三角函数的诱导公式(精)讲课教案.ppt

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1、 三角函数的三角函数的 诱导诱导(yudo)(yudo)公式公式第一页，共42页。同角三角函数的基本同角三角函数的基本(jbn)关系关系平方平方(pngfng)关系关系:商数商数(shn sh)关系关系:同一个角同一个角 的正弦、余弦的平的正弦、余弦的平方和等于方和等于1，商等于角，商等于角 的正的正切。切。第二页，共42页。1.3 1.3 三角函数三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)的诱导公式的诱导公式 +、-、-的诱导的诱导(yudo)第三页，共42页。问题问题(wnt)提提出出1.1.任意任意(rny)(rny)角角的正弦、余弦、正切是的正弦、余弦、正切是怎样定义的？怎样定义

2、的？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y第四页，共42页。2.2k2.2k（kZkZ）与）与的三角函数的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)之间的关系是什么？之间的关系是什么？公式一：公式一：（)3.3.你能求你能求sin750sin750和和sin930sin930的值吗？的值吗？第五页，共42页。4.4.利用公式一，可将任意角的三角函数值，利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为转化为000036003600范围内的三角函数值范围内的三角函数值.其中其中锐角的三角函数是我们熟悉的，而对于锐角的三角函数是我们熟悉的，而对于90090036003600范围内的三角

3、函数值，能否范围内的三角函数值，能否(nn(nn fu)fu)转化为锐角的三角函数值，这就是我转化为锐角的三角函数值，这就是我们需要研究和解决的问题们需要研究和解决的问题.第六页，共42页。第七页，共42页。的终边的终边xy yo o+的终边的终边思考：对于任意给定思考：对于任意给定(i dn)(i dn)的一个的一个角角，角，角的终边与角的终边与角的终边有的终边有什么关系？什么关系？第八页，共42页。思考思考(sko)(sko)：设角：设角的终边与单位圆交的终边与单位圆交于点于点P P（x x，y y），则角），则角的终边与单的终边与单位圆的交点坐标如何？位圆的交点坐标如何？的终边的终边xy

4、 yo o+的终边的终边P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)第九页，共42页。思考：根据三角函数思考：根据三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)定义，定义，sinsin（）、coscos（）、）、tantan（）的值分别是什么？）的值分别是什么？的终边的终边xy yo o+的终边的终边P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)sin(sin()=-y)=-ycos(cos()=-x)=-xtan(tan()=)=第十页，共42页。思考：对比思考：对比(dub)sin(dub)sin，coscos，tantan的值，的值，的三角函数与的三角函数与的三角函数的三

5、角函数有什么关系？有什么关系？公式公式(gngsh)二：二：第十一页，共42页。知识探究知识探究(tnji)（二）：（二）：-，-的诱导公的诱导公式：式：思考：思考：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，的终边与的终边与的终边有什么关系？的终边有什么关系？y y的终边的终边xo o-的终边的终边第十二页，共42页。思考思考(sko)(sko)：设角：设角的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于点点 P P（x x，y y），则），则的终边与单位圆的的终边与单位圆的交点坐标如何？交点坐标如何？y y的终边的终边xo o-的终边的终边P(x,y)P(x,y)P(x,-P(x,-y)y)第十三页，共

6、42页。公式公式(gngsh)三：三：思考：根据三角函数定义，思考：根据三角函数定义，的三角函数的三角函数与与的三角函数有什么的三角函数有什么(shn me)(shn me)关系？关系？y y的终边的终边xo o-的终边的终边P(x,y)P(x,y)P(x,-P(x,-y)y)第十四页，共42页。思考：利用思考：利用()，结合公式二、三，结合公式二、三，你能得到什么你能得到什么(shn me)(shn me)结论？结论？公式公式(gngsh)四：四：第十五页，共42页。思考：公式一四都叫做诱导公式，他们思考：公式一四都叫做诱导公式，他们分别反映了分别反映了2k2k（kZkZ），），的三角函数的

7、三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)与与的三角函数的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)之间的关之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？和规律吗？第十六页，共42页。同角三角函数的基本同角三角函数的基本(jbn)关系关系平方平方(pngfng)关系关系:商数商数(shn sh)关系关系:同一个角同一个角 的正弦、余弦的平的正弦、余弦的平方和等于方和等于1，商等于角，商等于角 的正的正切。切。第十七页，共42页。2k 2k（kZkZ），），的三角函数的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)值，等于值，等于的的同名

8、函数值，再放上将同名函数值，再放上将当作当作锐角时原函数值的符号锐角时原函数值的符号.第十八页，共42页。利用诱导利用诱导(yudo)(yudo)公式一四，可以求公式一四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：任意角的三角函数，其基本思路是：这是一种这是一种(y zhn)(y zhn)化归与转化的数学思想化归与转化的数学思想.任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数0 022的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数第十九页，共42页。例例3 3已知：已知：，求的值。解：原式例4已知，且是第四象限角，求的值。解：由已知得：，原式第二十页，共42页。

