大学物理竞赛辅导振动与波动.ppt

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1、大学物理竞赛辅导振动与波动 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望机械振动机械振动一、简谐振动的定义一、简谐振动的定义 1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称这个物体在作律变化，称这个物体在作简谐振动简谐振动或或简谐运动简谐运动。2、两两个个特特例例：“弹弹簧簧振振子子”和和“单单摆摆”。弹弹簧簧振振子子单单摆摆动力

2、学特征动力学特征：动力学方程动力学方程：运动方程运动方程：弹簧振子弹簧振子单摆单摆注注1：弹簧振子水平放置，弹簧振子水平放置，竖直放置或放在固定的光滑竖直放置或放在固定的光滑斜面上都可以做简谐振动。斜面上都可以做简谐振动。注注2：l例例1.如图，用六根拉伸的长度均为如图，用六根拉伸的长度均为10cm的弹簧将的弹簧将一质量一质量m为为10g的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉力均为力均为5N，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动一下，然后释放，则该物体一下，然后释放，则该物体m振动的频率为振动的频率为_Hzm解：解：q qxl设物体相对图面的

3、垂直位移为设物体相对图面的垂直位移为x，弹簧相对面的倾角为弹簧相对面的倾角为，物体受弹簧合力物体受弹簧合力(指向图面指向图面)为为F则：则：x=lsin，F=6fsin6f其中其中l为弹簧长度，为弹簧长度，f为一根弹簧拉力为一根弹簧拉力f 阻碍阻碍的增大，的增大，f 0无往复性无往复性,经较长时间单调返回平衡位置。经较长时间单调返回平衡位置。无往复性，能很快地返回平衡位置。无往复性，能很快地返回平衡位置。=0 0（过阻尼状态，如放在沥青中）（过阻尼状态，如放在沥青中）例例4.一个弹簧振子的质量为一个弹簧振子的质量为1.0kg，自由振动的本征，自由振动的本征频率为频率为2Hz，当存在某个大小与振

4、子速率成正比的，当存在某个大小与振子速率成正比的阻尼力时，恰好处于临界阻尼振动状态，则弹簧的阻尼力时，恰好处于临界阻尼振动状态，则弹簧的劲度系数劲度系数K=N/m，阻尼力大小与速率的，阻尼力大小与速率的比例系数比例系数g g=kg/s。解：解：已知已知m=1.0kg，0 0=2Hz，临界阻尼振动条件临界阻尼振动条件(十七届十七届.一一.4)例例5.水平弹簧振子系统中，弹簧的劲度系数为水平弹簧振子系统中，弹簧的劲度系数为k，振子质量为振子质量为m，水平运动阻力大小与振子运动速率，水平运动阻力大小与振子运动速率成正比，比例系数为成正比，比例系数为 g g ，振子的运动方程，振子的运动方程_，形成低

5、阻尼振动的条件是形成低阻尼振动的条件是_。解：解：将牛顿第二定律用于振子，得将牛顿第二定律用于振子，得(2001.一一.1)形成低阻尼振动的条件为：形成低阻尼振动的条件为：2、受迫振动受迫振动系统受力：系统受力：弹性力弹性力-kx 振动方程：振动方程：周期性策动力周期性策动力 F=F0cos t：在外来策动力作用下的振动：在外来策动力作用下的振动阻尼力阻尼力 稳态解稳态解:x=Bcos(t+)特点特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化.(1)频率频率:等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振幅:(3)初相初相:例例6.固有频率为固有频率为0的弹簧振

6、子，在阻尼很小的情的弹簧振子，在阻尼很小的情况下，受到频率为况下，受到频率为20的余弦策动力作用，作受迫的余弦策动力作用，作受迫振动并达到稳定状态，振幅为振动并达到稳定状态，振幅为A。若在振子经平衡。若在振子经平衡位置时撤去策动力，则自由振动的振幅位置时撤去策动力，则自由振动的振幅A与与A的关的关系是系是_.稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为 2(2)，解：解：A=2A经平衡位置时速度最大为经平衡位置时速度最大为:V=。撤去策动力后，速度仍为撤去策动力后，速度仍为V，做自由振动，其圆频，做自由振动，其圆频率率 0，仍有关系，仍有关系V=AA=A,A

