《高等数学》向量代数和空间解析几何复习过程.ppt

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1、空间(kngjin)解析几何 一、向量一、向量(xingling)代代数数二、空间二、空间(kngjin)解析几何解析几何第一页，共34页。1 1、向量、向量(xingling)(xingling)的概念的概念定义定义:既有大小又有方向既有大小又有方向(fngxing)(fngxing)的的量称为向量量称为向量.相等向量相等向量(xingling):大小相大小相等等,方向相同方向相同负向量负向量:大小相同大小相同,方向相反方向相反向径向径:起点为原点起点为原点零向量零向量:模为模为0的向量的向量,方向不固定方向不固定向量的模向量的模:向量的长度向量的长度(大小大小)单位向量单位向量:模为模为1

2、的向量的向量一、向量代数一、向量代数第二页，共34页。（2）向量）向量(xingling)的分解式：的分解式：在三个坐标轴上的分向量在三个坐标轴上的分向量(xingling)：（3）向量的坐标）向量的坐标(zubio)表示式：表示式：向量的坐标：向量的坐标：2 2、向量的表示法、向量的表示法（1）有向线段）有向线段 (模和方向模和方向余弦余弦）第三页，共34页。(1)加法(jif)：3 3、向量、向量(xingling)(xingling)的线性运算的线性运算(2)减法(jinf)：(3)(3)向量与数的乘法：向量与数的乘法：第四页，共34页。线性运算线性运算(yn sun)的坐标表达式的坐标

3、表达式第五页，共34页。向量模长的坐标向量模长的坐标(zubio)表示式表示式向量方向向量方向(fngxing)余弦余弦的坐标表示式的坐标表示式第六页，共34页。4 4、数量、数量(shling)(shling)积积数量数量(shling)积的坐积的坐标表达式标表达式两向量夹角余弦的坐标两向量夹角余弦的坐标(zubio)表示式表示式第七页，共34页。运算(yn sun)律(1)交换律(2)结合律(3)分配律第八页，共34页。5、向量向量(xingling)积积定义(dngy)：向量(xingling)方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称 几何意义：右图三角形面积S第九页，共34页。性

4、质(xngzh)为非零向量(xingling),则运算运算(yn sun)律律(2)分配律(3)结合律第十页，共34页。向量向量(xingling)积的积的坐标表达式坐标表达式第十一页，共34页。解解第十二页，共34页。解解第十三页，共34页。例例3.已知向量已知向量(xingling)的夹角(ji jio)且解：解：第十四页，共34页。例4.已知三点(sn din)角形 ABC 的面积(min j)解解:如图所示,求三第十五页，共34页。横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点1 1、空间、空间(kngjin)(kngjin)直角坐标系直角坐标系空间空间(kngjin)的点的点有序数组有序数组二、空

5、间二、空间(kngjin)解析几何解析几何第十六页，共34页。它们它们(t men)距离为距离为两点间距离两点间距离(jl)(jl)公式公式:点到平面的距离点到平面的距离(jl)公式：公式：第十七页，共34页。（1 1）旋转）旋转(xunzhun)(xunzhun)曲面曲面定义：以一条定义：以一条(y tio)(y tio)平平面曲线绕其平面上的一条面曲线绕其平面上的一条(y tio)(y tio)直线旋转一周所直线旋转一周所成的曲面成的曲面.这条定直线这条定直线(zhxin)(zhxin)叫旋转曲面的轴叫旋转曲面的轴.2 2、曲面、曲面第十八页，共34页。方程方程(fngchng)(fngc

6、hng)特点特点:第十九页，共34页。（2 2）柱面柱面定义定义(dngy)：平行平行(pngxng)(pngxng)于定直线并沿定曲线于定直线并沿定曲线C C移移动的直线动的直线L L所形成的曲面所形成的曲面.这条定曲线叫柱面的这条定曲线叫柱面的准线准线(zhn xin)(zhn xin)，动直线叫柱面的母线动直线叫柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：第二十页，共34页。椭球面椭球面(3)二次曲面二次曲面第二十一页，共34页。抛物面抛物面抛物面抛物面 椭圆(tuyun)抛物面(p,q 同号)双曲抛物面（鞍形曲面(qmin)）特别(tbi),当 p=q 时为绕 z 轴的

7、旋转抛物面.(p,q 同号)第二十二页，共34页。双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面第二十三页，共34页。3 3、空间、空间(kngjin)(kngjin)曲线曲线（1 1）空间空间(kngjin)(kngjin)曲线的一般曲线的一般方程方程（2 2）空间曲线空间曲线(qxin)(qxin)的参数的参数方程方程第二十四页，共34页。空间空间(kngjin)平面平面一般(ybn)式点法式(fsh)截距式三点式4.4.空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程第二十五页，共34页。特殊特殊(tsh)(tsh)情情形形 当当 D=0 D=0 时时,A x+B y+C z=0,A x+

8、B y+C z=0 表示表示(biosh)(biosh)通过通过(tnggu)原原点的平面点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.第二十六页，共34页。例例5.求通过求通过(tnggu)x 轴和点轴和点(4,3,1)的平的平面方程面方程.解解:因平面(pngmin)通过 x 轴,设所求平面(pngmin)方程

9、为代入已知点得化简,得所求平面方程第二十七页，共34页。为直线(zhxin)的方向向量.空间空间(kngjin)(kngjin)直线直线一般(ybn)式对称式参数式为直线上一点;第二十八页，共34页。例例6.6.用对称式及参数用对称式及参数(cnsh)(cnsh)式表示直式表示直线线解解:先在直线先在直线(zhxin)(zhxin)上找一上找一点点.再求直线的方向(fngxing)向量令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.第二十九页，共34页。故所给直线(zhxin)的对称式方程为参数(cnsh)式方程为解题解题(ji(ji t)t)思路思路:先找直线上一点;再找直

10、线的方向向量.第三十页，共34页。例例例例7.7.7.7.求直线求直线求直线求直线(zhxin)(zhxin)(zhxin)(zhxin)与平面(pngmin)的交点(jiodin).提示提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.第三十一页，共34页。面与面的关系面与面的关系(gun x)(gun x)平面(pngmin)平面(pngmin)垂直:平行:夹角公式:5.5.线面之间的相互关系线面之间的相互关系第三十二页，共34页。直线(zhxin)线与线的关系(gun x)直线(zhxin)垂直:平行:夹角公式:第三十三页，共34页。平面(pngmin):垂直(chuzh)：平行(pngxng)：夹角公式：面与线间的关系面与线间的关系直线:第三十四页，共34页。