个的隶属程度为1，说明用“几个”表示五个六个的可能性最大；而四个、七个对于“几个”这个模糊概念的隶属度为0.7；通常不采用“几个”来表示一个、二个或九个、十个，因此它们的隶后函数为零。3.2 模糊控制的数学基础二、模糊集合的定义及表示方法 例例3.2 若以年龄为论域，并设U0,200，设y表示模糊集合“年轻”，O表示模糊集合“年老”。已知“年轻”和“年老”的隶属函数分别为3.2 模糊控制的数学基础二、模糊集合的定义及表示方法 解：解：因为论域是连续的，因而“年轻”和“年老”的模糊集合Y和O分别为或 3.2 模糊控

23、制的数学基础二、模糊集合的定义及表示方法 其隶属度函数曲线如图3-3所示。图3-3 “年轻”和“年老”的隶属度函数曲线 通过通过通过通过MatlabMatlab仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲线如图所示线如图所示线如图所示线如图所示,仿真程序仿真程序仿真程序仿真程序chap3_1.mchap3_1.mchap3_1.mchap3_1.m 三、模糊集合的运算三、模糊集合的运算三、模糊集合的运算三、模糊集合的运算11模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算 由由由

24、由于于于于模模模模糊糊糊糊集集集集是是是是用用用用隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数来来来来表表表表征征征征的的的的，因因因因此此此此两两两两个个个个子子子子集集集集之之之之间间间间的的的的运运运运算算算算实实实实际际际际上上上上就就就就是是是是逐逐逐逐点点点点对对对对隶隶隶隶属属属属度度度度作作作作相应的运算。相应的运算。相应的运算。相应的运算。（1 1）空集）空集）空集）空集 模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合的的的的空空空空集集集集为为为为普普普普通通通通集集集集，它它它它的的的的隶隶隶隶属属属属度度度度为为为为0 0，即，即，即，即3.2 模糊控制的数学基础（2 2）全集）全集）全集）全集

25、 模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合的的的的全全全全集集集集为为为为普普普普通通通通集集集集，它它它它的的的的隶隶隶隶属属属属度度度度为为为为1 1，即即即即（3 3）等集）等集）等集）等集 两两两两个个个个模模模模糊糊糊糊集集集集A A和和和和B B，若若若若对对对对所所所所有有有有元元元元素素素素u u，它它它它们们们们的的的的隶属函数相等，则隶属函数相等，则隶属函数相等，则隶属函数相等，则A A和和和和B B也相等。即也相等。即也相等。即也相等。即（4）补集）补集若若为为A的补集，则的补集，则例例如如，设设A为为“成成绩绩好好”的的模模糊糊集集，某某学生学生属于属于“成绩好成绩好”的隶属度

26、为：的隶属度为：则则属于属于“成绩差成绩差”的隶属度为：的隶属度为：（5）子集）子集若若B为为A的子集，则的子集，则（6）并集）并集若若C为为A和和B的并集，则的并集，则C=AB一般地，一般地，（7）交集）交集若若C为为A和和B的交集，则的交集，则C=AB一般地，一般地，（8）模糊运算的基本性质）模糊运算的基本性质模模糊糊集集合合除除具具有有上上述述基基本本运运算算性性质质外外，还具有下表所示的运算性质。还具有下表所示的运算性质。运运算算法法则则1幂等律幂等律AA=A，AA=A2交换律交换律AB=BA，AB=BA3结合律结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)4吸收律吸收律A(AB)

27、=AA(AB)=A5分配律分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)6复原律复原律7对偶律对偶律8两极律两极律AE=E，AE=AA=A，A=例例3.3设设求求AB，AB则则例例3.4试试证证普普通通集集合合中中的的互互补补律律在在模模糊糊集集合中不成立，即合中不成立，即证：设证：设，则则22模糊算子模糊算子模糊算子模糊算子 模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合的的的的逻逻逻逻辑辑辑辑运运运运算算算算实实实实质质质质上上上上就就就就是是是是隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数的的的的运运运运算算算算 过过过过 程程程程。采采采采 用用用用 隶隶隶隶 属属属属 函函函函 数数数数 的的

