天津大学物理化学课件第五章 化学平衡只是课件.ppt

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1、天津大学物理化学课件第五章化学平衡5.1化学反应的方向及平衡条件化学反应的方向及平衡条件 1.摩尔反应进度的吉布斯函数变摩尔反应进度的吉布斯函数变dG=YdnY+ZdnZ-AdnA-BdnB =Yyd +Zzd -Aad -Bbd =(y Y+z Z-a A-b B)d 通式：通式：dG=B Bd 恒恒T、p且且W=0时，一化学反应的进度为时，一化学反应的进度为d 时，有：时，有：a A +b B yY +z Z化学势：化学势：A B Y Z微小反应微小反应:-dnA -dnB dnY dnZ 2上式在恒上式在恒T、p下两边同时除以下两边同时除以d，有：，有：一定温度、压力和组成的条件下，反应

2、进行一定温度、压力和组成的条件下，反应进行 了了d 的微量进度折合成每摩尔进度时所引起的微量进度折合成每摩尔进度时所引起 系统吉布斯函数的变化；系统吉布斯函数的变化；或者说是反应系统为无限大量时进行了或者说是反应系统为无限大量时进行了1 mol 进度化学反应时所引起系统吉布斯函数的改进度化学反应时所引起系统吉布斯函数的改变，简称为变，简称为摩尔反应吉布斯函数摩尔反应吉布斯函数，通常以，通常以 rGm 表示。表示。32.化学反应的平衡条件化学反应的平衡条件恒恒T、p且且W=0时，时，化学反应的平衡条件为：化学反应的平衡条件为：45.2理想气体反应的等温方程及标准平衡常数理想气体反应的等温方程及标

3、准平衡常数 1.理想气体反应的等温方程理想气体反应的等温方程 由理想气体的化学势：由理想气体的化学势：有：有：反应组分均处于标准态时，每摩尔反应的反应组分均处于标准态时，每摩尔反应的Gibbs函数变，称为函数变，称为标准摩尔反应标准摩尔反应Gibbs 函数函数5所以所以已知反应温度已知反应温度T 时的各气体分压，即可求得该温度时的各气体分压，即可求得该温度下反应的下反应的 rGm有有理想气体反应等温方程理想气体反应等温方程令令称为反应的称为反应的压力商压力商62.理想气体反应的标准平衡常数理想气体反应的标准平衡常数（1）标准平衡常数）标准平衡常数由化学反应平衡条件，反应达平衡时：由化学反应平衡

4、条件，反应达平衡时：平衡时的压力商平衡时的压力商称为标准平衡常数，称为标准平衡常数，代入上式可有：代入上式可有：定义：定义：（在不引起混淆时，可将（在不引起混淆时，可将peq的上标去掉，简写为的上标去掉，简写为p）7（2 2）化学反应进行方向的判断化学反应进行方向的判断由由可有可有因此：因此：Jp K 时，时，rG m 0，反应自发正向进行，反应自发正向进行Jp K 时，时，rG m=0，反应达到平衡，反应达到平衡Jp K 时，时，rG m 0，反应逆向进行，反应逆向进行Jp可调节：可调节：p产物产物 p反应物反应物 Jp 只要使只要使Jp K，则反应可正向进行则反应可正向进行 83.相关化学

5、反应标准平衡常数之间的关系相关化学反应标准平衡常数之间的关系 当几个化学反应之间有线性加和关系时称它们为相关反应。当几个化学反应之间有线性加和关系时称它们为相关反应。例如以下三个反应：例如以下三个反应：(1)(2)(3)由于反应由于反应(3)=反应反应(1)2 反应反应(2)因此因此可得可得94.有纯凝聚态物质参加的理想气体化学反应有纯凝聚态物质参加的理想气体化学反应 aA(g)+bB(l)yY(g)+zZ(s)例如：例如：常压下，压力对凝聚态化学势的影响可忽略不计，可认为常压下，压力对凝聚态化学势的影响可忽略不计，可认为（cd表示凝聚态）表示凝聚态）(注意：注意：中包含了所有物质的中包含了所

