五章节时间推进法.ppt

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1、五章节时间推进法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望5-1 5-1 守恒形式的非定常欧拉方程守恒形式的非定常欧拉方程一、引言一、引言l 激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方法。法。l不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。p非定常二维可压缩欧拉方程非定常二维可压缩欧拉方程n方程的性质方程的性质方程是双曲型（对时间）方程是双曲型（对时间）跨音速区包含激波跨音速区包

2、含激波时间推进分法可以克服跨音速计算困难时间推进分法可以克服跨音速计算困难基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态）基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态）全场统一用一种数值方法全场统一用一种数值方法可以使用有限体积方法可以使用有限体积方法二二、积分形式的守恒型非定常方程组、积分形式的守恒型非定常方程组l只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的物只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的物理守恒律。理守恒律。l连续方程：连续方程：l动量方程：动量方程：l能量方程：能量方程：令令 绝势流动能量方程为：绝势流动能量方程为：三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（

3、三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（3D）或引入总焓或引入总焓 ，则，则根据连续方程改写为根据连续方程改写为四、守恒的欧拉方程组的缩写四、守恒的欧拉方程组的缩写 其中，其中，U,F,G,H是列向量是列向量通用形式通用形式u可写成是向量矩阵形式可写成是向量矩阵形式则则u积分型的矢量矩阵表达式积分型的矢量矩阵表达式五、气体状态方程五、气体状态方程其中，其中，引入完全气体状态方程引入完全气体状态方程 方程组封闭可解方程组封闭可解 例例:一维流欧拉方程具体表达式一维流欧拉方程具体表达式令令则则lF是复合函数是复合函数令令方程可写为方程可写为&同理可写出二维欧拉方程的通用表达式同理可写出二维欧拉方程的通

4、用表达式其中其中5-2非定常欧拉方程的特征线非定常欧拉方程的特征线（自学）5-3 非定长欧拉方程的显式格式非定长欧拉方程的显式格式一、简单线性波动方程一、简单线性波动方程其解析解存在其解析解存在沿特征线上沿特征线上二、一阶精度显示差分二、一阶精度显示差分txx=at+c0截断误差截断误差 差分依赖区边界上差分依赖区边界上（微分依赖区与差分依赖区重合）（微分依赖区与差分依赖区重合）精确平移条件精确平移条件：特征线：特征线 上上u不变不变&一阶显示差分格式将不稳定，不能用一阶显示差分格式将不稳定，不能用i-1i特征线三、二阶精度的显示格式三、二阶精度的显示格式 利用利用Taylor级数可构造二阶精

5、度显示差分格式级数可构造二阶精度显示差分格式差分方程稳定性差分方程稳定性：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）令令则则有有当当CFL=1时时，差分方程的依，差分方程的依赖赖区与微分方程区与微分方程依赖区重合，依赖区重合，得到的结果与精确解相同得到的结果与精确解相同&CFL(Courant-Friedrichs-Lowy)数数四、二四、二阶阶精度精度显显示两步差分示两步差分校正：校正：即即&具有二具有二阶阶精度精度预估：预估：n二步格式的构造二步格式的构造向后差分向后差分 给给出中出中间结间结果果校正校正：用中用中间结间结果构造向前差分果构造向前差分&可

6、以反可以反过过来，先向前再向后差分，即来，先向前再向后差分，即，具有一，具有一阶阶精度精度得到二得到二阶阶精度精度预估：预估：五、一维流欧拉方程组差分格式五、一维流欧拉方程组差分格式 方程通用格式方程通用格式 V、F表达式同前表达式同前l预估式预估式 V具有一阶精度具有一阶精度l校正式校正式 V具有二阶精度具有二阶精度 与其等价的微分方程为与其等价的微分方程为&稳定性条件稳定性条件：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。V其稳定性条件其稳定性条件 即即或或 CFL！没有经过严格证明的结论！没有经过严格证明的结论六、二维流欧拉方程组六、二维流欧拉方程组 方程通用

7、形式方程通用形式 其中其中U,F,G同前同前 两步法格式两步法格式:预估预估校正校正 以差分算子以差分算子Lxy表示，则表示，则 MacCormark二阶精度差分格式二阶精度差分格式&分分“七点式七点式”“五点式五点式”稳定性条件：稳定性条件：或或5-4 多维流的时间分裂法多维流的时间分裂法 Time deposition method of Multi-dimension flow v维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小。维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小。Number of dimensions increase leads the stability time step dec