28、的的 取取取取 大大大大（MAXMAX）-取取取取 小小小小（MINMIN）进进进进行行行行模模模模糊糊糊糊集集集集合合合合的的的的并并并并、交交交交逻逻逻逻辑辑辑辑运运运运算算算算是是是是目目目目前前前前最最最最常常常常用用用用的的的的方方方方法法法法。但但但但还还还还有有有有其其其其它它它它公公公公式式式式，这这这这些些些些公公公公式式式式统统统统称称称称为为为为“模糊算子模糊算子模糊算子模糊算子”。设有模糊集合设有模糊集合设有模糊集合设有模糊集合A A、B B和和和和C C，常用的模糊算子如下：，常用的模糊算子如下：，常用的模糊算子如下：，常用的模糊算子如下：（1）交运算算子）交运算算子

29、设设C=AB，有三种模糊算子：，有三种模糊算子：模糊交算子模糊交算子代数积算子代数积算子有界积算子有界积算子（2）并运算算子）并运算算子设设C=AB，有三种模糊算子：，有三种模糊算子：模糊并算子模糊并算子代数和代数和算子算子有界和算子有界和算子（3 3）平衡算子）平衡算子）平衡算子）平衡算子 当当当当隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数取取取取大大大大、取取取取小小小小运运运运算算算算时时时时，不不不不可可可可避避避避免免免免地地地地要要要要丢丢丢丢失失失失部部部部分分分分信信信信息息息息，采采采采用用用用一一一一种种种种平平平平衡衡衡衡算算算算子子子子，即即即即“算算算算子子子子”可可可可起起起

30、起到到到到补偿作用。补偿作用。补偿作用。补偿作用。设设设设A A和和和和B B经过平衡运算得到经过平衡运算得到经过平衡运算得到经过平衡运算得到C C，则，则，则，则 其中其中其中其中 取值为取值为取值为取值为00，11。当当当当=0=0时，时，时，时，相当于，相当于，相当于，相当于ABAB时的算子。时的算子。时的算子。时的算子。当当当当=1=1，相当于，相当于，相当于，相当于A AB B时的代数和算子。时的代数和算子。时的代数和算子。时的代数和算子。平平平平衡衡衡衡算算算算子子子子目目目目前前前前已已已已经经经经应应应应用用用用于于于于德德德德国国国国InformInform公公公公司司司司研

31、研研研制制制制的著名模糊控制软件的著名模糊控制软件的著名模糊控制软件的著名模糊控制软件Fuzzy-TechFuzzy-Tech中。中。中。中。3分解定理与扩展定理分解定理与扩展定理模糊集合是经典集合的扩充 模糊集合可以用经典集合来表示模糊集合与经典集合的关系 模糊集合能如实地反映客观存在着的模糊概念，但当我们最后要作出判断或决策时，往往又需要将模糊集合变成各种不同的普通集合.例如，某工厂生产的一批产品（作为论域），经过质量检验结果，每个产品都有一个从1到0的质量等级标志，从而构成了论域上的一个模糊子集.如果想要从中将合格产品分离出来，就必须制定一个合格标准 ，也就是一个确定的等级标志.规定，凡

32、质量等级标志大于或等于的，一律认为是合格产品，并且赋予这部分产品的质量标志为1，其他不合格产品的质量标志一律赋予0，于是我们就从模糊集中分离出所需要的一个普通集合.范例奴隶社会 =1/夏+1/商+0.9/西周+0.7/春秋+0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉如果将隶属度0.5 的朝代看作真正的奴隶社会，将模糊集合奴隶社会转化为经典集合奴隶社会0.5，则 奴隶社会0.5=？水平截集的定义定义：设AF(X)（F(X)是指X上的所有模糊子集构 成的集合），对任意实数0,1，称经典集合 A=x|x X，A(x)为A的 水平截集水平截集，或-截集截集，称 A=x|x X，A(x)为A的