6、有物质的 ，Jp(g)中中只包括了气体的分压）只包括了气体的分压）10平衡时平衡时 rGm=0，有，有由此可知：由此可知：中包括了中包括了所有物质所有物质的的Jp中中只包括了只包括了气体气体的的实际实际分压分压中中只包括了只包括了气体气体的的平衡平衡分压分压11例例:碳酸钙的分解反应碳酸钙的分解反应 CaCO3(s)CaO(s)+CO2(g)为为CO2的平衡压力，亦称为的平衡压力，亦称为CaCO3(s)的的分解压力分解压力 温度一定时，平衡时温度一定时，平衡时 一定，与一定，与CaCO3(s)的量无关的量无关时的温度，称为时的温度，称为CO2的的分解温度分解温度可用分解压力的大小来衡量固体化合

7、物的稳定性：可用分解压力的大小来衡量固体化合物的稳定性：分解压力大，稳定性小，容易分解；分解压力大，稳定性小，容易分解；分解压力小，稳定性大，不易分解。分解压力小，稳定性大，不易分解。例：例：600K 时时 CaCO3的分解压：的分解压：45.3 10-3 Pa MgCO3的分解压：的分解压：28.4 Pa 所以：所以：CaCO3比比MgCO3稳定稳定125.理想气体反应平衡常数的不同表示法理想气体反应平衡常数的不同表示法 气体混合物的平衡组成可用分压气体混合物的平衡组成可用分压pB、浓度、浓度cB、摩尔分数、摩尔分数yB或或物质的量物质的量nB等来表示，相应地等来表示，相应地平衡常数平衡常数

8、也有不同的表示也有不同的表示方法：方法：13所以所以因因14因因代入代入可得可得p为总压，而为总压，而 nB中也包括系统中中也包括系统中不参加反应的惰不参加反应的惰性物质性物质15 如何用热力学方法计算如何用热力学方法计算 的问题，实际上是如何用的问题，实际上是如何用热力学方法计算热力学方法计算 的问题，的问题，归纳起来有三种。归纳起来有三种。5.3平衡常数及平衡组成的计算平衡常数及平衡组成的计算 由可知，平衡常数一方面与由可知，平衡常数一方面与热力学函数相联系，另一方面与反应系统中的平衡热力学函数相联系，另一方面与反应系统中的平衡组成相联系。所以既可通过组成相联系。所以既可通过 计算，也可通

9、过测定计算，也可通过测定平衡组成计算平衡组成计算 ，进而计算。，进而计算。1.及及 的计算的计算（1 1）通过化学反应的）通过化学反应的 和和 来计算来计算 式中：式中：16（2 2）通过）通过 来计算来计算 如前所述，如果一个反应可由其它反应线性组合得到，如前所述，如果一个反应可由其它反应线性组合得到，那么该反应的那么该反应的 也可由相应反应的也可由相应反应的 线性组合得到。线性组合得到。（3 3）通过相关反应计算）通过相关反应计算 2.的实验测定及平衡组成的计算的实验测定及平衡组成的计算 通过测定平衡时各组分的浓度来计算通过测定平衡时各组分的浓度来计算 物理法：物理法：测定平衡反应系统某一

10、物理量，如压力、气体体积、测定平衡反应系统某一物理量，如压力、气体体积、折射率、电导、光吸收等来计算平衡组成，一般不会影响平衡。折射率、电导、光吸收等来计算平衡组成，一般不会影响平衡。化学法：化学法：例如通过化学滴定来测定平衡组成，一般需用降温、例如通过化学滴定来测定平衡组成，一般需用降温、移走催化剂、加入溶剂冲淡等方法中止反应。移走催化剂、加入溶剂冲淡等方法中止反应。17无副反应时，产率无副反应时，产率=转化率转化率有副反应时，产率有副反应时，产率 转化率转化率常用术语常用术语：对于反应：对于反应：以反应物以反应物A为例：为例：18例例1：NO2气体溶于水可生成硝酸。但气体溶于水可生成硝酸。

11、但NO2气体也很容易发生双聚，生成气体也很容易发生双聚，生成 N2O4，N2O4亦可解离，生成亦可解离，生成NO2，二者之间存在如下平衡：，二者之间存在如下平衡：已知已知25 下的热力学数据如下表所示下的热力学数据如下表所示 304.299.16N2O4240.0633.18NO2物质物质现设在现设在25 下，恒压反应开始时只有下，恒压反应开始时只有N2O4，分别求，分别求100 kPa下和下和50 kPa下下反应达到平衡时，反应达到平衡时，N2O4的解离度的解离度 1和和 2，以及，以及NO2的摩尔分数的摩尔分数y1和和y2。解：首先根据热力学数据计算反应的平衡常数：解：首先根据热力学数据计

