小波分析第三讲-小波与多分辨分析只是分享.ppt

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1、小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波分析第三讲-小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析信号空间信号空间(signal space)尺度函数尺度函数(scaling function)j j(t)小波函数小波函数(wavelet function)y(t)多分辨分析多分辨分析(MRA)尺度函数系数尺度函数系数尺度函数系数尺度函数系数h h0 0 n n 与小波函数系数与小波函数系数与小波函数系数与小波函数系数 h h1 1 n n 的特性的特性的特性的特性尺度函数尺度函数尺度函数尺度

2、函数j j j j(t t)与小波函数与小波函数与小波函数与小波函数y y(t t)的设计方法的设计方法的设计方法的设计方法小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 为为了了从从数数学学概概念念和和工工程程概概念念上上更更好好地地理理解解小小波分析，将通过分辨率的概念来阐述小波理论。波分析，将通过分辨率的概念来阐述小波理论。尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling function)(scaling function)j j j j(t t)多分辨分析多分辨分析多分辨分析多分辨分析(Multiresolution Analysis,MRA)(Multiresol

3、ution Analysis,MRA)小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y y(t t)信号空间信号空间信号空间信号空间(signal space)(signal space)小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 由由泛泛函函理理论论，任任意意信信号号可可以以看看作作是是某某个个特特定定集集合合中中的的一一个个元元素素，该该特特定定集集合合包包含含相相同同属属性性的的所有信号。该特定的信号集合，称为所有信号。该特定的信号集合，称为信号空间信号空间信号

4、空间信号空间。L2(R)信信号号空空间间包包含含所所有有定定义义在在实实数数域域R上上的的信号，且每个信号都满足：信号，且每个信号都满足：信号空间信号空间L2(R)称之为平方可积空间称之为平方可积空间。小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 信号空间信号空间信号空间信号空间(signal space)(signal space)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析由尺度函数由尺度函数j j(t)经过平移经过平移k而得到的函数定义为而得到的函数定义为定义所有可由信号定义所有可由信号j jk (t)线性表达的信号空间线性表达的信号空间V V0为为V V0称为由信号称为

5、由信号j jk (t)张成的闭信号空间张成的闭信号空间，且，且小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling function)(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 则表明存在着则表明存在着同时也意味着同时也意味着 若信号若信号x(t)可以由信号可以由信号j jk (t)线性表达，线性表达，小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling function)(scaling function)j j j j(t t)小波与

6、多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 则同理可以得到由信号则同理可以得到由信号j jj,k(t)张成的信号空间张成的信号空间Vj 若由若由尺度函数尺度函数j j(t)经过展缩和平移而得到的经过展缩和平移而得到的不同尺度不同尺度 j 下的尺度函数下的尺度函数j jj,k(t)定义为定义为小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling function)(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析由尺度函数展缩可得不同尺度下的尺度信号由尺度函数展缩可得不

7、同尺度下的尺度信号尺度越大，对应的信号的分辨率越高。尺度越大，对应的信号的分辨率越高。尺度越大，对应的信号的分辨率越高。尺度越大，对应的信号的分辨率越高。小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling function)(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 由于信号由于信号j jj,k(t)比比j jj-1,k(t)在时域上更窄，在时域上更窄，因此因此j jj,k(t)可以表达更多的信号，即信号可以表达更多的信号，即信号j jj,k(t)张成的信张成的信号空间号空

8、间V Vj 比信号比信号j jj-1,k(t)张成的信号空间张成的信号空间V Vj-1 大。大。同理可得：同理可得：小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling function)(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling

9、function)(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 通过尺度函数通过尺度函数j j(t)的尺度展缩，就可以改变的尺度展缩，就可以改变尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨率及信号空间之间的关系。率及信号空间之间的关系。若信号若信号x(t)可以由尺度函数可以由尺度函数j jj,k(t)表达，则信表达，则信号号x(2t)可以由尺度函数可以由尺度函数j jj+1,k(t)表达，即表达，即小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(s