33、-强截集强截集图图A的的 截集截集Question.模糊集合A的-截集A是什么集合？A的特征函数是什么？-截集的特征函数一个模糊集A的水平截集是普通集合，其特征函数为：水平截集越大，则A越小，或者说A包含的元素越少。Question.什么时候A最小？模糊集的核与支集=1时，A最小，称截集A=1为模糊集A的“核”，若A=1非空，则称A为正规模糊集模糊集A的支集 suppA=x|xX,A(x)0 核与支集的关系：核A=1中的元素完全隶属于A，随着值的下降，A逐渐扩张，最后扩张为A的支集suppA模糊集模糊集A的的SuppA,KerA模糊集与的乘积运算A是X上的模糊子集，定义A仍然表示X上的模糊子集

34、，称为与A的“乘积”，其隶属函数规定为：水平截集A与的乘积运算A是U的经典子集，定义A表示U上的模糊子集，称为与A的“乘积”，其隶属函数规定为：模糊集合的分解模模糊糊集集合合A的的截截集集是是普普通通集集合合.由由1趋趋向向0时时，截截集集就就由由核核变变成成为为支支集集（均均为为普普通通集集），这这就就使使我我们们想想到到，有有可可能能用用普普通通集集来来构构造造一一个个模模糊糊集集，分分解解定定理理提提供了具体的实现方法供了具体的实现方法.分解定理分解定理分解定理：分解定理：设设A F F(U),),则则证证因为因为A 是普通集合，且其特征函数是普通集合，且其特征函数于是，对于是，对 u

35、U 有有 即即模糊集模糊集 A 的隶属函数的隶属函数 分解定理反映了模糊集与普通集的相互转化关系分解定理反映了模糊集与普通集的相互转化关系例例1设模糊集设模糊集取取 截集得截集得将将 截集写成模糊集的形式，再由数乘模糊集定义，截集写成模糊集的形式，再由数乘模糊集定义，有有0.6A0.6=0.6A(u)应用分解定理构成原来的模糊集应用分解定理构成原来的模糊集图图1.12分解定理示意图分解定理示意图分解定理表明了一个模糊集可分解为无数个模糊子集的并集，而每一分解定理表明了一个模糊集可分解为无数个模糊子集的并集，而每一个模糊子集又可由普通集合得到，因此截集和分解定理是联系模糊子个模糊子集又可由普通集

36、合得到，因此截集和分解定理是联系模糊子集与普通子集间的桥梁集与普通子集间的桥梁.通过它们，从方法论的角度看，任何模糊集的通过它们，从方法论的角度看，任何模糊集的问题，都可以通过分解定理而用经典集合论的方法来处理。问题，都可以通过分解定理而用经典集合论的方法来处理。例例2设设U=u1,u2,u3,u4,u5,试求出模糊集试求出模糊集A.解解由于含有元素由于含有元素u1的一切的一切A 中，最大的中，最大的 值为值为0.7，所以，所以，A(u1)=0.7,含有元素含有元素u2的一切的一切A 中，中，最大的最大的 值为值为0.5，所以，所以,A(u2)=0.5,类似可得类似可得,A(u3)=1,A(u

37、4)=0.2,A(u5)=0.6,所以，模糊集所以，模糊集A可可表表示为示为扩展原理是模糊数学的三个基本定理(分解定理,表现定理,扩展原理)之一,有着广泛的用途表现定理涉及到集合套理论,数学味浓了些,而在模糊数学的实际应用中,它的用处也不是很大,对此有兴趣的读者,可查阅有关的模糊数学著作.让我们从一个实际问题来引入扩展原理.东大图书馆的全部藏书是个分明集合,记为X.每本书都有一个价格.如果把每本书与它价格对应起来,则得到一个从X 到价格集合R(实数集合)的分明映射f,即 f:X R书|价格现在给出X 上的3个模糊集:大部头的书，厚书，薄书。一般说来,这三类书的价格分别为3个模糊集:很贵，比较贵

