大学文科数学第二章课件培训课件.ppt

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1、大学文科数学第二章课件早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴素的极限思想，公元前素的极限思想，公元前4世纪，我国的世纪，我国的庄子庄子就有就有“一尺之一尺之棰，日取其半，万世不竭棰，日取其半，万世不竭”的名言的名言.17世纪上半叶法国数世纪上半叶法国数学家学家笛卡儿笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就进）创建解析几何之后，变量就进入了数学入了数学.随之随之牛顿牛顿（Newton、英国）和、英国）和莱布尼兹莱布尼兹（Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为

2、数学史上划时代的里程碑明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.微积分诞微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个时代科学技术的发展和社会进步时代科学技术的发展和社会进步.在经过长达两个世纪的在经过长达两个世纪的自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见可见“极极限限”是微积分的基础是微积分的基础.阿基里斯追龟阿基里斯追龟一位古希腊学者一位古希腊学者芝诺芝诺（Zenon，公元前，公元前496前前429）曾提出一个著名的）曾提出一个著名的“追龟追龟”诡辩题诡辩题.大家知道，乌龟素以动作迟缓著

3、大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙擅长跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！龟赛跑，将永远追不上乌龟！ABBB1假定阿基里斯现在假定阿基里斯现在A处，乌龟现在处，乌龟现在B处处.为了赶上乌龟，为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达，当他到达B点时，乌点时，乌龟已前进到龟已前进到B1点；当他到达点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等点，如此等等.当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，当阿基里斯到达乌龟前次到

4、达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！追不上乌龟的！B1B2让我们再看一看乌龟所走过的路程让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面度是乌龟的十倍，龟在前面10米米.当阿基里斯跑了当阿基里斯跑了10米米时，龟已前进了时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追米；当阿基里斯再追1米时，龟又前进米时，龟又前进了了0.1米，阿再追米，阿再追0.1米，龟又进了米，龟又进了0.01米米.把阿基里把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：10，1，0.1

5、，0.01，102n，这称为这称为数列数列，an102n为为通项通项，数列常简记为，数列常简记为an.所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为所以，阿基里斯只要坚持跑到所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以米的路程就可以追上乌龟！追上乌龟！然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当长时间内不得不把长时间内不得不把“无限无限”排除在数学之外排除在数学之外.直到直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论世纪，当反应变量无限变化极限理论建立之后，才可用

6、极限理论回答芝诺的挑战建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战.一列数：一列数：10，1，0.1，0.01，102n，称为称为数列数列.102n为为通项通项.一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.初始长度为：初始长度为：1一、数列的极限（问题的引入）：一、数列的极限（问题的引入）：在庄子在庄子天下天下篇中有篇中有截丈问截丈问题题的精彩论述：的精彩论述：第一天剩的长第一天剩的长度为：度为：截丈问题：截丈问题：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.第二天剩的长第二天剩的长度为：度为：截丈问题：截丈问题：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.

7、第三天剩的长第三天剩的长度为：度为：截丈问题：截丈问题：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.第四天剩的长第四天剩的长度为：度为：截丈问题：截丈问题：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.这样可以看出第这样可以看出第n天剩的长度为：天剩的长度为：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.于是得到了数列于是得到了数列:当当n 越来越大时越来越大时,棰越来越短棰越来越短,逐渐趋于逐渐趋于0.再看一下整个过程再看一下整个过程.举例举例:这个数列的通项是这个数列的通项是:011xxnx2x1x0 x3 这个数列的通项是这个数列的通项是:数列极限的

8、定义数列极限的定义(定性描述定性描述):):若该数列不以任何常数为极限，则称若该数列不以任何常数为极限，则称这个数列这个数列发散发散.也称该数列也称该数列收敛收敛.这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言作出的像产生的直觉用自然语言作出的定性描述定性描述.因为当因为当n时，时，趋近趋近于常数于常数0.因为当因为当n时，时，反复的取反复的取1和和1，没有明显没有明显的变化趋势的变化趋势,是发散的是发散的.011xana2a1x0a3 注：注：中各项均为相同的数（常数中各项均为相同的数（常数)1,我们我们把这样的数列称作常数列把这样的数列称