10、caling function)(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 根据信号空间的包含关系，根据信号空间的包含关系，若存在若存在 则必然则必然 这表明若信号这表明若信号x(t)可由尺度函数可由尺度函数j jj,k(t)线性表达，线性表达，则必然可以由尺度函数则必然可以由尺度函数j jj+1,k(t)线性表达。线性表达。低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling function)

11、(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 h0n是尺度函数系数是尺度函数系数(scaling function coefficient)，也称为尺度滤波器也称为尺度滤波器(scaling filter)单位脉冲响应。单位脉冲响应。该式称为尺度函数该式称为尺度函数j j(t)的的多分辨分析多分辨分析多分辨分析多分辨分析(MRA)(MRA)方程方程方程方程，该递归方程是尺度函数理论的基础。该递归方程是尺度函数理论的基础。小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling fu

12、nction)(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 Haar尺度函数尺度函数 三角尺度函数三角尺度函数 小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数(scaling function)(scaling function)j j j j(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 根据信号空间的概念，由尺度函数根据信号空间的概念，由尺度函数j j(t)同样可同样可以以定义小波函数定义小波函数y y(t)，再由小波函数，再由小波函数y y(t)经过尺度

13、经过尺度展缩与平移得到小波信号展缩与平移得到小波信号y yj,k(t)，即，即小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y y(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 小波信号小波信号y yj,k(t)设计为尺度信号设计为尺度信号j jj,k(t)的正交的正交信号，即存在信号，即存在WjVj正交和小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y

14、 y(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析信信信信 号号号号x x(t t)将将信信号号x(t)展展开开为为尺尺度度信信号号j jj,k(t)和和小小波波信信号号y yj,k(t)，可可以以更更有有效效地地表表达达信信号号x(t)中中的的不不同同分分量量，有利于信号的分析与处理。有利于信号的分析与处理。尺度信号尺度信号尺度信号尺度信号j j j jj,k(t t)小波信号小波信号小波信号小波信号y y y yj,k(t t)粗略信息粗略信息粗略信息粗略信息(coarse information)(coarse information)精细信息精细信息精细信息

15、精细信息(fine information)(fine information)小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y y(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y y(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析初始尺度初始尺度j=3初始尺度初始尺度j=-3初始

16、尺度初始尺度j=j0初始尺度初始尺度信号信号x(t)也可完全由小波信号表达也可完全由小波信号表达信号信号x(t)可由小波信号和尺度信号共同表达可由小波信号和尺度信号共同表达小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y y(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 由于小波函数由于小波函数y y(t)隶属于由尺度信号隶属于由尺度信号j j(2t-k)张成的信号空间张成的信号空间V1，表明，表明y y(t)可以由可以由j j(2t-k)线线性表达，这就是性

17、表达，这就是小波函数小波函数小波函数小波函数y y y y(t t)的的的的MRAMRA方程：方程：h1n称为小波函数系数称为小波函数系数(wavelet function coefficient)。小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y y(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析若尺度函数若尺度函数j j(t)与小波函数与小波函数y y(t)满足正交性，即满足正交性，即当当h0n为有限长序列，且长度为有限长序列，且长度N为偶数时，则有为偶数时

18、，则有则小波函数系数则小波函数系数h1n与尺度函数系数与尺度函数系数h0n 满足满足 小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y y(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 尺尺度度函函数数j j(t)与与小小波波函函数数y y(t)的的对对应应关关系系小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 小波函数小波函数小波函数小波函数(wavelet function)(wavelet function)y y y y(t t)小波与多分辨分析小波与多分辨

19、分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析对应信号对应信号x(t)中的中的粗略粗略粗略粗略(coarse)(coarse)信息信息信息信息 对应信号对应信号x(t)中的中的精细精细精细精细(fine)(fine)信息信息信息信息 由低分辨率的尺度信号由低分辨率的尺度信号j jj0,k(t)表达表达 由高分辨率的小波信号由高分辨率的小波信号y yj,k(t)(j j0)表达表达 小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 多分辨分析多分辨分析多分辨分析多分辨分析(MRA)(MRA)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 展开系数展开系数cj k反映了信号反映了信号x(t)中的低

