扬州大学高等代数课件(北大三版)--第二章-行列式演示教学.ppt

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1、高等代数2行列式扬州大学高等代数课件(北大三版)-第二章-行列式高等代数2行列式2.1 2.1 引言引言 解方程是代数中一个基本问题，在中学我们学过一元、二元、三元以至四元一次线性方程组。在解线性方程组时，我们曾用代入消元法和加减消元法来解线性方程组。例如，对二元一次方程组（2.1.1）利用加减消元法，由和 得 高等代数2行列式若，则有我们用记号表示，+高等代数2行列式若，则是方程组（2.1.1）的公式解。对三元一次线性方程组（2.1.2）若+高等代数2行列式则 是方程组（2.1.2）的公式解。这里是分别用代替中第1 列，第2列，第3列所得的行列式。由此，我们引入了二阶行列式和三阶行列式的定义

2、，同时给出了二元一次和三元一次线性方程组的公式解。我们自然要问，对于n元一次线性方程组（2.1.3）高等代数2行列式是否也有类似于（2.1.1)、（2.1.2）的公式解？这首先就必须解决：能否把二阶、三阶行列式推广到n阶行列式？要解决这个问题，必须回答以下一系列问题：l这个n阶行列式如何定义？ln阶行列式中一共包含有多少项？l每一项由哪些元素组成？l哪些项前面带正号？l哪些项前面带负号？有了n阶行列式的定义后，我们才能研究方程组（2.1.3）有没有类似于二元、三元方程组的公式解。高等代数2行列式2.2 排列排列高等代数2行列式一、排列与对换n排列的定义：由n个数码1，2，n组成的一个无重复的有

3、序数组称为这n个数码的一个排列，简称为n元排列。例如，312是一个3元排列，2341是一个4元排列，45321是一个5元排列，等等。3元排列共有多少种不同的排列？123 132 213 231 312 321n元排列共有多少种不同的排列？在n元排列中，只有123n这个排列是按自然顺序排列，其他排列或多或少破坏自然排列。高等代数2行列式n反序的定义：在一个n元排列中，如果有一个较大的数码排在一个较小的数码前面，则称这两个数码在这个排列中构成一个反序，一个n元排列中所有反序的总和称为这个排列的反序数，记为或。例如：一般地，这是计算一个n元排列的反序数的一般方法，特别在证明题中有用。高等代数2行列式

4、n对换的定义：在一个n元排列中，如果交换某两个数码的位置而别的数码不动，则称对这个排列施行了一个对换。如果交换的两个数码是 和，就把这个对换记为例如问题1：任意两个n元排列是否可经一系列对换而互变？引理1：任意一个n元排列 可经一系列对换变为自然排列12n。证明（用归纳法）：1、当n=2时，结论显然成立。2、假设结论对n-1元排列成立，（1）则对任一个n元排列，高等代数2行列式假如，则由归纳假设知可经一系列对换变为12（n-1）。于是经同样一系列的对换，变为12(n-1)n；（2）假如，设，于是经一次对换，得由（1）知，经一系列对换可把变为12n。因而可经一系列变换变为 12n。(证毕)由于对

5、换是可逆的，因此有推论1：自然排列12n可经一系列的对换变到任意一个n元排列：。由引理1和推论1，我们圆满地解决上面提出的 问题1，这就是：高等代数2行列式定理2.2.1：任意两个n元排列可经一系列对换互化。问题2：排列的反序数可以是，反序数 究竟有何作用？二、排列的奇偶性。n排列的奇偶性：如果一个n元排列的反序数是一个奇数，则称该排列为奇排列，反序数是偶数的排列称为偶排列。例如：是奇排列，而是偶排列。问题3：对n元排列施行一次对换，对排列的奇偶性有没有影响？高等代数2行列式例如，。定理2.2.2：每一个对换均改变排列的奇偶性。证明：（先特殊后一般）1、先考虑特殊情况，即对换的两个数在n元排列