8、reasev显示格式的计算率降低显示格式的计算率降低 Efficiency of explicit scheme decreasev用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一维用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一维差分格式差分格式 Two step time decomposition method is to decompose computation into two step或记为或记为v依赖于依赖于x,y平面内的九个点，先对平面内的九个点，先对y求解，再对求解，再对x求解，为消求解，为消除除x,y顺序影响，第二个时间步可先对顺序影响，第二个时间步可先对x求解再对求

9、解再对y求解。求解。It depends on 9 points in x y plane,firstly to solve it for x then for y in order to eliminated the effect on sequence,second step is for x first and then for y.yx0l在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长 To determine time step individual for x and yl各方面均选取最大允许的值。各方面均选取最大允许的值。

10、On both direction,the time step can be maximum value.l举例：三角形翼型的流动。举例：三角形翼型的流动。契形顶角契形顶角 Example：triangle airfoil AOA 10,Angle of leading edge Take =const y方向分三区：近场、中场、远场方向分三区：近场、中场、远场 Divide 3 zones in y direction,near，middle，far fieldv估算估算x和和y方向时间步长方向时间步长vCalculate the time steps in x and y directio

11、n.时间步长：时间步长：time step:中间场：中间场：middle 近近 场：场：near远远 场：场：far最大最大时时步步长长 各区的运算可各区的运算可规规定定为为 The computation regular for every zone中中间间 Max time step近近场场 nearmiddle远场远场 v四步推四步推时时的运算可的运算可规规定定为为)computation 中中 Middle nearfar4 steps match(近近 near近近中中 middle 远远 1232网格网格 1次次 far远远farv可提高效率可提高效率 Improve effici

12、ency近场近场 432网格网格 4次次 near中中 832网格网格 2次次 middle近近场场，中，中场场，远场远场均均执执行行2次，共次，共1536次次 Near middle far perform 2 times,1536v推推进进4，执执行的运算次数（行的运算次数（时间时间）Total computational time for 4 in total matching若三区网格数相同，全部若三区网格数相同，全部时间为时间为允允许许最大最大时间时间步步Max time stepIf the mesh number are same for three zones（2432）时间时

13、间分裂格式的相分裂格式的相对对数数值值效率效率为为The numerical efficiency of time matching scheme 其中其中Tst代表代表单单位推位推进进需要的需要的计计算机算机时时Where Tst denotes time required for every step结结果果见见p117中中图图5.4.6Results:See p117,Fig.5.4.6v非定常欧拉方程非定常欧拉方程组组中，用中，用总焓总焓方程代替非定常能量方方程代替非定常能量方程也能求得定常解程也能求得定常解 In unsteady Euler Eqs.The energy equat

14、ion can be replace by equation of total当当时时，方程，方程趋趋于定常，整个流于定常，整个流场总焓场总焓不不变变When the equation becomes steady form5-5非定常欧拉方程有限体非定常欧拉方程有限体积积法法 The finite volume method for Euler equations v 限体限体积积法：用基本方程法：用基本方程积积分，以空分，以空间间体体积积元素元素为对为对象象离散化方程离散化方程 Finite volume method:to use integral form of basic equat

15、ions,and express discrete equation in form of volume 其中（对二维问题）其中（对二维问题）where(for 2d problem)为控制面的法向量为控制面的法向量 Where is normal vector of control surface 总焓均匀且不随时间变化的总焓均匀且不随时间变化的Euler流流The Euler flow in which the total enthalpy is uniform and does not change with time 一、一、Maccormark 时间分裂有限体积法时间分裂有限体积法

16、Time decomposition method of Maccormarkv 二阶精度显示两步法格式二阶精度显示两步法格式 2nd order explicit FD with two steps matchingi-1,ji,ji+1,ji,j-1i,j+1yxov网格单元面积（三维问题则为体积）网格单元面积（三维问题则为体积）the area of mesh v单元边界长度矢量（面积矢量）单元边界长度矢量（面积矢量）the vector of boundary edgesv差分格式的积分表形式差分格式的积分表形式 the integrated form of FD其中其中 代表网格中心