7、=/A=2A(1996.一一.2)3、共振、共振在一定条件下在一定条件下,振幅出现振幅出现 极大值极大值,出现剧烈振动的现象。出现剧烈振动的现象。共振频率共振频率:共振振幅共振振幅:（1）位移共振位移共振（2）速度共振）速度共振速速度度共共振振时时，速速度度与与策策动动力力同同相相，一一周周期期内内策策动动力力总作正功，此时向系统输入的能量最大。总作正功，此时向系统输入的能量最大。（参考教材参考教材P161-162）七、七、一维一维简谐振动的合成简谐振动的合成1、同方向、同频率同方向、同频率的两个简谐振动的合成的两个简谐振动的合成xyoxx=x1+x2=A cos(t+)两种特殊情况：两种特殊

8、情况：（1）若若A1=A2，A=2A1，（2）若若A1=A2，A=0。称为。称为干涉相消干涉相消。称为称为干涉相长干涉相长。2、同方向、不同频率同方向、不同频率的两个简谐振动的合成的两个简谐振动的合成 拍拍 为简化问题，设两谐振为简化问题，设两谐振动的动的振幅振幅和和相位相位都都相等相等。x=x1+x2合振动合振动不是简不是简谐振动。谐振动。当当 2 1时时，2-1 2+1随随缓变；缓变；随随快变。快变。合振动可看作振幅缓变的合振动可看作振幅缓变的“简谐振动简谐振动”。xtx2tx1t 拍拍拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。合振动的强弱合振动的强弱A02(t)随随

9、t 变化的现象拍变化的现象拍(beat)设拍周期为设拍周期为Tb实例：双簧口琴、双簧管实例：双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴、钢琴(piano)调音调音(钢琴与钢琴与标准音叉声波形成拍标准音叉声波形成拍拍频越小，说明钢琴的音越准拍频越小，说明钢琴的音越准)。3、两个同频率两个同频率相互垂直相互垂直的简谐振动的合成的简谐振动的合成x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)消去时间，消去时间，得合运动的轨迹方程：得合运动的轨迹方程：（1）合合运运动动一一般般是是在在 2A1(x向向)、2A2(y向向)范范围围内内的的一个椭圆；一个椭圆；（2）椭椭圆圆的的性性质质(方方位位、长长短短轴轴、左

10、左右右旋旋)在在 A1、A2确确定定之之后后,主要决定于主要决定于 =2-1。=5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P.设振幅设振幅Ax=Ay，位相差，位相差则上式表示的合振动就是圆周运动：则上式表示的合振动就是圆周运动：例例7.两个线振动合成一个圆运动的条件是两个线振动合成一个圆运动的条件是(1984.二二.2)答案：答案：同频率同频率；同振幅同振幅；两振动互相垂直两振动互相垂直；位相差为位相差为k=0，1，2，4、两个不同频率相互垂直两个不同频率相互垂直简谐振动的合成简谐振动的合成（1）两分振动频率相差很小）两分振动频率相差很小 =(2-1)t+(2-1)可可看看作

11、作两两频频率率相相等等而而位位相相差差随随缓缓慢慢变变化化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形(Lissajous figures)（2）两振动的频率相差较大，但成）两振动的频率相差较大，但成整数比整数比应用：应用：测频率测频率已知一个振动的频率，可以根已知一个振动的频率，可以根据李萨如图形求出另一个振动的频率。据李萨如图形求出另一个振动的频率。x:y y-x=0机械波机械波一、机械波的基本特征一、机械波的基本特征1、机械波产生条件机械波产生条件:（1）波源波源（2）弹性媒质弹性媒质 由以弹性力互相联系由以弹性力互相联系着的