12、算反应的平衡常数：19根据反应式进行物料衡算，设根据反应式进行物料衡算，设N2O4的起始量为的起始量为1mol，开始时开始时n/mol 1 0 平衡时平衡时n/mol 1 2 =1 +2 =1+20当当 p1=100 kPa时，解得时，解得 1=0.1874，当当 p2=50 kPa时，解得时，解得 2=0.2605，此题还可以用另一种方法进行平衡组成计算：此题还可以用另一种方法进行平衡组成计算：因平衡时总压因平衡时总压：代入：代入：可得：可得：解此一元二次方程可得：解此一元二次方程可得：p1=100 kPa时，时，=0.3156，y1=0.3156 p2=50 kPa时，时，=0.2066，

13、y2=0.4133 利用利用 解得解得 1=0.1874，2=0.2605 21 由该题可知：由该题可知：（1）降低压力有利于体积增加的反应，故）降低压力有利于体积增加的反应，故 变大，这与平衡变大，这与平衡移动原理是一致的；移动原理是一致的；（2）对于平衡组成之间的计算，有多种方法可采用，一般）对于平衡组成之间的计算，有多种方法可采用，一般尽量采用比较简单的方法。对于恒压反应，多数情况尽量采用比较简单的方法。对于恒压反应，多数情况下采用第一种方法、即通过下采用第一种方法、即通过nB的变化进行物料衡算较的变化进行物料衡算较简单；第二种方法即用压力进行物料衡算，对于像该简单；第二种方法即用压力进

14、行物料衡算，对于像该题这样只有二种气体的反应也比较简单，但对于有三题这样只有二种气体的反应也比较简单，但对于有三种以上气体的反应，计算较繁琐。种以上气体的反应，计算较繁琐。(见下例见下例)22例例2：煤炭化工中，为了将煤转化成有用的化工原料，常将煤在高温下：煤炭化工中，为了将煤转化成有用的化工原料，常将煤在高温下 与水蒸气反应，生产合成原料气（与水蒸气反应，生产合成原料气（CO+H2），例如：），例如：已知在已知在1000K、101.325 kPa的条件下，反应的的条件下，反应的K=2.51求：平衡转化率求：平衡转化率 解：解：首先进行物料衡算，设首先进行物料衡算，设H2O的初始量为的初始量为

15、1 mol，则，则 开始时开始时nB/mol1 0 0平衡时平衡时nB/mol 1 nB=(1 )+=1+B=1+1 1=1 解得解得23该题如用分压进行物料衡算，步骤如下：该题如用分压进行物料衡算，步骤如下：平衡时平衡时nB/mol 1 平衡时平衡时yB 平衡时平衡时pB 化简后可得：化简后可得：与前面所得结果一致与前面所得结果一致,但解题步骤繁琐。但解题步骤繁琐。24有些同学用一种类似恒容的方法进行物料衡算：有些同学用一种类似恒容的方法进行物料衡算：起始时起始时pB p0 0 0平衡时平衡时pB 而：而：有：有：注意这种按恒容条件来进行的物料衡算，注意这种按恒容条件来进行的物料衡算，p0

16、不等于平衡总压。不等于平衡总压。解二次方程解二次方程得：得：px=46.38 kPa ，=px/p0=px/(p-px)=0.844（如果认为（如果认为 p0 等于总压，则将解出错误的结果。）等于总压，则将解出错误的结果。）25对于恒压反应，由于各组分分压之间的变化没有简对于恒压反应，由于各组分分压之间的变化没有简单的定量关系，所以用分压来进行物料衡算实际要借助单的定量关系，所以用分压来进行物料衡算实际要借助各组分的摩尔分数各组分的摩尔分数 yB，即，即 pB=yBp，计算较麻烦；而利，计算较麻烦；而利用用nB、来进行物料衡算，并利用来进行物料衡算，并利用Kn K的关系解题比的关系解题比较简单

