平面向量数乘运算教学文稿.ppt

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1、平面向量数乘运算复习复习复习复习2:2:向量的减法向量的减法向量的减法向量的减法o.BAa-b如图如图如图如图,已知向量已知向量已知向量已知向量a a a a和向量和向量和向量和向量b,b,b,b,作向量作向量作向量作向量a-b.a-b.a-b.a-b.aba-b-bo.BAab练习练习1：有一边长为的正方形有一边长为的正方形ABCD，设，设求：求：EOFG2、判断题：、判断题：（1）相反向量就是方向相反的向量（2）（3）（4）在ABC中，必有（5）若 ，则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。（错错）（对对）（错错）（错错）（对对）3、选择题：、选择题：（1）在ABC中，则 等于（）（2）

2、如图，已知 且四边形ABCD为平行四边形，则 （）OBADCBB4、填空题：、填空题：实际背景=ABCD+(-)(-)(-)-ABCD+练习练习练习练习1:1:O OA AP PB B探究探究探究探究:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图如图如图如图,已知向量已知向量已知向量已知向量a,a,a,a,作向量作向量作向量作向量a+a+aa+a+aa+a+aa+a+a和和和和(-a)+(-a)(-a)+(-a)(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a

3、).+(-a).aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a)+(-a)=3a=-3a-a定义定义定义定义:特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当=0 =0 =0 =0 或或或或 a=0 a=0 a=0 a=0 时时时时,a=0,a=0,a=0,a=0(2)(2)(2)(2)方向方向方向方向 当当当当0000时时时时,a,a,a,a的方向与的方向与的方向与的方向与a a a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；当当当当0000时时时时,a,a,a,a的方向与的方向与的方向与的方向与a a a a方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；(1)(1)(1)(1)长度长度长度长度|

4、a|=|a|=|a|=|a|=|a|a|a|a|一般地，实数一般地，实数一般地，实数一般地，实数与向量与向量与向量与向量a a a a的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运算叫做算叫做算叫做算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作，记作，记作aaaa。它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：几何意义：将几何意义：将几何意义：将几何意义：将 的长度扩大（或缩小）的长度扩大（或缩小）的长度扩大（或缩小）的长度扩大（或缩小）倍，改变倍，改变倍，改变倍，改变（不改

5、变）（不改变）（不改变）（不改变）的方向，就得到了的方向，就得到了的方向，就得到了的方向，就得到了a a a a|a a a aa a a a数乘向量的数乘向量的几何意义几何意义就是把向量就是把向量 沿沿 的方向或反的方向或反方向放大或缩短方向放大或缩短.若若 ,当当 沿沿 的的方方向向放大放大了了 倍倍.当当 沿沿 的的方向方向缩短缩短了了 倍倍.当当 ,沿沿 的的反方向反方向放大放大了了 倍倍.当当 沿沿 的的反方向反方向缩短缩短了了 倍倍.由其几何意义可以看出由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的用数乘向量能解决几何中的相似相似问题问题.练习练习练习练习2:2:结论结论:2a+2b

6、=2(a+b)结论结论:3(2a)=6 a(1)(1)(1)(1)根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)3(2a)3(2a)3(2a)和和和和(6a)(a(6a)(a(6a)(a(6a)(a00)，并比较。，并比较。，并比较。，并比较。(2)(2)(2)(2)已知向量已知向量已知向量已知向量a,ba,ba,ba,b，求作向量，求作向量，求作向量，求作向量2(a+b)2(a+b)2(a+b)2(a+b)和和和和2a+2b2a+2b2a+2b2a+2b，并比较。，并比较。，并比较。，并比较。=三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为

7、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算解解解解:(1):(1):(1):(1)原式原式原式原式=(2)(2)(2)(2)原式原式原式原式=(3)(3)(3)(3)原式原式原式原式=(3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b=5b=5b=5b=5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c=-a+5b-2c=-a+5b-2c=-a+5b-2c -

8、12a -12a -12a -12a 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量对于任意的向量对于任意的向量对于任意的向量 a,b a,b a,b a,b 以及任意实数以及任意实数以及任意实数以及任意实数,恒有恒有恒有恒有(1 1 1 1a a a a2 2 2 2b)=b)=b)=b)=1 1a a2 2b b 如图如图:ABCD的两条对角线交于点的两条对角线交于点M,且且 ,试试求求ADBMC思考思考思考思考:当当当当a a a a与与与与b