20、频分量的分中的低频分量的分布情况，而一系列展开系数布情况，而一系列展开系数dj k反映了信号反映了信号x(t)中的中的高频分量的分布情况，这些展开系数就是信号的离高频分量的分布情况，这些展开系数就是信号的离散小波变换散小波变换DWT。这表明信号这表明信号x(t)也可以完全由小波信号表达。也可以完全由小波信号表达。小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 多分辨分析多分辨分析多分辨分析多分辨分析(MRA)(MRA)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 Doppler信号小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 多分辨分析多分辨分析多分辨分析多分辨分析(MRA)(MRA

21、)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 当尺度函数和小波函数构成正交归一化基时，当尺度函数和小波函数构成正交归一化基时，信号的小波展开系数信号的小波展开系数cjk和和djk由内积计算由内积计算信号的信号的DWT满足满足Parseval能量守恒能量守恒小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析 多分辨分析多分辨分析多分辨分析多分辨分析(MRA)(MRA)小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 尺度函数系数尺度函数系数尺度函数系数尺度函数系数h h0 n n 与小波函数系数与小波函数系数与小波函数系数与小波函数系数 h h1 n n 的特性的特性

22、的特性的特性 2.若若j j(t)与与y y(t)满足正交性，则存在满足正交性，则存在1.若若 ，并且，并且小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析4.若实现若实现y y(t)的正交性的正交性 ，则，则 5.若实现若实现j j(t)与与y y(t)的正交性的正交性 ，则，则3.若实现若实现j j(t)的正交性的正交性 ，则，则 尺度函数系数尺度函数系数尺度函数系数尺度函数系数h h0 n n 与小波函数系数与小波函数系数与小波函数系数与小波函数系数 h h1 n n 的特性的特性的特性的特性 小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分

23、析例例例例：试试分分别别设设计计长长度度N=2,4的的尺尺度度函函数数系系数数h0n和和小小波波函函数数系系数数h1n，且尺度函数，且尺度函数j j(t)和小波函数和小波函数y y(t)满足正交性。满足正交性。当当N=2时时，根据尺度函数，根据尺度函数j j(t)的特性的特性解：解：解：解：根据尺度函数根据尺度函数j j(t)的正交性约束条件的正交性约束条件 例例例例：试试分分别别设设计计长长度度N=2,4的的尺尺度度函函数数系系数数h0n和和小小波波函函数数系系数数h1n，且尺度函数，且尺度函数j j(t)和小波函数和小波函数y y(t)满足正交性。满足正交性。解：解：解：解：当当N=4时，

24、同理可得时，同理可得引入一个自由度变量引入一个自由度变量a a例例例例：试试分分别别设设计计长长度度N=2,4的的尺尺度度函函数数系系数数h0n和和小小波波函函数数系系数数h1n，且尺度函数，且尺度函数j j(t)和小波函数和小波函数y y(t)满足正交性。满足正交性。解：解：解：解：当当 时，可得时，可得 表明尺度函数与小波函数存在密切关系，而且小波表明尺度函数与小波函数存在密切关系，而且小波函数具有非唯一性函数具有非唯一性 。小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析 尺度函数尺度函数尺度函数尺度函数j j j j(t t)与小波函数与小波函数与小波函数与小波函数y

25、y y y(t t)的设计方法的设计方法的设计方法的设计方法由约束条件设计尺度函数系数由约束条件设计尺度函数系数由约束条件设计尺度函数系数由约束条件设计尺度函数系数h h0 n n 根据根据根据根据j j j j(t t)的的的的MRAMRA方程求出尺度函数方程求出尺度函数方程求出尺度函数方程求出尺度函数j j j j(t t)由由由由h h1 n n 与与与与h h0 n n 关系确定小波函数系数关系确定小波函数系数关系确定小波函数系数关系确定小波函数系数h h1 n n 根据根据根据根据y y y y(t t)的的的的MRAMRA方程求出小波函数方程求出小波函数方程求出小波函数方程求出小波函数y y y y(t t)小波变换与多分辨分析小波变换与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析小波与多分辨分析此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