6、中是相邻的。设排列（1）：化为排列（2）：，在排列（1）中，若 与其他数构成反序，则在排列（2）中仍然构成反序；若 与其他数不构成反序的，则在排列（2）中也不构成反序。不同的是的顺序发生变化，若在（1）中构成一个反序，则在（2）中经对换(j,k)高等代数2行列式不构成反序，或在（1）中不构成一个反序，则在（2）中构成一个反序。无论是减少还是增加一个反序，排列反序数的奇偶性均发生变化，因此定理成立。2、再考虑一般情况，设排列为（3）：经 对换后化为排列（4）：这样一个对换可以经由一系列相邻数码的对换来实现。从（3）出发，依次把与 对换，与对换，与对换。经过S+1次相邻数码的对换，排列（3）化为排

7、列（5）：；再把依次与对换，则经S次相邻数码的对换，排列（5）就化为排列（4）。故经2S+1相邻数码的对换，高等代数2行列式就把排列（3）化为排列（4）。由第一步知每一次相邻位置的对换均改变排列的奇偶性，因此，奇数次的对换的最终结果仍然改变排列的奇偶性。问题4：在全体n元排列中，究竟是奇排列多还是偶排列多？定理2.2.3：当时，在n!个n元排列中，奇、偶排列各占一半，即各有个。证明：由于，故由定理2.2.2知，在n元排列中总有奇排列和偶排列，设在n!个n元排列中，有S个奇排列和T个偶排列。把S个奇排列中的每一个排列的任两个数码对换，高等代数2行列式这S个奇排列就都变成偶排列，但总共只有T个偶排

8、列，故。同理对T个偶排列中每一个进行对换，得。因此，又，高等代数2行列式2.3 n2.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义高等代数2行列式问题：如何定义n阶行列式？1、二阶与三阶行列式的构造特点：（1）二阶行列式是一个含有项的代数和；（2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元素既位于不同的行，又位于不同的列，并且展开式恰好是由所有这些可能的乘积组成；（3）任意项中每个元素都带有两个下标，第一个下标表示元素所在行的位置，第二个下标表示该元素所在列的位置。当把高等代数2行列式每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。

9、对三阶行列式也有相同的特点高等代数2行列式特点：（1）共有3！项的代数和；（2）每一项是三个元素的乘积，这三个元素既位于不同的行又位于不同的列，展开式恰由所有这些可能的乘积组成；（3）当把每一项乘积的元素按行下标排成自然顺序后，每一项的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定。二、n阶行列式的定义1、为一个n阶行列式，它等于所有高等代数2行列式取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，这里是 的一个排列。每一项 中把行下标按自然顺序排列后，其符号由列下标排列的奇偶性决定。当偶排列时取正号，当是是奇排列时取负号，即 根据定义可知：ln阶行列式共由n!项组成；l要计算n阶行列式，首先作出所有可

10、能的位于不同行不同列元素构成的乘积；l把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺高等代数2行列式 序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定；n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。2、例子例2.3.1：计算行列式高等代数2行列式例2.3.2：计算行列式例2.3.3：用行列式定义计算高等代数2行列式例2.3.4：设问：是不是四阶行列式的项？如果是，应取何符号？是，取符号：-1是，取符号：-1高等代数2行列式例2.3.5：设问：（1）dhsy与ptaz是否为的项？应取何符号？（2）含有t的项有多少？（6项）注：在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标，即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的

11、行与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。在一般情况下，把n阶行列式中第i行与第j列交叉位置上的元素记为在行列式中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线高等代数2行列式定理2.3.1 在n阶行列式中，项所带的符号是证明：1、交换项(1)中任两个元素与 的位置，不改变把（1）中与 对换后得(2)由于对换改变排列的奇偶性,故与 与 的奇偶性互化，2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为故(3)+与 有相同的奇偶性+的奇偶性。高等代数2行列式（4）而（4）的行下标与列下标所成排列和的奇偶性与（3）相同，于是因此项所带的符号是注：本定理