17、。较简单。但对于恒容反应来说，则可直接利用但对于恒容反应来说，则可直接利用 pB 来来进行物料进行物料衡算。衡算。26例例3：在体积为：在体积为2 dm3 的恒容密闭容器中，于的恒容密闭容器中，于25 下通入气体下通入气体A，使，使p1=53.33 kPa，此温度下，此温度下A不发生反应，容器内无其它气体。现将系统加不发生反应，容器内无其它气体。现将系统加热至热至 300 C，A发生分解反应发生分解反应（1）平衡时，测得总压）平衡时，测得总压 p=186.7 kPa，求和各为多少？，求和各为多少？（2）在在300 下向上述容器中又加入下向上述容器中又加入0.02 mol的的Y(g)，求原通入，

18、求原通入A的的 为多少？为多少？解：（解：（1）因系统恒容，在）因系统恒容，在300 若若A不分解，此时系统的初始压力为：不分解，此时系统的初始压力为：进行物料衡算：进行物料衡算：开始时：开始时：0 0平衡时：平衡时：总压总压27根据平衡时的总压和根据平衡时的总压和A的起始压力，可算得平衡时的起始压力，可算得平衡时（2）向上述容器中又加入）向上述容器中又加入0.02 mol的的Y(g)，可将其考虑为，可将其考虑为Y的初始压力的初始压力 根据新的初始压力，重新进行物料衡算：根据新的初始压力，重新进行物料衡算：开始时开始时pB/kPa102.5 47.66 0 平衡时平衡时pB/kPa 102.5

19、(1 )47.66+102.6 102.5 28解得解得 =0.756 由该题可知，对于恒容反应，由于各组分分压由该题可知，对于恒容反应，由于各组分分压pB的变的变化直接反映了各组分物质的量的变化，故利用分压及其与化直接反映了各组分物质的量的变化，故利用分压及其与总压之间的关系进行物料衡算，进而用分压来计算，解题总压之间的关系进行物料衡算，进而用分压来计算，解题步骤较简单。步骤较简单。295.4温度对标准平衡常数的影响温度对标准平衡常数的影响 通常由标准热力学数据可得通常由标准热力学数据可得进而得进而得问题：其它温度下的如何求？问题：其它温度下的如何求？1.范特霍夫方程范特霍夫方程 第三章曾导

20、出第三章曾导出Gibbs-Helmholtz等压方程等压方程(P130)将将 代入上式，可得代入上式，可得:30由该式可知：由该式可知：0 时：吸热反应，时：吸热反应，T，K ，升温对正反应有利；，升温对正反应有利；0，1，CaCO3的分解反应不能正向进行；而当温度上升到的分解反应不能正向进行；而当温度上升到837 时，时，=1.01325，这时的，这时的 0时，时，p，Ky ，平衡向左移动；，平衡向左移动；例：例：C(s)+CO2(g)=2CO(g)B(g)0时，时，p，Ky ，平衡向右移动；，平衡向右移动；例：例：N2(g)+3H2(g)=2NH3(g)结论：加压对气体物质的量减小（结论：

21、加压对气体物质的量减小（B(g)0）的反应有利。）的反应有利。36为什么利用为什么利用Ky 的变化可以判断压力对反应平衡的移动的影响？的变化可以判断压力对反应平衡的移动的影响？根据根据代入代入可得：可得：对于一个已处于平衡的反应，如果加压会使对于一个已处于平衡的反应，如果加压会使Ky减小，则减小，则瞬间的瞬间的Jy将大于将大于Ky，使，使 rGm0，所以平衡将向左移动。同，所以平衡将向左移动。同理可分析压力使理可分析压力使Ky 改变时的其它情况。改变时的其它情况。372.2.惰性组分对平衡移动的影响惰性组分对平衡移动的影响恒温恒压下的反应，恒温恒压下的反应，恒定、总压恒定、总压p保持不变，加保

22、持不变，加入惰性气体，将使系统中总的物质的量入惰性气体，将使系统中总的物质的量 nB变大变大。n B(g)0 时时 加入加入惰性气体惰性气体，nB，Kn ，平衡向右移动；，平衡向右移动；n B(g)0 时时 加入加入惰性气体惰性气体，nB ，Kn，平衡向左移动。，平衡向左移动。结论：加入结论：加入惰性气体，惰性气体，相当于系统总压降低，相当于系统总压降低，对气体对气体物质的量增加（物质的量增加（B(g)0）的反应有利。）的反应有利。38为什么利用为什么利用Kn可以判断惰性气体对反应平衡移动的影响？可以判断惰性气体对反应平衡移动的影响？根据根据可得：可得：对于一个已处于平衡的反应，如果加入惰性气

