例非均匀分布立体的质量.ppt
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1、例非均匀分布立体的质量 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望(i)将分成 n 个小立体 1,2,n,记 Vi 表示的i 的体积,i=1,2,n.由于(x,y,z)连续,从而当i很小时,在i上(x,y,z)的变化不大.可近似看作不变.(ii)即,(i,i,i)Di,以(i,i,i)作为 i 的体密度.从而,i的质量mi (i,i,i)V i(iii)因此,的质量(iv)设R3为有界闭区域,f(x,y,z)是定义在上的有界函数.将任意分成 n 个无公共内点的
2、小区域 i,(i=1,2,n),用Vi表示i的体积.并记如果对任意的分法和任意的取法,当 0时,和式则称 f(x,y,z)在上可积,记为f(x,y,z)R(),定义定义1 1并称此极限值I为f(x,y,z)在上的三重积分,记作其中“”称为三重积分号,称为积分区域,f(x,y,z)称为被积函数,dv称为体积元素,三重积分也记为即三重积分的性质与二重积分性质完全类似,比如若 f(x,y,z)在上连续,则 f(x,y,z)在上可积;常数因子可从积分号中提出来;和的积分等于积分之和;积分的可加性;积分的保号性;积分中值定理等.1.1.直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系下下下下三重积分的计算三重积
3、分的计算三重积分的计算三重积分的计算.类似于二重积分,三重积分可化为三个定积分计算(三次积分).设是R3中一母线平行于z 轴,上,下底分别为 z=z2(x,y),z=z1(x,y)的柱体.在xy面上的投影区域记为Dxy.如图0yzxz2=z2(x,y)Dxybaz1=z1(x,y)二、三重积分的计算二、三重积分的计算则为x型区域)0yzxz2=z2(x,y)Dxybaz1=z1(x,y)y=y1(x)y=y2(x)即为y型区域.则应用时先画出的草图,看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面.确定最里层积分上,下限.然后到Dxy上作二重口诀:从里到外,面面,线线,点点.积分.注:注:1.当是一柱体,但侧
4、面的母线平行于 y 轴,它在xz面上的投影区域为Dxz,则可选择先对 y 积分,然后到Dxz上作二重积分.2.当是一柱体,但侧面的母线平行于 x 轴,它在yz面上的投影区域为Dyz,则可选择先对x 积分,然后到Dyz上作二重积分.3.当的母线退缩成一点时,此时不是柱体.比如.但作三重积分时,仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理,:x2+y2+z2 1.则 Dxy:x2+y2 1.例例1.1.y=0,z=0 和 x+y+z=1所围成的四面体.解解:在xy面上的投影区域为Dxy:0 y 1x,0 x 1.沿 z 轴方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1 x y.y0zx111Dxyx+y=1x+
5、y+z=1类似,例例2.2.解解:若先对 z 积分,由于沿 z 轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成,且在xy面上投影区域相对复杂.积分较繁.改为先对 y 积分.y0zx1沿 y 轴方向,求在xz面上的投影区域Dxz.消去 y,故 Dxz:y0zx1注意,由于先对 x,再对 y,再对 z 的积分里面的两个定积分(二次积分)本质上就是一个二重积分,因此,在很多情形下可先做一个二重积分,再做一个定积分,称为“先二后一”的积分,相应地称前面的方法为“先一后二”的积分.设空间有界闭区域 满足C1 z C2,并且以平行于 xy 面的平面 z=常数(z)截 所得平面区域为Dz,则(特别,若 f(x,
6、y,z)=g(z)0yzxC1C2zDz例例3.3.解解:c z c,(x,y)Dz,yzx0ccDz椭圆面积为ab.关于利用对称性积分关于利用对称性积分关于利用对称性积分关于利用对称性积分.设有界闭区域的形状关于xy面对称,且 f(x,y,z)=f(x,y,z),若 f(x,y,z)=f(x,y,z),其中 1是中处于xy面上方部分.类似可得关于xz面对称,而 f(x,y,z)关于y 是奇,偶函数的结论,以及 关于 yz 面对称,而 f(x,y,z)关于x 是奇,偶函数的结论.(1)若 关于平面 y=x 对称,则 f(x,y,z)满足什么条件时,有上述两个结论?(2)不积分,其中为单位球 x
7、2+y2+z2 1.2.2.三重积分换元法三重积分换元法三重积分换元法三重积分换元法.设变换T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)将*变到,且函数x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)C1(*),雅可比行列式定理定理1 1问:问:是否有?我们知道,在定积分中,但在二,三重积分中,这一结论一般不对,不过,当满足某些条件时,结论成立。例例4.4.设:x2+y2+z21.z 0,1是中在第一卦限中的部分,证明证:证:由对称性知则1*:y2+z2+x21,y 0,z 0,x 0,即1*1故1:x2+y2+z21,x0,y0,z0.作变量代换,令x=y,y=z
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- 关 键 词:
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