12、说明在确定行列式中某项应取的符号时，可以同时考虑该项行排列与列排列的反序数之和，而不一定要把行下标排成自然顺序。例2.3.6：试确定四阶行列式中项的符号，写出四阶行列式中包含且取正号的所有项。解 所带符号是:取正号的项包括，高等代数2行列式几种特殊的行列式：对角形行列式上三角行列式下三角行列式高等代数2行列式2.4 2.4 行列式的基本性质行列式的基本性质高等代数2行列式 直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为简化。转置行列式：把n阶行列式的第i行变为第i列（i=1，2，n）所得的行列式称为D的转置行列式，用表示。高等代数2行列式性

13、质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换）证：考察D的任意项（1）它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积，因而也是取自的第行，1，2，n列的n个元素的乘积，因而也是中的一项:（2）。（1）项所带的符号是,(2)项所带的符号也是。因而D中的任一项均为中的项而且所带的符号也相同。同理可知中的任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D=性质1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行成立的性质，对列也同样成立。高等代数2行列式性质2：把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常数k，相当于用数k乘这个行列式，即（倍法变换）证明：高等代数2行列式推论1：一个行列式中某一行（列）所有元素的公

14、因式可以提到行列式的符号外面。推论2：如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个行列式等于零。在性质2中，取k=0，即知结论成立。性质3：交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。（换法变换）高等代数2行列式即设则有：证：取D中任一项：（1）它所带的符号是：，显然也是中的一项，高等代数2行列式它所带符号为：。由于对换改变排列的奇偶性，故D中的任一项与中对应项刚好相差一个符号，故推论3：如果行列式中有两行（列）的元素对应相同，则这个行列式等于零。（交换这两行（列）即知）推论4：如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则这个行列式等于零。（利用性质2和推论3）性质4：如果行列式中某一行（列）

15、中的所有元素都可表成两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即（拆法变换）高等代数2行列式证明：高等代数2行列式性质5：把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数k再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。（消法变换）即 高等代数2行列式利用性质4和推论4即知。例2.4.1 计算行列式高等代数2行列式例2.4.2 计算行列式高等代数2行列式定理2.4.1：任一个n阶行列式都可以利用性质5中的行或列变换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。证明：设1、先设D中第一列元素不全为零，若则把第i行所有元素同乘1加到第一行上，则故不妨设把第一行依次乘以后分别加到第2行，第n行，则（1

16、）高等代数2行列式若D中第一列元素全为零，则D已经是（1）的形式。现对（1）中第二列的进行考虑，同上类似，先设它们不全为零，不妨设，则利用上面相似的方法，可得仿此不断进行下去，就可把D化为上三角行列式。例2.4.3 计算n阶行列式高等代数2行列式解 法一：高等代数2行列式法二：高等代数2行列式在一个n阶行列式中，若有，则称为n阶对称行列式；若有则称为反对称行列式。例2.4.4 奇数阶的反对称行列式等于0。证明：设为奇数阶的反对称行列式。由于得 于是高等代数2行列式例2.4.5(思考题)计算n阶行列式高等代数2行列式2.5 2.5 行列式依行（列）展开行列式依行（列）展开高等代数2行列式 上一节

17、我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。例如高等代数2行列式 如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。为了这个目的，我们需引进如下概念：一、余子式和代数行列式定义1（余子式）：在一个n阶行列式中，划去元素所在的行和列，余下的元素构成一个n-1阶子式，称为元素 的余子式，记为

18、高等代数2行列式定义2（代数余子式）：的余子式附以符号后，称为元素的代数余子式，记为。例2.5.1.在行列式中，求元素p和s的余子式和代数余子式。二、行列式依行（列）展开 先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。高等代数2行列式引理：如果行列式中，第i行（或第j列）中元素除了外其余都是零，则 证明：1、D中第一行元素除外其余皆为零，这时高等代数2行列式2、假设D中第i行除外其余皆为零，这时高等代数2行列式此时 把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对换，再把第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对换，这样共经过（i

