复变函数及积分变换第八章.ppt

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1、复变函数及积分变换第八章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望8.1 拉普拉斯变换定义定义8.1 设函数f(t)当 时有定义，而且积分 在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的函数记为 F(s)=Lf(s)=.称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉拉普拉斯变换普拉斯变换(或称为象函数象函数).若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的拉拉普拉斯逆变换普拉斯逆变换(或称为原象函数原象函数)，记作f

2、(t)=L-1 F(t).例8.1 求阶跃函数u(t)=的拉普拉斯变换.解：Lu(s)=例8.2 求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数.解：当Re(s)Re(a)时，Lf(s)=即是 Leatu(t)(s)=,Re(s)Re(a)例8.3 求函数tn的拉普拉斯变换，其中n是正整数.解：Ltn(s)=用分部积分法，得所以有 Ltn=Ltn-1.当n=1时 Lt(s)=当n=2时，有 Lt2(s)=Ltn(s)=定理8.1若函数f(t)满足下列条件：1)在t0的任意有限区间上分段连续；2)存在常数M0与00，使得即是当t时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数函数，0称为函数f(

3、t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉斯变换在半平面Re(s)0上存在，右端的积分在闭区域Re(s)0 上绝对收敛且一致收敛，并且在半平面Re(s)0 内，F(s)为解析函数.证明：设=Re(s),，则由条件2)有所以在Re(s)上存在.右端积分在Re(s)上也是绝对且一致收敛.积分与微分的次序可以交换，于是有由拉普拉斯变换的定义，得所以，在 上可导.由的任意性，知 在 上存在，且为解析函数.定理得证.例8.4 求正弦函数sinkt的拉普拉斯变换，其中k为实数.解：当 时，有 余弦函数coskt的拉普拉斯变换例8.5 求函数 的拉普拉斯变换，其中 为实数.解：当 时，f(t)不满足定理8.1的

4、条件，因为当时t0，但函数f(t)的拉普拉斯变换在 是存在且解析的.当 时，有在 上，函数 存在.同理，由故 存在，即是在 内，函数F(s)解析.当 时，函数 满足定理8.1的条件，因此F(t)的拉普拉斯变换在 是存在且解析.当s为实数，且s0时，有由于F(s)和 在半平面 上均为解析函数，而且在正实轴上相等，因此，由解析函数的唯一性定理知道，在区域 上处处相等，即是例8.6 求周期为2a的函数的拉普拉斯变换.解：由拉普拉斯变换的定义，有 令 ，则有根据函数的定义，有所以，记 .当 时，有因此有故有单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换 例8.7 求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换.解：8.2 拉普

5、拉斯变换的性质定理8.2 对函数的拉普拉斯变换有下列性质成立.1.（线性性质）设，为常数，记 ，则有 或有 2.（延迟性质）若 ，则对 ，有 或有 3.（位移性质）记 .对常数s0，若 ，则有证明：性质1说明函数的线性组合的拉普拉斯变换等于各函数的拉普拉斯变换的线性组合.证明性质2 当t0时，上式左端第二个积分的极限为零，即故有例8.19 求函数 的拉普拉斯逆变换.解：函数F(s)有两个单极点 和 所以，当t0时，有例8.21 求函数 的拉普拉斯逆变换.解：由拉普拉斯逆变换公式，有由拉普拉斯变换的位移性质，有所以因此8.4 拉普拉斯变换的应用例8.23 求初值问题 在区间 上的解.解：记 .在第一式两边取拉普拉斯变换，得解代数方程，有其中 求拉普拉斯逆变换，得应用拉普拉斯变换求常系数线性微分方程问题的主要步骤有：1.对方程两边取拉普拉斯变换，利用初值条件得到关于像函数F(s)的代数方程；2.求解关于F(s)的代数方程，得到F(s)的表达式；3.对F(s)的表达式取拉普拉斯逆变换，求出f(t)，得微分方程的解.例8.24 求方程组满足初始条件 的解.解：记 .对方程组两边取拉普拉斯变换，并考虑初始条件，则有将方程组整理化简得解代数方程组，得Y(s)的原像函数具有两个二级极点：，所以，方程组的解为