12、质点组成。着的质点组成。产生振动。产生振动。传播振动。传播振动。（1）波动中每一个质点均在其平衡位置附近振动，）波动中每一个质点均在其平衡位置附近振动，不不“随波逐流随波逐流”，传播的是振动状态传播的是振动状态。2、波动的特征：波动的特征：（2）波动中，传播方向上各质点的振动依次滞后，）波动中，传播方向上各质点的振动依次滞后，即即后动后动的点在相上总的点在相上总滞后于滞后于先动先动的点。各点的振动频率的点。各点的振动频率均与波源的相同。均与波源的相同。（3）波源作一次全振动，将传出一个完整的波形。）波源作一次全振动，将传出一个完整的波形。（2）波振面波振面 由振动相位相同的点联成的面由振动相位

13、相同的点联成的面（同相面同相面），），简称简称波面波面。3、波的几何描述、波的几何描述（1）波射线波射线 表示波的传播方向的射线。简称表示波的传播方向的射线。简称波线波线。某时刻处在最前面的波面，称为某时刻处在最前面的波面，称为波前波前。平面波平面波波面波面波波线线 球面波球面波波面波面波线波线（3）波形曲线：表示任一时刻同一波线上各质元相对）波形曲线：表示任一时刻同一波线上各质元相对于各自平衡位置的分布情况曲线。于各自平衡位置的分布情况曲线。yox4、波的特征量、波的特征量波速、波长与波频波速、波长与波频波速由介质的性质决定，波速由介质的性质决定，波频由波源的振动频率决定波频由波源的振动频率

14、决定（波源、观测者均不动时波源、观测者均不动时）。二、二、平面简谐行波平面简谐行波 写出波线上某点写出波线上某点x0 的振动方程；的振动方程；建立坐标系；建立坐标系；在波线上任取一点在波线上任取一点x，并写出该点处质点的振动相对并写出该点处质点的振动相对于于x0 处质点落后或超前的时间：处质点落后或超前的时间：将将x0 处质点的振动表达式中的处质点的振动表达式中的 t 加上或减去加上或减去 t 即可。即可。即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。或者：在相位里加上或减去或者：在相位里加上或减去 即可。即可。1、波函数波函数：（1）建立）建

15、立一维平面简谐波波函数一维平面简谐波波函数的一般步骤：的一般步骤：（2）波函数的意义：）波函数的意义：x 一定，一定，y t 给给出出 x 点的点的振动方程振动方程。t 一定，一定，y x 给给出出 t 时刻空间各点位移时刻空间各点位移分布，即分布，即波形曲线波形曲线。一般地一般地 y=y(x,t)表表波线上各质点在不同时刻波线上各质点在不同时刻的位移，的位移，反映了波形的传反映了波形的传播播。y(x+x,t+t)=y(x,t),其中其中 x=u t。yTt0振动曲线振动曲线 x 一定一定 x y0波形曲线波形曲线 t 一定一定xx y0y(x,t)uy(x+x,t+t)2、波的能量波的能量

16、波的强度波的强度（1）波动能量的特点）波动能量的特点 波动波动质元质元中总能量中总能量：W=Wk+Wp const，随时随时间间 t 作周期性的变化。作周期性的变化。对某一质元，其对某一质元，其动能动能与与势能势能等值同相。等值同相。同时达最大，同时达最大，同时为同时为0。质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度,同时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大同时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大位移时，动能、势能均为零。位移时，动能、势能均为零。波的实质是能量的传播过程，且波的能量是以波的波的实质是能量的传播过程，且波的能量是以波的传播速度和方

