二项式定理杨辉三角习题.ppt

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1、二项式定理杨辉三角习题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望探究：研究斜行规律：探究：研究斜行规律：第一条斜线上：第一条斜线上：第二条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：第四条斜线上：猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=1+2+3+4+5=1+3+6+10=1+4+10=第第m+1条斜线上的第条斜线上的第n个

2、数个数.1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线）(nr)1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线）（第第3 3条斜线条斜线）（第第2 2条斜线条斜线）结论：结论：结论：结论：杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第mm条斜线条斜线条斜线条斜线(从右上从右上从右上从右上到左下到左下到左下到左下)上前上前上前上前n n个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1m+1条斜线上第条斜线上第条斜线上第条斜线上第n n个数个数个数个数即即即即即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角

3、中，第第m条斜线条斜线(从左上到右下从左上到右下)上前上前n个数字的和，个数字的和，等于第等于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数。个数。358 第第0行行4101312679111214151 1）杨辉三角中的第）杨辉三角中的第1 1，3 3，7 7，1515，行，即第行的行，即第行的各个数字为奇数？各个数字为奇数？2 2n n-1-1除两端的除两端的1 1之外都是偶数之外都是偶数.则第则第2n行的数字有什么特点？行的数字有什么特点？探究、横行规律探究、横行规律 125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21

4、7 1第第1行行 1 1 第第0行行 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1138132134想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列。探探究究?杨辉三角与杨辉三角与“纵横路线图纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东

5、)，那么有多少种不同的走法？AB 由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 四、例题选讲：四、例题选讲：例例1 1 证明：在证明：在(a(ab)b)n n展开式中展开式中,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得例例2 求证：求证：证明：证明：倒序相加法倒序相加法 求求(x 2)10（x 21）展开式中含）展开式中含 x 10 项的系项的系数为数为.(1998年全国高考题年全国高考题)179能力训练能力训练4:在在(x2+3x+2)5 的展开式中的展开式中,x的系数为多少的

6、系数为多少？240能力训练能力训练4:(x2+3x+2)5展开式中展开式中x的系数为的系数为_.方法方法1 (x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5 方法方法2 (x2+3x+2)5=x(x+3)+25 方法方法3 (x2+3x+2)5=x2+(3x+2)5 方法方法4 (x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5，.妙妙!1.1.求证：求证：除以除以9 9的余的余 数为数为 7 7；2.2.求多项式：求多项式：的展开式中的展开式中 的系数的系数.3.3.(a+2+2b+3+3c)7 7的展开式中的展开式中a2 2b3 3c2 2项的系数是多少？项的系数是多少？4.4.已知已知(1-2(1

7、-2x)7 7=a0 0+a1 1x+a2 2x2 2+a7 7x7 7，则，则a1 1+a2 2+a7 7的值是的值是 .4.0.9985精确到精确到0.001的近似值为的近似值为 .0.990(0.998)5=(1-0.002)51-0.002,故应填故应填0.990.5.若若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则则:(1)a0=;(2)a0+a1+a2+a3+a4=;(3)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=.1(2+)491.二二项项式式定定理理的的应应用用常常见见的的问问题题有有：求求展展开开式式的的某某一一项项或或适适合合某某种种条条件件的的项项；求求展

8、展开开式式各各项项系系数数的的和和；取取二二项项展展开开式式的的前前几几项项进进行行近近似似计计算算；证证明明组组合合数数等等式式；整整数数与与整整式式的的整整除除问问题题;证证明明不不等等式式.因因此此必必须须牢牢固固掌掌握握二二项项展展开开式式及及其其通通项项公公式式的的结结构构与与特特征征、二二项项式式系系数数的的性质等基本理论性质等基本理论.2.关关注注二二项项式式定定理理问问题题“四四大大热热点点、六六条规律条规律”.(1)四四大大热热点点是是：通通项项运运用用型型；系系数配对型；数配对型；系数和差型；系数和差型；综合应用型综合应用型.(2)六六条条规规律律是是：常常规规问问题题通通

9、项项分分析析法法；系系数数配配对对型型问问题题分分配配法法；系系数数和和差差型型问问题题赋赋值值法法；近近似似问问题题截截项项法法；整整除除（或或余余数数）问问题题展展开开法法；最最值值问问题题不等式法不等式法.十三.合理分类与分步策略例例13.13.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞,现要演出一个现要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目,有多少选派方法有多少选派方法?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌

10、的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究.只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。+本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：*以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人

11、是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。九九.元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例9.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个

12、位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为十二十二.构造模型策略构造模型策略例例12.12.马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,

13、9的的 九只路灯九只路灯,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120例例1818、某城市的街区由、某城市的街区由1212个全等的矩形区个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从组成其中实线表示马路，从A A走到走到B B的最短的最短路径有多少种？路径有多少种？B BA A十八十八.化归策略化归策略