对坐标的曲线积分讲解学习.ppt

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1、 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分对坐坐标的曲的曲线积分分 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分求和求和取极限取极限取近似取近似取取即即近似值近似值精确值精确值2 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分二、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的概念与性质1.定义定义设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条的一条 用用L上的点上的点:把把L分成分成n个有向小弧段个有向小弧段有向有向光滑曲线弧光滑曲线弧,函数函数P(x,y),Q(x,y)在在L上有界上有界.上任意取定的点上任意取定的点.定义定义10.210.

2、23 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分如果当各小段长度的最大值如果当各小段长度的最大值的极限总存在的极限总存在,记作记作则称此极限为函数则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧 L上上或称或称第二类曲线积分第二类曲线积分.对对坐标坐标x 的曲线积分的曲线积分,即即类似地定义类似地定义称称Q(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧 L上上 对对坐标坐标y 的曲线积分的曲线积分.积分弧段积分弧段被积函数被积函数4 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分2.存在条件存在条件当当P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧在有向光滑曲线弧L上上则第二类

3、则第二类连续连续(或在或在L上只有有限个间断点上只有有限个间断点,并且有界并且有界),曲线积分存在曲线积分存在.以后总假定以后总假定P(x,y),Q(x,y)在在L上连续上连续.5 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分3.组合形式组合形式点积形式点积形式其中其中有向曲线元有向曲线元向向量量形形式式为向量值函数为向量值函数,6 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分4.物理意义物理意义有向曲线元有向曲线元沿沿AB所作的功所作的功W7 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分5.推广推广空间有向曲线弧空间有向曲线弧,8 10.2 第二类第

4、二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分6.性质性质性质性质1 1假设向量值函数假设向量值函数在曲线在曲线L上上连续连续.向向量量形形式式9 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分LL1L2若把有向曲线弧若把有向曲线弧L分成两段光滑的有向分成两段光滑的有向性质性质2 2曲线弧曲线弧L1和和L2,则则相反的有向曲线弧相反的有向曲线弧,则则设设L是有向光滑曲线弧是有向光滑曲线弧,性质性质3 3对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关.-L是与是与L方向方向10 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分补充补充在分析问题和算题时常用在分析

5、问题和算题时常用对称性质对称性质.L在上半平面部分与下半平面部分在上半平面部分与下半平面部分P(x,y)为为P(x,y)为为其中其中L1是曲线是曲线L的上半平面的部分的上半平面的部分.类似地类似地,对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分,当平面曲线当平面曲线L是分段光滑的是分段光滑的,关于关于的走向相反时的走向相反时,则则x 轴对称轴对称,y的偶函数的偶函数,y的奇函数的奇函数的讨论也有相应的结论的讨论也有相应的结论.对对11 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分将原式分成两部分将原式分成两部分,即即曲线关于曲线关于的走向与的走向与L在下半部分的走向相反在下半部分的走向相反,被

6、积函数为被积函数为利用利用对称性质对称性质.L在上半部分在上半部分x轴对称轴对称,y的偶函数的偶函数.原式原式例例取逆时针方向取逆时针方向.其中其中ABCDA为为解解12 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分曲线关于曲线关于L在右半部分的走向与在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反在左半部分的走向相反,被积函数为被积函数为所以所以,y轴对称轴对称,x的偶函数的偶函数.13 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算因此下限应是起点的坐标因

7、此下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标上限是终点的坐标.解法解法化为参变量的化为参变量的定积分定积分计算计算14 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分定理定理10.3且且连续连续,且且设设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧在曲线弧L上有定义上有定义点点M(x,y)从从L的起点的起点A沿沿L运动到终点运动到终点B,为端点的闭区间上具有一阶连续为端点的闭区间上具有一阶连续当参数当参数t单调地由单调地由导数导数,则曲线积分则曲线积分证证 先证先证15 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分设分点设分点xi对应参数对应参数ti,由定义由定义由于由于因为因为L为

8、光滑弧为光滑弧,所以所以同理可证同理可证拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理16 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分特殊情形特殊情形(1)(2)则则则则x起点为起点为a,终点为终点为by起点为起点为c,终点为终点为d,17 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分(3)推广推广18 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分例例解解(1)化为对化为对x的积分的积分19 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分(2)化为对化为对y的积分的积分20 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分 其中其中是由点是由

9、点A(1,1,1)到点到点B(2,3,4)的直线段的直线段.直线直线AB的方程为的方程为解解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于是例例A点对应点对应B点对应点对应21 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分例例(1)L是上半圆周是上半圆周 反时针方向反时针方向;解解A点对应点对应(2)L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段.(1)中中L的的参数方程参数方程为为B点对应点对应其中其中原式原式=22 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分(2)L的方程为的方程为原式原式=(2)L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段.其中其中23 10.

10、2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分则曲线积分则曲线积分设设L为圆周为圆周在第一象限中的部分在第一象限中的部分的值为的值为().解解 设设L的的参数方程参数方程为为(逆时针方向逆时针方向),24 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分设设A对应对应例例设点设点 M(x,y,z)的向径的向径一单位正电荷沿光滑曲线一单位正电荷沿光滑曲线:解解即即根据库伦定律根据库伦定律,位于原点位于原点(0,0,0)处的电荷处的电荷q产生的静电场中产生的静电场中,所作的功所作的功W.从点从点A移到点移到点B,B对对应应的电场力的电场力位于点位于点M处的单位正电荷受到处的单位正电

11、荷受到求电场求电场25 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分因此所求的功为因此所求的功为其中其中分别是点分别是点A和和B到原点的距离到原点的距离.此例表明此例表明,静电场电场力作功只与正电荷运静电场电场力作功只与正电荷运动的起点和终点的位置有关动的起点和终点的位置有关,而与运动的路径无而与运动的路径无关关.凡是具有这种特性的力场凡是具有这种特性的力场,称称保守力场保守力场.26 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分四、两类曲线积分之间的关系四、两类曲线积分之间的关系设设有向有向平面曲线弧为平面曲线弧为则则L上点上点(x,y)处的切线向量的方向角为处的

12、切线向量的方向角为有向有向曲线弧曲线弧L的切向量为的切向量为27 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分可用向量表示可用向量表示有向曲线元有向曲线元则则推广推广 空间曲线空间曲线上点上点(x,y,z)处的切线向量的方向角为处的切线向量的方向角为28 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分例例解解 所以所以把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分化为对弧长的曲线积分.其中其中L为沿抛物线为沿抛物线点点(0,0)到到(1,1).从从29 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念对坐标曲

13、线积分的计算对坐标曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系五、小结五、小结四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:化为定积分计算化为定积分计算对坐标曲线积分的物理意义对坐标曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质关于曲线方向的性质注意注意:对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质30 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分思考题思考题答案答案31 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分作作 业业习题习题10.2(42510.2(425页页)32 10.2 第二类第二类(对坐标对坐标)的曲线积分的曲线积分此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