19、-1）+（j-1）次行与列的对换，则D转化为注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故高等代数2行列式3、行列式依行（列）展开定理2.5.1 行列式等于它的任意一行（列）中所有元素与其代数余子式乘积的和，即有或 证：高等代数2行列式定理2.5.2.行列式中，某一行（列）中元素与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有高等代数2行列式考察行列式然后按第j行展开即知。例2.5.2.计算行列式高等代数2行列式解：高等代数2行列式例2.5.3 计算行列式解：计算行列式的一个基本方法是：先利用行列式的性质把某行（列）化成有尽可能多的零，然后把行列式按这行（列）展开，这样计算要简单

20、。如果不分青红皂白把行列式降阶，由于要计算的行列式个数成倍增多，则计算量未必减少。高等代数2行列式例2.5.4 计算范德蒙行列式解：高等代数2行列式高等代数2行列式这种计算行列式的方法称为递推法证明范德蒙行列式也可用归纳法证之高等代数2行列式2.6 2.6 行列式的计算行列式的计算高等代数2行列式l对一般的数字行列式，如果它的元素之间没有特定的规律，其计算方法是：1）利用行列式性质把它化为上三角或下三角行列式，则行列式的值等于其主对角线上元素的连乘积；2）选定某一行（列），利用行列式性质把其中元素尽可能多的化为0；然后按这一行（列）展开，如此继续下去可得结果。l如果行列式的元素之间有某种规律，

21、特别是含字母或式子的行列式，则需根据不同情况采用不同方法加以计算，这方面的计算颇有技巧性，下面介绍一些典型方法。高等代数2行列式一、各行（列）倍数总加法例2.6.1：计算解：高等代数2行列式练习1 计算高等代数2行列式二、逐行（列）倍数依次相加法例2.6.2 计算（依次把第n列，第n-1列，第2列乘x加到第n-1列，2，1列）三、递推法例2.6.3 计算范德蒙行列式高等代数2行列式解：高等代数2行列式高等代数2行列式四、加边法例2.6.4 计算解：高等代数2行列式当 时，故 高等代数2行列式五、归纳法例2.6.75 计算解：高等代数2行列式我们猜测高等代数2行列式证明：当n=2,3时，结论成立

22、。假设结论对n-2阶，n-3阶行列式成立，即则对n阶行列式高等代数2行列式练习2计算高等代数2行列式2.7 Gramer2.7 Gramer法则法则高等代数2行列式 行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用，对于二元一次和三元一次方程组，当方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组，相应的结论也成立，这就是下面要介绍的Gramer法则。设n元一次线性方程组为（1）称 为这个方程组的系数行列式。高等代数2行列式把D中的第j列换成常数列后所得行列式记为则 定理2.7.1（Gramer法则）：如果线性方程组（1）的系数行列式有唯一解，其解为：，则这个方程组（2）其中

23、是把D中的第j列元素换成常数项所得的行列式，高等代数2行列式该定理包括三个结论：l 方程组在时有解；l 解是唯一的；l 解由公式（2）给出。这三个结论相互之间有联系，因此证明的步骤是：1、把（2）代入方程组，验证它是方程组（1）的解；2、假设方程组有解，则它的解必可由公式（2）给出。证：把方程组简写成首先证明公式（2）确是方程组（1）的解。把代入第i个方程得：高等代数2行列式因此确是方程组（1）的解。再证方程组（1）的解必由公式（2）给出。设是方程组（1）的任一解，高等代数2行列式则有（3）用D中第j列元素的代数余子式依次乘以（3）中每个方程得把这n个方程相加得：而 高等代数2行列式例2.7.

