工程力学-12弯曲变形教学提纲.ppt

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1、工程力学工程力学-12-12弯曲弯曲变形形1212 概概 述述-弯曲刚度的计算弯曲刚度的计算 梁弯曲变形的计算梁弯曲变形的计算目的目的：要控制梁的最大变形：要控制梁的最大变形在一定的限度内。在一定的限度内。工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必须限制工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。梁的变形，使其变形在容许的范围之内。1212 概概 述述扭矩扳手扭矩扳手 1212 概概 述述1212 概概 述述研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核；解超静定

2、梁（变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1 1、挠曲线：变形后，梁的轴线变为纵向对称面内的一条光滑连续、挠曲线：变形后，梁的轴线变为纵向对称面内的一条光滑连续的曲线，称为挠曲线。其方程：的曲线，称为挠曲线。其方程：w=w(x)挠曲线方程挠曲线方程PxwC C1w 2 2、挠度：、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w(x)表示。表示。符号：符号：与与 w 轴同向为正，反之为负。轴同向为正，反之为负。w(x)4 4、转角：、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，逆时表示，逆时针转动为

3、正，针转动为正，反之为负。反之为负。PxwC C1w 5 5、转角与挠曲线的关系：、转角与挠曲线的关系：小变形小变形 12-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程小变形小变形wxM0wxM0 12-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：EIxMxw)()(=(x)转角方程。转角方程。由变形前的横截面转到变形后，由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为负。顺时针为正；逆时针为负。积分法求挠曲线方程（弹性曲线）积分法

4、求挠曲线方程（弹性曲线）1.1.微分方程的积分微分方程的积分 12-3 计算梁位移的积分计算梁位移的积分 12-3 计算梁位移的积分计算梁位移的积分支座边界支座边界条件：条件：连续条件：连续条件：光滑条件：光滑条件：PABCPD2.2.2.2.待定系数的确定待定系数的确定待定系数的确定待定系数的确定 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。条件确定。位移边界条件位移边界条件光滑光滑/连续条件连续条件 弹簧变形弹簧变形讨论：讨论：适用于适用于小变形小变形情况下、情况下、线弹性线弹性材料、材料、平面弯曲平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等

5、截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的条件确定。积分常数由挠曲线变形的条件确定。支座边界条件支座边界条件 连续条件连续条件 光滑条件光滑条件 优点：使用范围广，直接求出挠曲线的精确解；基本方法。优点：使用范围广，直接求出挠曲线的精确解；基本方法。缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。例例12-112-1：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F 作用，作用，梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。最大挠度和最大转角。解：解：列弯矩方程

6、，建立如图坐标系列弯矩方程，建立如图坐标系 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 确定积分常数确定积分常数 解得：解得：转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 确定最大挠度和最大转角确定最大挠度和最大转角 例例1 1 求等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角。求等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程写出写出微分方程并积分微分方程并积分应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数解：解：PLxwx写出挠曲线方程并画出曲线写出挠曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角xwPL解：解：建立

7、坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程写出写出微分方程并积分微分方程并积分xwPLa例例2 2 求等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角。求等截面直梁的挠曲线、最大挠度及最大转角。应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数PLaxw写出挠曲线方程并画出曲线写出挠曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角PLaxw例例3 用积分法求梁（刚度为用积分法求梁（刚度为EI）的）的 wA 和和 B。解：求支反力，列弯矩方程：解：求支反力，列弯矩方程：建立微分方程并积分：建立微分方程并积分：用边界条件确定积分常数：用边界条件确定积分常数：CL/2L/2ABmxwFA例例3 用积

8、分法求下列各梁（刚度为用积分法求下列各梁（刚度为EI）的）的 wA 和和 B。CL/2L/2ABmxw列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：RA例例4 用积分法求梁（刚度为用积分法求梁（刚度为EI）的）的 wA 和和 B。解：求支反力，列弯矩方程：解：求支反力，列弯矩方程：建立微分方程并积分：建立微分方程并积分：CLaABPxwFB例例4 用积分法求梁（刚度为用积分法求梁（刚度为EI）的）的 wA 和和 B。CLaABPxw用边界条件确用边界条件确定积分常数：定积分常数：FB列挠度方程和转角方程，求指定截面的挠度和转角：列挠度方程和转角方程

9、，求指定截面的挠度和转角：CLaABPxwRB例例5 试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。（a）CaaABmDa（b）CaaABq（c）C3aaABqD（d）CaaABmDamv试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。解：作弯矩图：解：作弯矩图：边界条件：边界条件：（a）CaaABmDam/2m/2解：作弯矩图：解：作弯矩图：边界条件：边界条件：（b）CaaABqqa2/49qa2/32解：作弯矩图：解：作弯矩图：边界条件：边界条件：（c）C3aaABqDqa2/28qa2/9解：作弯矩

10、图：解：作弯矩图：边界条件：边界条件：（d）CaaABmDamm121 概述概述122 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程123 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法124 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形 125 简单超静定梁简单超静定梁126 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计12-4 12-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法一、载荷叠加（直接叠加法）：一、载荷叠加（直接叠加法）：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。独作用于