9、b b b同方向时，有同方向时，有同方向时，有同方向时，有b=a;b=a;b=a;b=a;当当当当a a a a与与与与b b b b反方向时，有反方向时，有反方向时，有反方向时，有b=-ab=-ab=-ab=-a，所以始终有一个实数所以始终有一个实数所以始终有一个实数所以始终有一个实数，使，使，使，使b=ab=ab=ab=a。1 1 1 1、如果、如果、如果、如果 b=a,b=a,b=a,b=a,那么，向量那么，向量那么，向量那么，向量a a a a与与与与b b b b是否共线？是否共线？是否共线？是否共线？2 2 2 2、如果非零向量、如果非零向量、如果非零向量、如果非零向量a a a

10、a与与与与b b b b共线，那么是否有共线，那么是否有共线，那么是否有共线，那么是否有，使，使，使，使b=a b=a b=a b=a？对于向量对于向量对于向量对于向量a(a0)a(a0)a(a0)a(a0)、b b b b，如果有一个实数，如果有一个实数，如果有一个实数，如果有一个实数，使得，使得，使得，使得b=a,b=a,b=a,b=a,那么，由数乘向量的定义知：向量那么，由数乘向量的定义知：向量那么，由数乘向量的定义知：向量那么，由数乘向量的定义知：向量a a a a与与与与b b b b共线。共线。共线。共线。若向量若向量若向量若向量a a a a与与与与b b b b共线，共线，共线

11、，共线，a0a0a0a0，且向量，且向量，且向量，且向量b b b b的长度是的长度是的长度是的长度是a a a a的长的长的长的长度的度的度的度的倍，即有倍，即有倍，即有倍，即有|b|=|a|,|b|=|a|,|b|=|a|,|b|=|a|,且且且且 向量向量向量向量b b b b与与与与非零向量非零向量非零向量非零向量a a a a共线共线共线共线当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实数一个实数一个实数一个实数，使得，使得，使得，使得 b=a.b=a.b=a.b=a.定理定理定理定理:例例2小结回顾小结回顾小结回顾小结回顾:二、知识应用：二、知识应用：二、知识应用：

12、二、知识应用：1.1.1.1.证明证明证明证明 向量共线；向量共线；向量共线；向量共线；2.2.2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:AB=BC A,B,C:AB=BC A,B,C:AB=BC A,B,C:AB=BC A,B,C三点共线；三点共线；三点共线；三点共线；3.3.3.3.证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行:AB=CD ABCD AB=CD ABCD AB=CD ABCD AB=CD ABCD AB AB AB AB、CDCDCDCD不重合不重合不重合不重合直线直线直线直线ABABABAB直线直线直线直线CDCDCDCD一、概念与定理一、

13、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理 a a a a 的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理向量共线定理向量共线定理(a0)(a0)(a0)(a0)b=a b=a b=a b=a 向量向量向量向量a a a a与与与与b b b b共线共线共线共线例例例例3 3：如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点中，点中，点MM是是是是ABAB中点，点中点，点中点，点中点，点N N在线段在线段在线段在线段BDBD上，且有上，且有上，且有上，且有BN=BDBN=BD，求证：，求证：，求证：，求证：MM

14、、N N、C C三点共线。三点共线。三点共线。三点共线。提示：设提示：设提示：设提示：设AB =AB =a a BC =BC =b b则则则则MN=MN=a+a+b b MC=MC=a+a+b b基础知识反馈C.A.B.(2).设 是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().D.(1).下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个BC例例4 4:若若其中其中 ,是是已知向量已知向量,求求 ，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记 ，3得 -得例例5如图所示，已知 说明向量 与 的关系解解：因为所以，与 共线同方向，长度是 的3倍oAB问题:如果把3都换

15、成k(不为0),结论会有什么变化?反馈演练：1.在 中,设D为边的中点,求证:解：因为（）（）所以，所证等式成立所以，所证等式成立E过点B作BE,使连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:例6:如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设 请用 .ECODBA 分析分析:解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。解：解：因为A是BC的中点，所以 （C）分析分析:由 所以 在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,则 等于 (1(1)(2)(2)ABCD 二、定理的应用

16、：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:AB=:AB=BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3.3.证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行:AB=AB=CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD课堂小结：课堂小结：一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0)b=a 向量向量a与与b共线共线此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