17、点的值代表网格中心点的值 where donates the value of center of the mesh引入算子表达式引入算子表达式 introduce FD calculator稳定条件稳定条件 stability condition(二二)非正交曲线坐标网格非正交曲线坐标网格Non-orthogonal grids l有限体积格式不仅可用于正交网格，也可用于非正交网有限体积格式不仅可用于正交网格，也可用于非正交网格格 FVM can be apply not only in orthogonal grids but also in non-orthogonal grids&当当

18、 为常数时，格式是有二阶精度为常数时，格式是有二阶精度Where are constant,the scheme is of 2nd precision1234l对非正交网格对非正交网格For non-orthogonal grids1234体积（面积）体积（面积）Volume（area）l以连续方程为例，写出差分方程有限体积格式以连续方程为例，写出差分方程有限体积格式Take continuity equation as an example，the FD scheme for FVM can be written as 例：叶栅通道Maccormack格式用于叶栅通道拟流线为直线/曲线前后

19、缘设置尖劈S2S1S3S4i,jABCDEFGHSP二、二、Denton方法方法Denton methodABCD网格单元，由拟流线组成网格单元，由拟流线组成Mesh is constructed with quasi-streamlines计算点位于拟流线上且在单元的中央计算点位于拟流线上且在单元的中央 Computational nodes are on quasi-streamline and the center of the meshDenlon 改进格式改进格式以以f表示通量（表示通量（）则可简化）则可简化为为 To press the flux with f,then FD ca

20、n be simplified as following其中，其中，Cf和和Cp是通量和压强修正量是通量和压强修正量 Where Cf and Cp are flux and pressure fluxFf 是通量插值函数，由（是通量插值函数，由（i，j），（），（i-1，j），（），（i-2,j）三个）三个 Ff is the interpolation function,it can be obtained from 计算点的通量内插得到计算点的通量内插得到 Three points(i,j),(i-1,j),(i-2,j)Fp是压强插值函数，由（是压强插值函数，由（i-1,j），（），（

21、i,j），（），（i+1,j）三点内）三点内插插 Fp is the interpolation function obtained from points（i-1,j），（i,j），（i+1,j）是松弛因子是松弛因子 is the relaxation factor同理可写出同理可写出 和和 的表达的表达式式 Based the same principle,and can be obtained&注意：上述格式中，速度分量用旧速度注意：上述格式中，速度分量用旧速度压强用新速度和旧速度组成差分格式压强用新速度和旧速度组成差分格式先求解密度和压强，再求解动量方程求新速度场先求解密度和压强，再求

22、解动量方程求新速度场三、边界条件三、边界条件进进/出口边界条件出口边界条件 Generally three types of BC,inletoutlet BC 周期性周期性 Periodic BC物面边界条件物面边界条件 Wall BC远场边界条件远场边界条件 Far field BC一般有四种：一般有四种：对于叶栅通道内流动，有四种：对于叶栅通道内流动，有四种：For a cascade flow channel,three are four BC进口边界（进口边界（AH）Inlet boundary(AH)周期性边界（周期性边界（AB CD HG FE）Periodical Bounda

23、ry（AB CD HG FE）出口边界（出口边界（ED）Outlet Boundary(ED)n进口（进口（AH）当当 时，需三个条件：时，需三个条件：进气角进气角总温总温总压总压 Inlet(AH),when ,three BC are required,angle of velocity,total temperature,total pressure 边界上值受内通道影边界上值受内通道影响响effected by inner flow当当 时，边界值不受内通道影响，可以给定速度时，边界值不受内通道影响，可以给定速度When ,boundary values are not influen

24、ced by inner flown出口处（出口处（ED）：）：Outlet(ED)当当 （亚音速）需一个条件，一般给压强（亚音速）需一个条件，一般给压强 when (subsonic),pressure as one BC is needed 当当 时，边界值可以外插，无需条件时，边界值可以外插，无需条件n叶片表面上（叶片表面上（BSC或或GPF）On the surface of cascade(BSC,or GPF)速度矢量与表面相切速度矢量与表面相切 The velocity parallels the surfacen周期性边界条件（周期性边界条件（AB和和HG，BC和和FE）On