38、，不贵。也就是说,这三类书与它们的价格之间也存在着一种对应关系F，现在的问题是能否把f 扩展成F。这个问题的数学提法是:给定分明映射f:X Y,能否由f 诱导出一个从F(X)到F(Y)的模糊映射?扩展原理正是由此而引的.扩展原理扩展原理给定分明映射f:X Y.则(1)由f 可以诱导出F(X)到F(Y)的模糊映射F其中 (2)由f 可以诱导出从F(Y)到F(X)的模糊映射F-1:其中课内作业2道课内作业当堂完成上交，算一次成绩。课内作业1.论域X=1,2,10，定义X上的两个模糊集合：大=A=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10 小=B=1/1+0.8/2+0

39、.6/3+0.4/4+0.2/5求：C=不大,D=不小,E=或大或小,F=不大 也不小2.设论域X=0,1，A是X上的模糊集合，其隶属函数为A(x)=x，试求A 和A 的隶属函数，并做出解释。1答案2答案3.2 模糊控制的数学基础四、隶属函数 隶属函数是对模糊概念的定量描述，正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出

40、。例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。3.2 模糊控制的数学基础四、隶属函数对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶届函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶届函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。目目目目前前前前还还还还没没没没有有有有成成成成熟熟熟熟的的的的方方方方法法法法来来来来确确确确定定定

41、定隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数，主主主主要要要要还还还还停停停停留留留留在在在在经经经经验验验验和和和和实实实实验验验验的的的的基基基基础础础础上上上上。通通通通常常常常的的的的方方方方法法法法是是是是初初初初步步步步确确确确定定定定粗粗粗粗略略略略的的的的隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数，然然然然后后后后通通通通过过过过“学学学学习习习习”和和和和实实实实践践践践来来来来不不不不断断断断地地地地调调调调整整整整和和和和完完完完善善善善。遵遵遵遵照照照照这这这这一一一一原原原原则则则则的的的的隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数选择方法有以下几种。选择方法有以下几种。选择方法有以下几种。选择方

42、法有以下几种。3.2 模糊控制的数学基础四、隶属函数（1 1）模糊统计法）模糊统计法）模糊统计法）模糊统计法 根根根根据据据据所所所所提提提提出出出出的的的的模模模模糊糊糊糊概概概概念念念念进进进进行行行行调调调调查查查查统统统统计计计计，提提提提出出出出与与与与之之之之对对对对应应应应的的的的模模模模糊糊糊糊集集集集A A，通通通通过过过过统统统统计计计计实实实实验验验验，确确确确定定定定不不不不同同同同元素隶属于元素隶属于元素隶属于元素隶属于A A的程度。的程度。的程度。的程度。对模糊集对模糊集对模糊集对模糊集A A的隶属度的隶属度的隶属度的隶属度=（2 2）主观经验法）主观经验法）主观经

43、验法）主观经验法 当当当当论论论论域域域域为为为为离离离离散散散散论论论论域域域域时时时时，可可可可根根根根据据据据主主主主观观观观认认认认识识识识，结结结结合合合合个个个个人人人人经经经经验验验验，经经经经过过过过分分分分析析析析和和和和推推推推理理理理，直直直直接接接接给给给给出出出出隶隶隶隶属属属属度度度度。这这这这种种种种确定隶属函数的方法已经被广泛应用。确定隶属函数的方法已经被广泛应用。确定隶属函数的方法已经被广泛应用。确定隶属函数的方法已经被广泛应用。（3 3）神经网络法）神经网络法）神经网络法）神经网络法利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成利用神经网络的学习功能，由神经网络

44、自动生成利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的值。值。值。值。1 1、几种典型的隶属函数、几种典型的隶属函数、几种典型的隶属函数、几种典型的隶属函数 典典典典型型型型的的的的隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数有有有有1111种种种种，即即即即双双双双S S形形形形隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数（dsigmfdsigmf）、联联联联合合合合高高高高斯斯斯斯型型型型隶隶隶隶属属属

45、属函函函函数数数数（gauss2mfgauss2mf）、高高高高斯斯斯斯型型型型隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数（gaussmfgaussmf）、广广广广义义义义钟钟钟钟形形形形隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数（gbellmfgbellmf）、IIII型型型型隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数(pimf)(pimf)、双双双双S S形形形形乘乘乘乘积积积积隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数（psigmfpsigmf）、S S状状状状隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数（smfsmf）、S S形形形形隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数（sigmfsigmf）、梯梯梯梯形形形形隶隶隶隶属属属属函函函函数数数