9、作常数列.因为不论因为不论n 取取何值，每项都是何值，每项都是1，因此该数列的极限是，因此该数列的极限是1.2,4,6,2n,1,1,1,1,这个数列的通项是这个数列的通项是:这个数列的通项是这个数列的通项是:数列有以下几种变化趋势数列有以下几种变化趋势:数列的变化数列的变化趋势趋势下面我们直观的看一下极限的下面我们直观的看一下极限的定义定义 在数学中一定要力避几何直观可能带来的错在数学中一定要力避几何直观可能带来的错误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式化的数学语言表

10、达的，超越现实原型的理想化化的数学语言表达的，超越现实原型的理想化的定量描述的定量描述.播放播放当当n无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一确定是否无限接近于某一确定的数值的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻画如何用数学语言刻画它它.如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的.定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数（不论它多（不论它多么小）总存在着相应正整数么小）总存在着相应正整数N，使得满足，使得满足nN的的一切一切n，不等式不等式注：注：该数列有一定的发展趋势该数列有一定的发展趋势趋向于

11、无穷趋向于无穷大，并不收敛，所以大，并不收敛，所以2n无极限无极限.为叙述为叙述方便，可以说方便，可以说2n的极限是的极限是+.因为因为n时，时，2n逐渐变得无穷大，并不逐渐变得无穷大，并不趋近于趋近于某个常数某个常数.但由于但由于2n的变化趋势是逐的变化趋势是逐渐增大的，渐增大的，所以又可认为该数列趋于无穷大所以又可认为该数列趋于无穷大.即即第二节第二节 函数的极限函数的极限主要内容：一、函数极限的概念二、无穷大量与无穷小量三、极限的四则运算及两个 重要极限一一、时时（自变量趋于有限数自变量趋于有限数）x0.90.980.990.99911.0011.011.021.1f(x)=x+11.9

12、1.981.991.99922.0012.012.022.1x0.90.980.990.99911.0011.011.021.1f(x)=x+11.91.981.991.99922.0012.012.022.1有关函数极限的说明：有关函数极限的说明：函数在某点的函数在某点的极限与函数在这点极限与函数在这点的函数值是否存在，的函数值是否存在，以及取值是多少并以及取值是多少并没有关系没有关系.函数在该点函数在该点的极限只与函数在的极限只与函数在该点附近的变化趋该点附近的变化趋势有关系势有关系.对于任意的对于任意的存在存在几何解释几何解释:注意：注意：例例1证明证明例例2证明证明即常数的极限就是该常

13、数即常数的极限就是该常数.二、时（自变量的绝对值无限增大时的情形）在在x时，时，sinx并不向某个点逼近，所并不向某个点逼近，所以无极限以无极限.四、函数极限的性质四、函数极限的性质五、无穷大量与无穷小量五、无穷大量与无穷小量1)无穷大量无穷大量注注:无穷大是无穷大是变量变量,并不是非常大的有限数并不是非常大的有限数.注意注意:（1）无穷大是）无穷大是变量变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是但是无无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.（2）无穷小是无穷小是变量变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆.（3）零是可以作

14、为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.注：注：2)2)无穷小量无穷小量例例变量、极限与无穷小量的关系定理变量、极限与无穷小量的关系定理:1、有限个无穷小量的代数和是无穷小量有限个无穷小量的代数和是无穷小量.无穷小量的性质：无穷小量的性质：例例 2、无穷小量无穷小量与与有界变量有界变量的乘积仍是无穷小量的乘积仍是无穷小量.3、无穷小量无穷小量与与无穷小量无穷小量的乘积是无穷小量的乘积是无穷小量.例例4、常量常量与与无穷小量无穷小量的乘积仍是无穷小量的乘积仍是无穷小量.例例 当当x2时时,sin(x2)是无穷小量，所以是无穷小量，所以3sin(x2)是当是当x2时的无穷小量时的无穷小量.