25、periodic BC(AB,HG,BC,FE):边界上对应点参数相同边界上对应点参数相同.the parameters on corresponding points are same 可向上、下各延伸一点（可向上、下各延伸一点（i,0）和（）和（i,N+1）the grid are extended up and down one point respectively(i,0)(i,N+1)(i,N)(i,1)(i,N+1)(i,N+1)=(i,2)(i,2)(i,0)(i,N)=(i,N-1)(i,N-1)有限体积法中物面通量为有限体积法中物面通量为0，只需要计算物面压强，只需要计算物面

26、压强 For FVM,the flux on surface are zero,only the pressure on boundary is neededl物面法向动量方程：物面法向动量方程：The equation of holmium in the normal of wall对平面流动对平面流动 For plane(2D)flow其中其中R是曲率半径是曲率半径 Where R is radius of curvative其差分格式其差分格式 its FD scheme is其中其中 是是i 点距物面的距离点距物面的距离 Where is the distance to the wal

27、l&可以用外插法，由内点外得到物面上的压强可以用外插法，由内点外得到物面上的压强 Extrapolation method can be used also&计算精度受曲率计算精度影响比较大计算精度受曲率计算精度影响比较大5-6 无粘流计算的人工粘性无粘流计算的人工粘性The artificial viscous of inviscous flow computationl欧拉方程二阶精度显式差分方程截断误差为：欧拉方程二阶精度显式差分方程截断误差为：The trancation error of 2nd explicit FDE for Euler Eqs isl不含粘性不含粘性It doe

28、s not includes viscousityl在激波附近会出现压强和速度的波动和过高峰值在激波附近会出现压强和速度的波动和过高峰值The pressure and velocity will fluctuate near the shockwavel须加入适当人工粘性须加入适当人工粘性 The suitable artificial viscousity must be introduced l过高人工粘性会影响求解精度过高人工粘性会影响求解精度Over high artificial viscosity will influence the precise 对二维对二维Euler流动，

29、人工粘性一般取：流动，人工粘性一般取：For 2D Euler flow，the artificial viscosity is generally其中其中Cx，Cy是人工粘性系数，取是人工粘性系数，取00.5Where Cx，Cy are coefficients of artificial viscosity,given as value 00.5人工粘性相当于给方程增加了两项：人工粘性相当于给方程增加了两项：The artificial viscosity adds two terms to PDE 对应的方程与粘性流对应的方程与粘性流N-S方程相比方程相比Compared with t

30、he corresponding N-S 其中其中 为第二粘性系数为第二粘性系数 Where is second viscous coefficient 法向粘性应力项法向粘性应力项The normal viscosity term is相应的相应的x方向动量方程粘性方向动量方程粘性The corresponding momentum equation in x diraction&与人工粘性具有同样的表达式和含义代表粘性影响（人工粘性）代表粘性影响（人工粘性）McCormack人工粘性人工粘性Denotes the artificial viscousity of McCormack sch

31、eme光滑变化区域，人工粘性是四阶小量，不影响差分格式精度光滑变化区域，人工粘性是四阶小量，不影响差分格式精度In the smooth flow field，the artificial viscosity is 4th order，no influence on the precision of the FDE当出现激波，二阶系数很大，该项会产生明显的粘性作用，适当选取当出现激波，二阶系数很大，该项会产生明显的粘性作用，适当选取Cx可以很好地模拟激波可以很好地模拟激波But when shock appears，the 2nd order partition different becom

32、es larger，it may present significant in viscous effect 例：一维收例：一维收扩喷管过度膨胀流场扩喷管过度膨胀流场Example:1 D Converge-Diverge Nozzle over Expanded激波前：激波前：Ma数光滑过渡数光滑过渡In front of Shock,Ma distribute smoothly.激波后：稍有波动激波后：稍有波动Behind the shock,there exist fluctuation激波位置在三个网格之间激波位置在三个网格之间Shock located in between thre

33、e grids较好的抑制了波动较好的抑制了波动 restraining the fluctuation perfectly.l简单的人工粘性：利用加权平均方式引进数值阻尼简单的人工粘性：利用加权平均方式引进数值阻尼Simple artifical viscosity,to introduce artifical viscosity using weighted average method 其中其中 是阻尼系数。是阻尼系数。When is the damping coefficient.&人工阻尼方法相当于在微分方程中引入修正项人工阻尼方法相当于在微分方程中引入修正项Artificial da