17、向传播的。传播速度和方向传播的。例例8.某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦段中，振动动能最大的部位在弦段中，振动动能最大的部位在_处，振动势处，振动势能最大的部位在能最大的部位在_处。处。ABC解：因解：因B处的拉伸最甚，故处的拉伸最甚，故B处的振动势能最大处的振动势能最大（第二空第二空），本题是行波（不是驻波），而行波的），本题是行波（不是驻波），而行波的振动动能恒等于振动势能，故振动动能的最大部位振动动能恒等于振动势能，故振动动能的最大部位也在也在B处（处（第一空第一空）波动传播时，介质单位体波动传播时，介质单位体 积内的总积内的总机械能。机

18、械能。（2）能量密度：）能量密度：（3）平均能量密度（对时间平均）平均能量密度（对时间平均)（适于各种弹性波适于各种弹性波）（特征特征）单位时间内垂直通过某一截面的能量单位时间内垂直通过某一截面的能量,称称为波通过为波通过该截面的能流该截面的能流，或叫，或叫能通量能通量。（4）能流能流P:在一个周期内能流的平均值称为在一个周期内能流的平均值称为平均能流平均能流:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为称为平均能流密度平均能流密度，通常称为，通常称为能流密度能流密度或或波的强度波的强度。（5）能流密度（波的强度）能流密度（波的强度）对无吸收媒质：波

19、传播时振幅的变化对无吸收媒质：波传播时振幅的变化 平面波：平面波：A1=A2；球面波：球面波：A1 r1=A2 r23、声波，次声波和超声波（、声波，次声波和超声波（参考教材参考教材P183）例例9.声波是声波是_(填填“横波横波”或或“纵波纵波”).若声若声波波源是置于空气中的一个球面物，它发出的球面波波源是置于空气中的一个球面物，它发出的球面简谐波在与球心相距简谐波在与球心相距 r0处的振动振幅为处的振动振幅为A0，不计空，不计空气对声波能量吸收等引起的损耗，则在气对声波能量吸收等引起的损耗，则在 rr0 处声处声波振动振幅为波振动振幅为A=_。声波是声波是纵波纵波解：解：波的强度波的强度

20、(能流密度能流密度)r0处的平均能流密度为处的平均能流密度为r处的平均能流密度为处的平均能流密度为不计能量的损耗，有不计能量的损耗，有(2001.一一.2)4、惠更斯原理、惠更斯原理（1）原理内容）原理内容:介质中波传到的各点介质中波传到的各点,都可看作是发射都可看作是发射子波的波源子波的波源 (点波源点波源)。在以后的任一时刻。在以后的任一时刻,这些子波面的这些子波面的包络面包络面（包迹）（包迹）就是该时刻的波前就是该时刻的波前。（2）应用：应用：已知某时刻的波振面，用作已知某时刻的波振面，用作图法确定下一时刻的波振面。图法确定下一时刻的波振面。tt+tutt+tt 用惠更斯原理作图法解释波

21、用惠更斯原理作图法解释波的衍射现象的衍射现象。用惠更斯原理作图法解释波用惠更斯原理作图法解释波的反射和折射规律。（的反射和折射规律。（参考教材参考教材P187-188）5、波的干涉、波的干涉（1）波的叠加原理）波的叠加原理 波动波动互不相干互不相干地按自身的方式传播，在波的地按自身的方式传播，在波的交汇交汇处，质元的振动是相交汇的各个波处，质元的振动是相交汇的各个波单独传播单独传播时激发的时激发的振动之和。振动之和。同频率、同振动方向、同频率、同振动方向、相位差恒定。相位差恒定。（2）相干条件：相干条件：（3）干涉规律）干涉规律 r1r2相干波源相干波源：两列相干波在两列相干波在P点引起的振动

22、点引起的振动 S1 S2 P叠加结果叠加结果：干涉加强的条件：干涉加强的条件：干涉减弱的条件：干涉减弱的条件：10=20 时，时，相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉三、驻波三、驻波1、驻波的形成、驻波的形成：两列：两列振幅相同振幅相同的的相干波在同一直线相干波在同一直线上相向传播上相向传播时交汇处产生的干涉。时交汇处产生的干涉。2、驻波的方程、驻波的方程3、驻波的特点、驻波的特点（2）频率特点：）频率特点：（3）振幅特点：）振幅特点：（4）相位特点：）相位特点：各质点同频率各质点同频率同一段振动同相同一段振动同相相邻段振动反相相邻段振动反相两相邻波腹（节）间距为两相邻波腹（节）间距为/2相邻的波