9、理论理论(lln)迁迁移移例例1 1 求下列求下列(xili)(xili)各三角函数各三角函数的值：的值：第二十一页，共42页。例例2 2 已知已知cos(cos(x x)，求下列，求下列各式的值：各式的值：（1 1）cos(2cos(2x x)；（；（2 2）cos(cos(x x).).例例3 3 化简：化简：（1 1）；（2 2）.第二十二页，共42页。2.2.诱导公式一四要灵活应用诱导公式一四要灵活应用(yngyng)(yngyng)，要点：要点：负化正，大化小，化至锐角解决了！负化正，大化小，化至锐角解决了！小结小结(xioji)1.1.诱导诱导(yudo)(yudo)公式都是恒等式

10、，即在等式公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立有意义时恒成立.第二十三页，共42页。3.3.利用诱导利用诱导(yudo)(yudo)公式一四，可以公式一四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：求任意角的三角函数，其基本思路是：这是一种这是一种(y zhn)(y zhn)化归与转化的数学思想化归与转化的数学思想.任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数0 022的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数第二十四页，共42页。作业作业(zuy)(zuy)：P27 P27练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.第二十五页，共42页。1.3 1.3

11、 三角函数的诱导三角函数的诱导(yudo)(yudo)公式公式第二第二(d r)课时课时第二十六页，共42页。问题问题(wnt)提提出出1.1.诱导公式一、二、三、四分别反映了诱导公式一、二、三、四分别反映了2k+2k+（kZkZ）、）、与与的三角函数之间的关系的三角函数之间的关系(gun x)(gun x)，这四组公式的共同特点是什么？这四组公式的共同特点是什么？函数函数(hnsh)(hnsh)同名，象限定号同名，象限定号.第二十七页，共42页。对形如对形如、的角的三角函数的角的三角函数可以转化为可以转化为角的三角函数，对形如角的三角函数，对形如 、的角的三角函数与的角的三角函数与角角的三角

12、函数，是否也存在着某种关系？的三角函数，是否也存在着某种关系？这需要我们作进一步的探究！这需要我们作进一步的探究！第二十八页，共42页。第二十九页，共42页。思考思考1 1：sinsin（90906060）与）与sin60sin60的值相等的值相等(xingdng)(xingdng)吗？相反吗？吗？相反吗？思考思考2 2：sinsin（909060)60)与与cos60cos60，coscos（90906060）与）与sin60sin60的值分别的值分别(fnbi)(fnbi)有什么关系？据此，你有什么猜想？有什么关系？据此，你有什么猜想？知识探究（一）：知识探究（一）：的诱导公式的诱导公式

13、第三十页，共42页。思考思考3 3：如果如果为锐角，你有什么办法证为锐角，你有什么办法证明明 ，？a ab bc c第三十一页，共42页。思考思考5 5：点：点P1P1（x x，y y）关于）关于(guny)(guny)直直线线y=xy=x对称的点对称的点P2P2的坐标如何？的坐标如何？思考思考4 4：若若为一个任意给定的角，那么为一个任意给定的角，那么 的终边与角的终边与角的终边有什么对称关的终边有什么对称关系？系？的终边的终边Oxy的终边的终边第三十二页，共42页。思考思考6 6：设角设角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点为为P P1 1（x x，y y），则），则 的终边与单的终边

14、与单位圆的交点为位圆的交点为P P2 2（y y，x x），根据三角函），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？数的定义，你能获得哪些结论？的终边的终边P P1 1(x(x，y)y)Oxy的终边的终边P P2 2(y(y，x)x)公式公式(gngsh)五：五：第三十三页，共42页。知识探究（二）：知识探究（二）：的诱导公式的诱导公式 思考思考2 2：与与 有什么内在联系？有什么内在联系？第三十四页，共42页。公式公式(gngsh)六：六：第三十五页，共42页。思考思考6 6：正弦函数：正弦函数(hnsh)(hnsh)与余弦函数与余弦函数(hnsh)(hnsh)互称为异名函数互称为异名函数(hn

15、sh)(hnsh)，你，你能概括一下公式五、六的共同特点和规能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？律吗？的三角函数值，的三角函数值，等于等于的同名的同名函数值函数值，再放上，再放上将将当作锐角当作锐角时原函数值时原函数值的符号的符号.第三十六页，共42页。思考思考5 5：根据相关：根据相关(xinggun)(xinggun)诱导公式诱导公式推导，推导，第三十七页，共42页。思考思考7 7：诱导公式可统一为诱导公式可统一为的三角函数与的三角函数与的三角函数之间的关系，的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？你有什么办法记住这些公式？奇变偶不变，符号奇变偶不变，符号(fho)看象限看象限

16、.第三十八页，共42页。理论理论(lln)迁迁移移例例1 1 化简：化简：第三十九页，共42页。例例2 2 已知已知 ，求，求 的值的值 例例3 3 已知已知 ，求，求 的值的值.第四十页，共42页。2.2.诱导公式是三角变换的基本公式，其诱导公式是三角变换的基本公式，其中角中角是任意是任意(rny)(rny)角，应用时要注意角，应用时要注意整体把握、灵活变通整体把握、灵活变通.小结(xioji)作业1.1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系角函数之间的相互关系(gun x)(gun x)，并具，并具有一定的规律性，有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看奇变偶不变，符号看象限象限”，是记住这些公式的有效方法，是记住这些公式的有效方法.第四十一页，共42页。作业作业(zuy):(zuy):第四十二页，共42页。