多自由度体系强迫振动.ppt

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1、多自由度体系强迫振动 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望强迫振动，振型叠加法强迫振动，振型叠加法 一、振动方程一、振动方程 1.柔度法柔度法 v2.刚度法刚度法 考虑第考虑第i质点的受力平衡质点的受力平衡 二、振动方程的解二、振动方程的解 当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。其形式为其形式为 三、振型叠加法三、振型叠加法 1.主振型的正交性主振型的正交性 刚度法表示的振型方程刚度法表示

2、的振型方程 考虑第考虑第 j 振型方程振型方程 在上式中左乘在上式中左乘-（1）再考虑第再考虑第 i 振型振型 在上式中左乘在上式中左乘-(2)求（求（2）式的转置）式的转置-（3）由（由（1），（），（3）两式相减，得）两式相减，得 由于由于 ，所以有，所以有 振型关于质量矩阵的正交性，又振型关于质量矩阵的正交性，又称为第一正交性称为第一正交性 振型关于刚度矩阵的正交性，又称为振型关于刚度矩阵的正交性，又称为第二正交性第二正交性-（1）2.振型叠加法振型叠加法 n个质点的振动具有个质点的振动具有n个振型，这个振型，这n个振型是线性无关的，在个振型是线性无关的，在数学上构成数学上构成n维空间的

3、一组基底。故，维空间的一组基底。故，n个质点的振动的位个质点的振动的位移反应可写作移反应可写作 称为广义坐标-称为振型矩阵 v又可写作 现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：称为阻尼矩阵。其意义如下称为阻尼矩阵。其意义如下 i=1，2，.，n。它是由各质。它是由各质点的速度引起的在点的速度引起的在 i 质点的阻质点的阻尼力的叠加尼力的叠加 方程是藕合的，为了解藕，令方程是藕合的，为了解藕，令 式中，式中，为两个常数，可由前两个振型获得为两个常数，可由前两个振型获得 把 代入上述方程以以 左乘上式，先考虑其第一项的系数左乘上式，先考虑其第一项的系数 注意到正

4、交性，上式为：注意到正交性，上式为：同理，方程左边第三项的系数变成同理，方程左边第三项的系数变成 记则，方程左边第二项的系数变成则，方程左边第二项的系数变成 记方程解藕为：方程解藕为：记求出求出 后，利用后，利用求位移反应求位移反应计算举例计算举例 1求图示结构的最大动位移反应，并作最大动力弯矩图。求图示结构的最大动位移反应，并作最大动力弯矩图。已知，各杆长已知，各杆长L，不计阻尼。不计阻尼。Psint mmEIEIEIEI1=解：解：1）两个动力自由度，时刻）两个动力自由度，时刻 t 质点的位置如图质点的位置如图 2）用刚度法建立振动方程）用刚度法建立振动方程 在时刻在时刻 t,2个质点都处

5、于平衡个质点都处于平衡平衡方程：平衡方程：m1m2恢复力恢复力FEK1及及FEK2都是刚架提供的都是刚架提供的求恢复力求恢复力122个质点分别有不同的位移，不容个质点分别有不同的位移，不容易确定各自恢复力的大小。为此，易确定各自恢复力的大小。为此，仍然采用叠加法。仍然采用叠加法。1K11K21支杆支杆 1 单位位移单位位移3 i/LK121K22支杆支杆 2 单位位移单位位移6 i/L6 i/L3 i/L6 i/Lv求恢复力求恢复力当质点各有位移当质点各有位移 ，时，由叠加原理时，由叠加原理式中v矩阵表达式矩阵表达式3）方程的解）方程的解-最大动位移最大动位移以代入方程中代入方程中此就是最大动

6、位移此就是最大动位移v4)最大动力弯矩图最大动力弯矩图 1K11K21支杆支杆 1 单位位移单位位移3 i/LK121K22支杆支杆 2 单位位移单位位移6 i/L6 i/L3 i/L6 i/L4PL/134PL/134PL/13PL/134PL/13例题例题2.求质点的最大动位移，并绘最大动力弯矩图。已知，动求质点的最大动位移，并绘最大动力弯矩图。已知，动力荷载幅值为力荷载幅值为1KN，EI=9103 kNm2 ，不计阻尼，不计阻尼。2m2m1sint mEIEI1sint m解：解：1)2个动力自由度，用柔度法个动力自由度，用柔度法 2）任意时刻）任意时刻 t 质点的位置如图质点的位置如图

7、3）振动方程的形式）振动方程的形式1sint m 由由2 个方向的惯性力个方向的惯性力及动力荷载共同产生及动力荷载共同产生建立方程的依据：建立方程的依据：4）求方程中各系数）求方程中各系数P=1P=1P=1222MP图图求出各系数求出各系数5）解方程解方程代入振动方程代入振动方程解得两质点的位移幅值（最大动位移）：解得两质点的位移幅值（最大动位移）：米米6）作最大动力弯矩图）作最大动力弯矩图P=1P=1P=1222MP图v最大惯性力最大惯性力P=1P=1P=1222MP图1.5652 1.8261 动载向右1.5652 2.1738 动载向左例题例题3用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知

8、，用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，1=2=0.10，动力荷载幅值为，动力荷载幅值为1KN，EI=9103kNm2 解：解：1)求自振频率和振型求自振频率和振型 2m2m1sint mEIEI用位移法或直接求柔度矩阵的逆，不难得出刚度矩阵用位移法或直接求柔度矩阵的逆，不难得出刚度矩阵 K2)求广义质量、广义刚度、广义荷载求广义质量、广义刚度、广义荷载-（1）-（2）3）求解（）求解（1）、（）、（2）可用杜哈美积分）可用杜哈美积分 4）位移反应）位移反应 整理后得整理后得 与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的作用减小了作

9、用减小了2.4%2.4%；水平位移减小了；水平位移减小了38.0%38.0%。米米不考虑阻尼影响结果不考虑阻尼影响结果例题例题4LKmmKmmK11K21KmmK12K22LKmm如何调整如何调整 m 及及 KN 使得上质点不振动？使得上质点不振动？例题例题5m1m2EIEIEIEILL例题例题6LLL/2L/2AEIEIEIEI1=mm1K11K211K12K22怎么建立方程？怎么建立方程？运用之妙，存乎于心运用之妙，存乎于心正确的受力分析，是解决问题的前提正确的受力分析，是解决问题的前提q4m3m3mEIEI你能画出下列结构的变形图吗？你能画出下列结构的变形图吗？q4m3m3mEIEI4.5q4.5q3P=1M=114/3M=114/34.5qP=14PP跷跷板4m3m3mEIEIm你能建立质点的振动方程吗？你能建立质点的振动方程吗？3P=14.5q4PP