23、腹与波节间距为相邻的波腹与波节间距为/4（5）能量特点：）能量特点：能量不传播能量不传播（1）驻波的波形：）驻波的波形：不随时间改变不随时间改变4、实际驻波的产生、实际驻波的产生固定（封闭）端固定（封闭）端波节波节自由（敞开）端自由（敞开）端波腹波腹形成驻波时形成驻波时弦线振动弦线振动空气柱振动空气柱振动两个特例两个特例5、半波损失、半波损失（对（对入射）入射）（1）波密）波密波疏，波疏，反射点反射点无相位突变无相位突变；（2）波）波疏疏波波密密，反射点反射点相位突变相位突变.“半波损失半波损失”弦的弦的固有频率固有频率（本征频率本征频率）（3）反射波及其描述）反射波及其描述波腹波腹相位不变相

24、位不变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x驻波驻波波节波节驻波驻波相位突变相位突变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x 入射波波入射波波形延拓，形延拓，“砍砍”掉半个波形掉半个波形后平移至分界后平移至分界面处再翻折即面处再翻折即得到反射波波得到反射波波形形 入射波波入射波波形延拓，再翻形延拓，再翻折即得到反射折即得到反射波波形波波形（3）反射波及其描述）反射波及其描述例例10.如图所示，在坐标原点如图所示，在坐标原点o处有一波源，它所激处有一波源，它所激发的振动表达式为发的振动表达式为 yo=cos2 t 。该振动以平面波。该振动以平面波形式沿形式沿x轴正方向传播，在距波源轴正方向传播，在距波源d

25、处有一平面将波处有一平面将波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处处反射波的表达式为反射波的表达式为_.(1984.二二.1)xxdoPB解：解：xxdoPB在波源坐标原点在波源坐标原点o处处的振动方程为的振动方程为入射波使入射波使B点振动的振动方程为点振动的振动方程为上式亦为反射波使上式亦为反射波使B点振动的振动方程。点振动的振动方程。反射波使反射波使P点振动的振动方程为：点振动的振动方程为：答案：答案：(3)例例11.在一根线密度为在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的弦上形成驻波，弦的张力为的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为，若

26、入射波与反射波分别为波的频率为波的频率为=50Hz,则在则在t=1/3s时的波形曲线为时的波形曲线为()(1987.一一.1)例例11.在一根线密度为在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的弦上形成驻波，弦的张力为的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为，若入射波与反射波分别为波的频率为波的频率为=50Hz,则在则在t=1/3s时的波形曲线为时的波形曲线为()(1987.一一.1)解：解：驻波驻波正与图形正与图形()相符。相符。例例12.驻波可看作两列行波叠加而成，下图中圆点驻波可看作两列行波叠加而成，下图中圆点（）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表其）代表

27、其波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时序图（时序图（a）、（）、（b）、（）、（c）所示。试在各图中画）所示。试在各图中画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）(1995.一一.8)解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处引解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据此可起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。绘出另一列行波相应时刻的波形图。例例13.标准声源能发出频率为标准声源能发出频率为 Hz的声波，一的声波，

28、一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的故有频率加，音叉的故有频率 _.将上述音叉置将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度空气柱高度L从零连续增加时，发现在从零连续增加时，发现在L=0.34m和和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度为波在空气中的传播速度为_.解：解：拍频为拍频为1.5Hz时有两种可能时有两种可

