二次函数与一元二次方程1二次函数与一元二次方程的关系.ppt

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1、二次函数与一元二次方程1二次函数与一元二次方程的关系 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望w(1).h和和t的关系式是什么的关系式是什么？w(2).小球经过多少秒后落小球经过多少秒后落地地?你有几种求解方法你有几种求解方法?与同与同伴进行交流伴进行交流.由上抛小球落地的时间想到 w我们已经知道我们已经知道,竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h h(m)(m)与运动时间与运动时间t t(s)(s)的关系可用公式的关系可用公式h=-5th=-5t2 2+v

2、+v0 0t+ht+h0 0表示表示,其中其中h h0 0(m)(m)是是抛出时的高度抛出时的高度,v,v0 0(m/s)(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度.一个小球从地一个小球从地面以面以40m/s40m/s的速度竖直向上抛出起的速度竖直向上抛出起,小球的高度小球的高度h(m)h(m)与与运动时间运动时间t(s)t(s)的关系如图所示的关系如图所示,那么那么h h=-5t=-5t2 2+40t+40t.图象法图象法解方程解方程-5t-5t2 2+40t=0+40t=0w(1).每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？w(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+

3、2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有几个根有几个根?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根吗有根吗?w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的横轴交点的横坐标坐标与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的的根根有什么关系有什么关系?二次函数与一元二次方程 w二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的图象如图所示的图象如图所示.y=xy=x2 2+2x+2x

4、y=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况:w 有两个交点有两个交点,w 有一个交点有一个交点,w 没有交点没有交点.w 当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交点时轴有交点时,交点的横坐标交点的横坐标就是当就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值,即一即一 元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的的根根.w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=

5、ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标与一元与一元二次方程二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的的根根有什么关系有什么关系?一、探究一、探究探究探究1、求二次函数图象、求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴轴的交点的交点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在在x轴上，轴上，它们的纵坐标为它们的纵坐标为0，令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2；A（1，0），B（2，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B 的坐标有什么联系？的坐标有什么联系？x2-3x+2=0结论结论1：方程：方程x2-3x+

6、2=0的的解解就是抛物线就是抛物线y=x2-3x+2与与x轴的两个交点的轴的两个交点的横坐标横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2，则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交与轴的两个交点坐标分别是点坐标分别是A（），），B（）x1，0 x2，0 xOABx1x2yw(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象的图象和和x x轴交点的坐标轴交点的坐标与一与一元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c

7、=0的的根根有什么关系有什么关系?二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式根的判别式b b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异有两个相异的实数根的实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等有两个相等的实数根的实数根b b2 2-4ac=0-4ac=0没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0没有交点没有交点探究探究2、抛物线与、抛物线与

8、X 轴的交点个数能不能用一元轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？二次方程的知识来说明呢？b2-4ac 0b2-4ac=0b2-4ac0OXY结论结论2：抛物线抛物线y=ax2+bx+c抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明：1、b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根与与x轴有两个交点轴有两个交点相交相交。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 2、b2-4ac=0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数

9、根有两个相等的实数根与与x轴有唯一公共点轴有唯一公共点相切（顶点）。相切（顶点）。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 3、b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根没有实数根 与与x轴没有公共点轴没有公共点相离相离。探究探究3、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根的两个根是是x1、x2，则由根与系数的关系可得：，则由根与系数的关系可得：x1+x2=-x1x2=若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标与轴的两个交点坐标分别是分别是A（x1，0），），B（x2，0 ），则），则是否有同样的结论呢？是否有同样的结论呢？结论结论3、若抛

10、物线若抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与轴的两个交点与轴的两个交点坐标分别是坐标分别是A A（x x1 1，0 0），），B B（x x2 2，0 0 ），），则则x x1 1+x+x2 2=-=-，x x1 1x x2 2=二、基础训练二、基础训练1、已知抛物线、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则a=；若抛物线与；若抛物线与x轴有两个交点，则轴有两个交点，则a的范围是的范围是 ；3、已知抛物线、已知抛物线y=x2+px+q与与x轴的两个交点为轴的两个交点为（-2，0），（），（3，0），则），则p=，q=。2、已知抛物线、已知抛物线y=x2-4x+