46、数（trapmftrapmf）、三三三三角角角角形形形形隶隶隶隶属函数（属函数（属函数（属函数（trimftrimf）、）、）、）、Z Z形隶属函数（形隶属函数（形隶属函数（形隶属函数（zmfzmf）。）。）。）。在在在在模模模模糊糊糊糊控控控控制制制制中中中中应应应应用用用用较较较较多多多多的的的的隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数有有有有以以以以下下下下6 6种种种种隶隶隶隶属函数。属函数。属函数。属函数。（1 1）高斯型隶属函数）高斯型隶属函数）高斯型隶属函数）高斯型隶属函数高斯型隶属函数由两个参数高斯型隶属函数由两个参数高斯型隶属函数由两个参数高斯型隶属函数由两个参数和和和和cc确定：确

47、定：确定：确定：其中参数其中参数其中参数其中参数 通常为正通常为正通常为正通常为正(方差方差方差方差)，参数，参数，参数，参数c c用于确定曲线的用于确定曲线的用于确定曲线的用于确定曲线的中心（均值）。中心（均值）。中心（均值）。中心（均值）。MatlabMatlab表示为表示为表示为表示为 图图高斯型隶属函数（高斯型隶属函数（M=1）(2)(2)广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数由三个参数广义钟型隶属函数由三个参数广义钟型隶属函数由三个参数广义钟型隶属函数由三个参数a a，b b，c c确定：确定：确定：确定：其中参数其中参数其中参数其中参数a,

48、ba,b通常为正，参数通常为正，参数通常为正，参数通常为正，参数c c用于确定曲线的中心。用于确定曲线的中心。用于确定曲线的中心。用于确定曲线的中心。MatlabMatlab表示为表示为表示为表示为图图广义钟形隶属函数广义钟形隶属函数（M=2）(3)S(3)S形隶属函数形隶属函数形隶属函数形隶属函数SS形函数形函数形函数形函数sigmf(x,ac)sigmf(x,ac)由参数由参数由参数由参数a a和和和和c c决定：决定：决定：决定：其其其其中中中中参参参参数数数数a a的的的的正正正正负负负负符符符符号号号号决决决决定定定定了了了了S S形形形形隶隶隶隶属属属属函函函函数数数数的的的的开开

49、开开口口口口朝朝朝朝左左左左或或或或朝朝朝朝右右右右，用用用用来来来来表表表表示示示示“正正正正大大大大”或或或或“负负负负大大大大”的的的的概概概概念。念。念。念。MatlabMatlab表示为表示为表示为表示为 图图S形隶属函数（形隶属函数（M=3）（4 4）梯形隶属函数）梯形隶属函数）梯形隶属函数）梯形隶属函数梯形曲线可由四个参数梯形曲线可由四个参数梯形曲线可由四个参数梯形曲线可由四个参数a a，b b，c c，d d确定：确定：确定：确定：其其其其中中中中参参参参数数数数a a和和和和d d确确确确定定定定梯梯梯梯形形形形的的的的“脚脚脚脚”，而而而而参参参参数数数数b b和和和和c

50、c确确确确定定定定梯形的梯形的梯形的梯形的“肩膀肩膀肩膀肩膀”。MatlabMatlab表示为：表示为：表示为：表示为：图图梯形隶属函数梯形隶属函数（M=4）(5)(5)三角形隶属函数三角形隶属函数三角形隶属函数三角形隶属函数 三三三三角角角角形形形形曲曲曲曲线线线线的的的的形形形形状状状状由由由由三三三三个个个个参参参参数数数数a a，b b，c c确确确确定：定：定：定：其其其其中中中中参参参参数数数数a a和和和和c c确确确确定定定定三三三三角角角角形形形形的的的的“脚脚脚脚”，而而而而参参参参数数数数b b确定三角形的确定三角形的确定三角形的确定三角形的“峰峰峰峰”。MatlabMa