24、1 解线性方程组解：由于方程组的系数行列式故 高等代数2行列式方程组有唯一解。由于方程组的解是注意：克莱姆法则只适用于方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不等于零的线性方程组。如果方程个数与未知量个数不相等或虽相等，但系数行列式等于零，克莱姆法则失效。高等代数2行列式如果在线性方程组（1）中常数项全为零，即有（4）称方程组（4）为齐次线性方程组，这种方程组显然有解：称其为零解。齐次线性方程组如果有其他的解，则称为非零解。我们关心方程组（4）什么时候有非零解。定理2.7.2：若齐次线性方程组（4）的系数行列式，则方程组（4）只有零解。证：由Gramer法则，方程组（4）只有唯一解：但由于高等代

25、数2行列式推论：齐次线性方程组（4）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。例2.7.2 当取何值时，齐次线性方程组有非零解。解：当 或 时，方程组有非零解。高等代数2行列式2.8 Laplace2.8 Laplace展开定理展开定理高等代数2行列式 利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。定义（k阶子式和它的余子式）：在n阶行列式D中，任意取定k行或k列（），设为第

26、行和第列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的k阶子式记为N，则在D中划去这k行k列后，余下的元素按照原来相对位置所构成的n-k阶子式，称为子式N的余子式。定义（代数余子式）：N的余子式M附以符号，即称为N的代数余子式。高等代数2行列式注意：1、当k=1时，上面定义的余子式和代数余子式就是2.5中关于一个元素的余子式和代数余子式。2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。例2.8.1 写出行列式第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。二阶子式共有中取定第一行和个。引理：n阶行列式D的任一个子式N与它的代数余子式乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致。

27、证明：首先考虑N位于行列式D的左上方（即第1，2，k行和第1，2，k列）的情况。这时高等代数2行列式D中k阶子式N的余子式位于右下角，其代数余子式为N的每一项可写作：，其中是1，2，k的一个排列。所以这一项前面所带符号为：，中每一项可写为其中是k+1,k+2,n的一个排列。这一项在M中所带的符号是：高等代数2行列式（或）。这两项的乘积是：所带的符号是：由于都比k大，所以上述符号等于。因此这个乘积是行列式D中的一项而且符号相同。现考虑N位于D的第行，第列。这里为了利用前面的结论，我们先把第行依次与行对换，这样经过次对换把第行换到第1行，再把第 行依次与第行对换而换到第2行，共经次对换，如此进行下

28、去，一共经过高等代数2行列式次行对换把第行换到第1，2，k行。利用类似的列变换，可以把N的第列换到第1，2，k列，这时一共经过次列变换，把N换到左上角，把M换到右下角。用 表示经上述行、列变换后得到的新行列式，由于一次行（列）对换改变行列式的符号，故新、旧行列式之间有如下关系：由此可知，和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一 项都相差符号为高等代数2行列式现在N位于的左上角，它的余子式位于 的右下角，由第一步知中的每一项都是中的一项且符号相同，故 中每一项都与D中的一项相等且符号一致。定理2.8.1（Laplace定理）：设在行列式D中任意取定行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代

29、数余子式的乘积的和等于行列式D。证明：设D中取定k行后所得的子式为它的代数余子式分别为下证（1）由引理知，中的每一项都是D中一项而且符号相同，而且和 无公共项。因此要证明（1）式成立，只要高等代数2行列式证明等式两边的项数相等就可以了。由定义知D中共有项，为了计算（1）的右边的项数，先算出t共有多少个。由组合公式知因此取出的k阶子式共有个，而中共有项，中共有项，故等式（1）的右边的项数共有例2.8.2 计算行列式解：取定1、4两行，由Laplace定理得高等代数2行列式由上例可知，对特殊类型的行列式，Laplace展开能使计算简化，另外，定理还能用于理论证明。定理2.8.2（行列式相乘规则）：两个n阶行列式和 的乘积等于行列式，其中为 中第i行元素与高等代数2行列式中第j列对应元素的乘积之和，即证明：构造一个2n阶行列式取定前n行，根据Laplace展开得对 作消法变换，即分别用乘第1列，第2列，第n列加到第n+1列，用乘第1列，第2列，高等代数2行列式，第n列加到第n+2列，用乘第1列，第2列，第n列加到第2n列，则化为高等代数2行列式由此得两个n阶行列式的乘法规则是：高等代数2行列式此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