15、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系在在x 变化同一过程中变化同一过程中,无穷大的倒数无穷大的倒数为无穷小为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大无穷大.意义意义:关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于都可归结为关于无穷小的讨论无穷小的讨论.无穷小量无穷小量无穷大量无穷大量如如定理定理推论推论1 1 这意味着这意味着,常数因子可以提到极限常数因子可以提到极限符号的外面符号的外面.六、极限的四则运算六、极限的四则运算推论推论2这意味着这意味着,求一个函数求一个函数n 次幂的极限次幂的极限等于该函数极限值的等于该函数极限值的n 次幂次幂.例例代数和的极限等于极

16、限的代数和代数和的极限等于极限的代数和.在对商求极限时在对商求极限时,若分母不为若分母不为0，商，商的极限等于先求极限后的极限等于先求极限后,再做除法再做除法.例例要看分子要看分子,分母能否因式分解，并约分分母能否因式分解，并约分.当分母的极限为当分母的极限为0的情形，的情形，例例1.要看能否因式分解；要看能否因式分解；对于分母求极限为对于分母求极限为0的情形，的情形，2.考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质.例例例例解解无穷小量无穷小量分出法分出法比如比如：解解例例有理化法有理化法1)七、两个重要的极限七、两个重要的极限其中，其中，2)第三节第三节 极限应

17、用的一个例子极限应用的一个例子-连续函数连续函数主要内容：主要内容：一、连续函数概念一、连续函数概念二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 一、连续函数一、连续函数连续函数是微积分研究的主要对象连续函数是微积分研究的主要对象.增量的定义增量的定义 设函数设函数设函数设函数 y y=f f(x x)的定义域是的定义域是的定义域是的定义域是X,X,当当当当自变量从定点自变量从定点自变量从定点自变量从定点 x x00变化到新的点变化到新的点变化到新的点变化到新的点x x 时时时时,它们的差它们的差它们的差它们的差称为自变量的增量称为自变量的增量称

18、为自变量的增量称为自变量的增量(或叫做改变量或叫做改变量或叫做改变量或叫做改变量).).记做记做记做记做 注意注意:x可能是正的可能是正的,也可能也可能 是负的是负的.比如：比如：下面的问题帮助我们理解连续的定义：下面的问题帮助我们理解连续的定义：连续函数的定义连续函数的定义 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.这个定义可以帮助理解函数在一点连续这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质：的本质：自变量变化很小时，函数值的变化也很小自变量变化很小时，函数值的变化也很小.在考虑函数的连续性时，我们一般分三在考虑函数的连续性时，我们一般分三步考虑：步考虑：例

19、例1证明证明y=sinx 在定义域内连续在定义域内连续.由于由于于是于是证证因此因此y=sinx 在定义域内连续在定义域内连续.于是于是f(x)函数的间断点函数的间断点从图形中可以看出从图形中可以看出x=1是分段是分段点点,二、连续函数求极限的法则二、连续函数求极限的法则三三、初等函数的连续性、初等函数的连续性例如例如,四则运算的连续性四则运算的连续性反函数和复合函数的连续性反函数和复合函数的连续性定理定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调的连续函数必有严格单调的连续 反函数反函数.推论推论 反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.该定理表明极限符号可以与函数符号

20、互换该定理表明极限符号可以与函数符号互换.初等函数的连续性初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是一切初等函数在其定义区间内都是连续的连续的.定义区间是指定义域内的子区间定义区间是指定义域内的子区间.例例例例6解解解解1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理四、闭区间上连续函数的性质注意注意:定理中的两个条件缺一不可定理中的两个条件缺一不可.若区间是开区间，定理不一定成立若区间是开区间，定理不一定成立;若区间内有间断点，定理不一定成立若区间内有间断点，定理不一定成立.例如例如:f（x）无最大值和最小值）无最大值和最小值.此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