34、mping method is equivalent to 当当 时，时，不会影响二阶格式的精度不会影响二阶格式的精度When it does Not influence the precision of 2nd FD scheme.阻尼系数阻尼系数 取值原则：取值原则：The principle for receiving value of 激波区有较强光滑作用，使激波保持在激波区有较强光滑作用，使激波保持在2-4个网格之间个网格之间It has smooth effect in shock zone.在激波区之外，则希望没有光滑作用，因此应取不同的值。在激波区之外，则希望没有光滑作用，因此

35、应取不同的值。Out of the shock zone,it has no smooth effects.激波捕获法：在差分方程中添加高阶项，取激波间断展宽，但仅为连续的薄激波捕获法：在差分方程中添加高阶项，取激波间断展宽，但仅为连续的薄层层Capture of shock,introduce high order FD to widen the shock and keep it continuous in a thin layer.5-7 加速收敛的方法及算例加速收敛的方法及算例Example of Computation Acceleration一、一、NACA转折角为转折角为800

36、亚声速叶栅亚声速叶栅 NACA cascade with 800 turning angle Denton 方法（方法（1）Denton method（1）lMcCormack时间分裂有限体积法（时间分裂有限体积法（2）McCormack time decomposition FUH(2)压强分布压强分布Pressure distribution 叶背前缘：方法叶背前缘：方法2较方法较方法1有改善有改善Expanded surface method 2 is better.叶盆：比实验值高叶盆：比实验值高Compressed surface,results is higher than tha

37、t of experimentationMa数分布比较：数分布比较：二、二、NACA转折角转折角95具有激波的叶栅具有激波的叶栅 Cascade with 95 deg of turning angle 方法方法2：用人工粘性，可以较好捕获激波：用人工粘性，可以较好捕获激波 Method 2，using artificial viscosity can capture the shock well 三、加速收敛的方法三、加速收敛的方法Acceleration method to iterate computation 定常问题定常问题Steady probleml收敛结果与初值和计算过程无关收

38、敛结果与初值和计算过程无关Converged results has nothing to do with initial flow field and computation proc.l可以使用不同的时间步长可以使用不同的时间步长Diff.time step can be usedl当地时间步长法，取当地允许的最长时间步长当地时间步长法，取当地允许的最长时间步长Local time step method，max.allowed time step can be givenl当地时间步长取决于当地网格当地时间步长取决于当地网格Local time step depends on local

39、 space step and flow para.l收敛之前的流场没有物理意义，只有收敛后才有收敛之前的流场没有物理意义，只有收敛后才有The flow field before convergence has no meaningl原理是加快扰动传播速度原理是加快扰动传播速度The principal of acceleration is to speed up perturbation网格逐步加密方法网格逐步加密方法Method of grid reframe稀网格计算快，但精度低稀网格计算快，但精度低Coarse mesh can speed up computation but it

40、s precision is lower密网格精度高但计算速度慢密网格精度高但计算速度慢Fine grid can give higher precision but convergence is worst疏密结合，先疏后密，可提高计算速度与精度疏密结合，先疏后密，可提高计算速度与精度The best way is to combine coarse-fine grid表表5-2例例l多维流的时间分裂法多维流的时间分裂法The time decomposition method for multi-dimensional flow小结小结Summaryu主要内容主要内容:Main conte

41、ntsl守恒守恒Euler方程方程Conservational Euler equationl非定常流的特征显示格式非定常流的特征显示格式Explicit FDS of steady Euler flowl非定常非定常Euler流流 Unsteady Euler flowl有限体积法有限体积法 Finite volume method of unsteady Euler flowl无粘流人工粘性无粘流人工粘性 Artificial viscosity for inviscous flowl加速收敛的方法加速收敛的方法Acceleration of Methods u重重 点点Importancel加速收敛法加速收敛法Acceleration of Methodsl多步显式格式多步显式格式Multi-step explicit scheme l多维流时间分法多维流时间分法Multi-dimensional time decomposition methodl有限体积法有限体积法Finite volume methodl有限体积法有限体积法Finite volume methodu难难 点点Difficultyl时间分裂法时间分裂法time decomposition Method