29、能音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率 应减小，应减小，(1993.一一.6)此时拍频增加，由此可判断出此时拍频增加，由此可判断出共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时的气柱高度应满足关系共鸣时的气柱高度应满足关系故第一、二此共鸣时气柱的高度差故第一、二此共鸣时气柱的高度差四、机械波的多普勒效应四、机械波的多普勒效应(Doppler Effect)当波源当波源S和接收器和接收器R有相对运动时有相对运动时,接收器所测得的频接收器所测得的频率率 R不等于波源振动频率不等于波源振动频率 S的现象。的现象。参考系为媒质；参考系为媒质；S和和R相互靠近时相互靠近时Vs

30、,VR 为正；为正；波源振动频率波源振动频率 S，波的频率，波的频率(媒质的振动频率媒质的振动频率)，接收到的频率接收到的频率 R。1、波源静止、波源静止,接收器运动接收器运动(VS=0,设设 VR0)媒质的振动频率：媒质的振动频率：=S波相对于观察者的速度：波相对于观察者的速度：波长：波长：（R ）单位时间内单位时间内 R 所接收的波的个数为所接收的波的个数为(感觉到的频率感觉到的频率)：2、接收器、接收器R静止静止,波源运动波源运动(VR=0,VS0)t=0时时S发出第一个发出第一个“波峰波峰”,经历经历TS 时间，时间，S 前进前进VSTS，再发第二个，再发第二个“波峰波峰”，两波峰之间

31、的距离即就是介质，两波峰之间的距离即就是介质中缩短了的波长：中缩短了的波长：3、接收器、波源都运动、接收器、波源都运动（S R）设设 VS、VR均均0 若波源和观察者的运动不在两者的连线上，若波源和观察者的运动不在两者的连线上，VS，VR应为应为速度在连线上的分量。速度在连线上的分量。例例14.声波在空气中的传播速度为声波在空气中的传播速度为u1，在铜板中的，在铜板中的传播速度为传播速度为u2，设频率为，设频率为 的声波从图中静止的波的声波从图中静止的波源源S发出，经空气传播到以速度发出，经空气传播到以速度 V u1 向前运动的向前运动的平行铜板，在铜板的正前方有一静止的接收者平行铜板，在铜板

32、的正前方有一静止的接收者B,则则S接收到的由铜板反射回的声波频率接收到的由铜板反射回的声波频率1=_，B接收到的由铜板反射回的声波频率接收到的由铜板反射回的声波频率 2=_。(与与V平行）平行）(1994.一一.6)解：解：波源波源S静止，以速度静止，以速度V 运动的铜板左侧接收到的声运动的铜板左侧接收到的声波频率为波频率为(1)铜铜板板VSBS接收到的运动的铜板上反射回的声波频率为接收到的运动的铜板上反射回的声波频率为(2)B处接收到的运动铜板前方发射的声波频率为（声处接收到的运动铜板前方发射的声波频率为（声波在铜板中传播，虽然速度改变了，但频率不变）波在铜板中传播，虽然速度改变了，但频率不

33、变）(3)由由(1)(2)得得由由(1)(3)得得例例15.一维谐振子沿一维谐振子沿x轴作振幅为轴作振幅为A的简谐振动。求的简谐振动。求证：在振动区间内任一证：在振动区间内任一x处振子出现的概率线密度处振子出现的概率线密度（即（即x处附近无限小区间内单位距离上振子出现的处附近无限小区间内单位距离上振子出现的概率）概率）证：因振子在证：因振子在x x+dx区间出现的概率正比于振子区间出现的概率正比于振子在上述区间的时间间隔在上述区间的时间间隔dt与振动周期与振动周期 的比值，设的比值，设比例常量为比例常量为C，则有，则有代入代入，化为，化为 由谐振动方程，由谐振动方程，x=Acos(t+),求得求得(1995.二二.14)由归一化条件，有由归一化条件，有解方程解方程得得C=2，代回，代回式可得式可得命题得证。命题得证。代入代入式，得概率密度式，得概率密度下周讲课内容：下周讲课内容：热学热学