11、a+1与与x轴最多只有一轴最多只有一个交点，则个交点，则a的范围是的范围是 。9a9a3-1-6评评:若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标与轴的两个交点坐标分别是分别是A（x1，0），），B（x2，0 ），利用根），利用根与系数的关系，求证：与系数的关系，求证：A、B两点间的距离两点间的距离 AB=4、判断下列各抛物线是否与、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果轴相交，如果相交，求出交点的坐标。相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+45.已知抛物线已知抛物线 ,求抛物线与求抛物线与y轴的轴的交点坐标交点坐标;求

12、抛物线与求抛物线与x轴的两个交点间的距离轴的两个交点间的距离.(其中其中即即b2-4ac)6 6、抛物线、抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的图象全部）的图象全部在在x x轴下方的条件是（轴下方的条件是（）（A A）a a0 b0 b2 2-4ac0-4ac0（B B）a a0 b0 b2 2-4ac-4ac0 0（C C）a a0 b0 b2 2-4ac-4ac0(D0(D）a a0 b0 b2 2-4ac-4ac0 0D7已知二次函数已知二次函数-ax2，下列说法，下列说法不正确不正确的是（）的是（）当当,时时,总取负值总取负值当当,时时,随的增大而减随的增大而减

13、小小当时，函数图象有最低点，即当时，函数图象有最低点，即有最小值有最小值当，当，-ax2的对称轴是轴的对称轴是轴D1、已知抛物线、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为的顶点为（1，-4）与）与x轴两交点坐标分别为轴两交点坐标分别为（x1，0），（），（x2，0），且），且x12+x22=10，求抛物线的解析式。，求抛物线的解析式。三、例题推荐三、例题推荐2、已知抛物线、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与）若抛物线与x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求m的值。的值。（2）若抛物线与直线）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，只有一个交点，求求m的值。的值。2 2、已知二次函

14、数、已知二次函数y=xy=x2 2-kx-2+k.-kx-2+k.(1)(1)求证求证:不论不论k k取何值时，这个二次函数取何值时，这个二次函数y=xy=x2 2-kx-2+k-kx-2+k与与x x轴总有两个不同的交点。轴总有两个不同的交点。(2)k(2)k为何值时为何值时,二次函数二次函数y=xy=x2 2-kx-2+k-kx-2+k与轴两与轴两个交点个交点A A、B B之间的距离最小？之间的距离最小？（3 3）设此抛物线与）设此抛物线与y y轴的交点为轴的交点为C C，当，当k k为为6 6时时,求求S SABC.ABC.3、已知抛物线、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与与

15、x轴有两个交点轴有两个交点A、B，其中，其中A在在x轴的正半轴，轴的正半轴，B在在x轴的负半轴，轴的负半轴，1）若）若OA=3OB，求，求m的值。的值。2）若）若3（OA-OB）=2OAOB，求，求m 的值。的值。w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c何时为一元二次方程何时为一元二次方程?它们的关系如何它们的关系如何?w在本节一开始的小球上抛问题中在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的何时小球离地面的高度是高度是60cm?60cm?你是如何知道的你是如何知道的?四、小结四、小结1、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2，则

16、抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的两个交点坐轴的两个交点坐标分别是标分别是A（x1，0 ），），B（x2，0）2、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式与二次三项式ax2+bx+c及二次函数及二次函数y=ax2+bx+c这三个这三个“二次二次”之间互相之间互相转化转化的关系。体现了的关系。体现了数形结合数形结合的思想。的思想。3、A、B两点间的距离两点间的距离AB=。4、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c何时为一元二次方程何时为一元二次方程?它它们的关系如何们的关系如何?谢谢大家，再会谢谢大家，再会!P22练习第练习第1,2 题题结束寄语 读书要从薄到厚读书要从薄到厚,再从厚到薄再从厚到薄.