23、体会使对于一个已处于平衡的反应，如果加入惰性气体会使Kn减小，则瞬间的减小，则瞬间的Jn将大于将大于Kn，使，使 rGm0，所以平衡将向左，所以平衡将向左移动。同理可分析惰性气体使移动。同理可分析惰性气体使Kn 改变时的其它情况。改变时的其它情况。代入代入39例：甲烷在例：甲烷在500oC分解：分解：CH4(g)=C(s)+2H2(g)=5.56 kJ mol-1求：求：(1)=？(2)p=1atm 和和 0.5atm，不含惰性气体时，不含惰性气体时，CH4 的的 =？(3)p=1atm，含，含50%惰性气体时，惰性气体时，CH4的的 =？解：解：(1)(2)CH4(g)=C(s)+2H2(g

24、)开始开始n/mol 1 0 平衡平衡n/mol 1 2 nB=1+，B=1 40p=101.325 kPa时，时，=0.307p=50.663 kPa时，时，=0.415p，有利于，有利于CH4的分解的分解(3)CH4(g)=C(s)+2H2(g)惰性气体惰性气体 开始开始n/mol 1 0 1平衡平衡n/mol 1-2 1 nB=2+，B=1 p=101.325 kPa时，时，=0.391加入惰性气体，相当于加入惰性气体，相当于p，有利于，有利于V 的反应的反应注意：对于恒容反应，加入惰性气体后，不会改变系统中各注意：对于恒容反应，加入惰性气体后，不会改变系统中各组分的分压，所以对反应平衡

25、无影响。组分的分压，所以对反应平衡无影响。413.增加反应物的量对平衡移动的影响增加反应物的量对平衡移动的影响 对于有不止一种反应物参加的反应，如：对于有不止一种反应物参加的反应，如：恒温恒容条件下增加反应物的量和恒温恒压条件下增恒温恒容条件下增加反应物的量和恒温恒压条件下增加反应物的量，对平衡移动的影响是不同的。加反应物的量，对平衡移动的影响是不同的。在在恒温、恒容恒温、恒容的条件下，增加反应物的量，无论是单的条件下，增加反应物的量，无论是单独增加一种还是同时增加两种，都是会使平衡向右移动，独增加一种还是同时增加两种，都是会使平衡向右移动，对产物的生成有利。对产物的生成有利。如果一个反应的两

26、种原料气中，如果一个反应的两种原料气中，A气体较气体较B气体便宜很多，而气体便宜很多，而A气体气体又很容易从混合气中分离，那么为了充分利用又很容易从混合气中分离，那么为了充分利用B气体，可使气体，可使A气体大大气体大大过量，以尽量提高过量，以尽量提高B的转化率，以提高经济效益。的转化率，以提高经济效益。42 但在但在恒温、恒压恒温、恒压条件下，增加某种反应物条件下，增加某种反应物B B的量却不一定的量却不一定总使平衡向右移动。总使平衡向右移动。恒恒T、p下反应物不止一种的反应达到平衡时，再加入某种反应物下反应物不止一种的反应达到平衡时，再加入某种反应物B对平衡移动的影响可根据对平衡移动的影响可

27、根据来判断，当计算结果大于零时，说明来判断，当计算结果大于零时，说明Jy将随将随nB的增加而增加，平衡向左的增加而增加，平衡向左移动。而该式只有在同时满足下面二个条件时，其值才有可能大于零：移动。而该式只有在同时满足下面二个条件时，其值才有可能大于零：(1)反应物计量系数之和大于产物计量系数之和；反应物计量系数之和大于产物计量系数之和；(2)平衡时反应物平衡时反应物B的的摩尔分数摩尔分数yB大于大于 B/B。例如：合成氨的反应例如：合成氨的反应 当反应物的起始摩尔比为当反应物的起始摩尔比为1:1时，达到平衡时的系统中时，达到平衡时的系统中 ，此时再加入，此时再加入N2，会使平衡向左移动。，会使

28、平衡向左移动。43设反应物的起始摩尔比设反应物的起始摩尔比 r=nB/nA，总压不变时，总压不变时，r ，产物的平衡含量产物的平衡含量 y产产 在在 r=b/a 时会时会出现极大值。出现极大值。例：合成氨反应：例：合成氨反应：N2(g)+3H2(g)=2NH3(g)因此，选择最佳配比，可因此，选择最佳配比，可得到更好的经济效益。得到更好的经济效益。令：令：此外，反应物此外，反应物A与与B的起始摩尔配比会对产物的平衡含量的起始摩尔配比会对产物的平衡含量产生影响。产生影响。对于反应：对于反应：44*5.6同时反应平衡组成的计算同时反应平衡组成的计算 同时平衡同时平衡：一种或多种组分同时参加两个以上

29、独立反应，所一种或多种组分同时参加两个以上独立反应，所 达到的平衡。达到的平衡。平衡时其组成同时满足几个反应的平衡平衡时其组成同时满足几个反应的平衡。独立反应：相互之间没有线性组合关系的反应；独立反应：相互之间没有线性组合关系的反应；独立反应数：系统中存在的独立反应数目。独立反应数：系统中存在的独立反应数目。提示：提示：同时参加多个独立反应的组分，其平衡组成只有一个同时参加多个独立反应的组分，其平衡组成只有一个 例：例：一真空密闭容器中两种铵盐同时发生分解反应：一真空密闭容器中两种铵盐同时发生分解反应：NH4Cl(s)=NH3(g)+HCl(g)=0.2738 NH4I(s)=NH3(g)+H

30、I(g)=8.836 10-3求：平衡组成求：平衡组成45解：平衡时：解：平衡时：NH4Cl(s)=NH3(g)+HCl(g)pNH3 pHCl NH4I(s)=NH3(g)+HI(g)pNH3 pHI 三种气体的分压应满足三个方程：三种气体的分压应满足三个方程：(1)+(2)，再将，再将(3)代入，有：代入，有：46某一组分同时参加几个反应，平衡时分压只有一个某一组分同时参加几个反应，平衡时分压只有一个47 5.7 真实气体反应的化学平衡真实气体反应的化学平衡 真实气体混合物中组分真实气体混合物中组分B的化学势：的化学势：平衡时，化学反应等温方程：平衡时，化学反应等温方程：48因因所以所以令

31、令可有可有计算平衡常数或平衡组成：计算平衡常数或平衡组成：利用利用 rG m 求求K，利用普遍化逸度系数图查，利用普遍化逸度系数图查 值求值求K ，利用利用K=Kp K 求平衡常数求平衡常数Kp，进而计算平衡组成，进而计算平衡组成pB。对于理想气体对于理想气体则则49本章小结本章小结 本本章章主主要要介介绍绍热热力力学学在在化化学学中中的的最最重重要要应应用用用用热热力力学学的的方方法法来来处处理理化化学学平平衡衡问问题题。基基本本思思路路是是将将相相应应的的化化学学势势表表达达式式代代入入化化学学反反应应吉吉布布斯斯函函数数的的计计算算式式 ，由由此此导导出出吉吉布布斯斯等等温温方方程程。根

32、根据据吉吉布布斯斯函函数数判判据据，在在恒恒温温恒恒压压 下下 反反 应应 达达 到到 平平 衡衡 时时 ，由由 等等 温温 方方 程程 可可 得得 到到 。可可由由热热力力学学数数据据计计算算得得到到，借借助助 可可从从理理论论上上计计算算反应平衡时系统的平衡组成。反应平衡时系统的平衡组成。由由于于 只只是是温温度度的的函函数数，所所以以 也也只只是是温温度度的的函函数数。温温度度不不仅仅能能通通过过改改变变 而而改改变变平平衡衡组组成成，有有时时甚甚至至可可改改变变反应的方向。反应的方向。50 对于对于 的反应，除温度的影响外，其他一些因素，的反应，除温度的影响外，其他一些因素，如压力、惰性气体、反应物的配比等，虽不能改变如压力、惰性气体、反应物的配比等，虽不能改变 ，但却，但却能使反应平衡发生移动，进而影响反应的最终转化率。这对于能使反应平衡发生移动，进而影响反应的最终转化率。这对于在某些情况下更经济合理地利用资源、设计反应、提高转化率在某些情况下更经济合理地利用资源、设计反应、提高转化率提供了更多的思路。提供了更多的思路。51此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