11、结构而引起的变形的代数和。CL/2L/2BF1F2F3Fn12-4 12-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法CL/2L/2ABMCL/2L/2ABFCL/2L/2ABqCabABFqLABFLABLABM=+PL1L2ABCBCPL2w1等价等价等价等价xwwPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段xw二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：PL2L1ACMw2xw例例1 1 按叠加原理求按叠加原理求A点转角和点转角和C点点挠度。挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。查简单载

12、荷引起的变形。qqFF=+AAABBBCaaqqFF=+AAABBB Caa叠加叠加例例2 按叠加原理求按叠加原理求C点挠度。点挠度。解：解：载荷无限分解如图载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。叠加叠加q00.5L0.5LxdxxwCbdFCabABF例例3 用叠加法求下列各梁（刚度为用叠加法求下列各梁（刚度为EI）的）的 wB 和和 B。解：解：Cl/2l/2ABFCl/2l/2ABFqCl/2l/2ABq BqwBq例例4 用叠加法求下列各梁（刚度为用叠加法求下列各梁（刚度为EI）的）的 wB 和和 B。解：解：Cl/2l

13、/2ABqCl/2l/2ABqCl/2l/2ABq B2wB22qCABl/2l/2例例5 用叠加法求下列各梁（刚度为用叠加法求下列各梁（刚度为EI）的）的 wC 。qCABl/2l/2qCABl/2l/2qwC1wC2wC解：解：1例例6 用叠加法求下列各梁（刚度为用叠加法求下列各梁（刚度为EI）的）的 wA 和和 B。解：将载荷分解：解：将载荷分解：（a）CL/2L/2ABFLFCL/2L/2ABFCL/2L/2ABFL=+表表2例例7 用叠加法求梁（刚度为用叠加法求梁（刚度为EI）的）的 wA 和和 B。解：用逐段刚化法：解：用逐段刚化法：qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaa

14、qAqaCaABaaqa2/2=+=B1 B2例例8 已知：梁的刚度为已知：梁的刚度为EI，欲使，欲使wD 0，求：，求：P 与与 q 的关系及的关系及 wC 。解：解：PqCaABaaDqCqaqa2/2CaABaaDPCaABaaD例例8 已知：梁的刚度为已知：梁的刚度为EI，欲使，欲使wD 0，求：，求：P 与与 q 的关系及的关系及 wC 。解：解：PqCaABaaDqCqaqa2/2CaABaaDPCaABaaD解：解：解：解：ACBFBACFBAFFaACCFFF例例9 用叠加法求梁（刚度为用叠加法求梁（刚度为EI）的）的 wC 和和 C。CABl/2l/2a解：解：解：解：BAC

15、mBACmACmACBqACBq例例10 用叠加法求梁（刚度为用叠加法求梁（刚度为EI）的）的 wC 和和 C。AqCBqla12-5 简单超静定简单超静定梁梁处理方法：变形协调方程、物理方处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知程与平衡方程相结合，求全部未知力。力。解法：解法：建立静定基相当系统建立静定基相当系统 确定超静定次数，用反力确定超静定次数，用反力代替多余约束得到原结构的静代替多余约束得到原结构的静定基相当系统（定基相当系统（基本结构基本结构）。）。=q0LABLq0MABAq0LFBABxw12-5 简单超静定简单超静定梁梁几何方程几何方程变形协调方程变形协调

16、方程+q0LFBAB=FBABq0AB物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程求解其它问题（反力、应力、求解其它问题（反力、应力、变形等）变形等）AB求解其它问题（反力、应力、变形等）求解其它问题（反力、应力、变形等）q0LFBMAFAFSM由几何方程（变形协调方程）和物理方程（变形由几何方程（变形协调方程）和物理方程（变形与力的关系）建立与力的关系）建立补充方程。补充方程。求多余约束反力，必要时需建立平衡方程。求多余约束反力，必要时需建立平衡方程。求解其它问题（反力、应力、变形及强度与刚度求解其它问题（反力、应力、变形及强度与刚度计算。）计算。）解超静定梁的方法：解超静定

17、梁的方法：解超静定梁的方法：解超静定梁的方法：建立静定基相当系统：确定超静定次数，用反力代建立静定基相当系统：确定超静定次数，用反力代替多余约束，得到静定基相当系统（替多余约束，得到静定基相当系统（基本结构基本结构）。）。几何方程几何方程 变形协调方程：变形协调方程：解：解：建立静定基相当系统建立静定基相当系统=例例1 1 结构如图，求结构如图，求B B点反力。点反力。LBCxwq0LABCq0LFBAB=FBAB+q0AB=LBCxfq0LABCFBAB+q0AB物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程 反力与反力与 EIEI、EA EA 有关有关例例2 已知：梁已知：梁

18、AB、CD长度均为长度均为L，抗弯刚度均为，抗弯刚度均为EI，求：，求：B点的挠度。点的挠度。解：此结构为一次超静定，取静定基相当系解：此结构为一次超静定，取静定基相当系统如图所示：统如图所示：OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F利用变形协调条件建立补充方程：利用变形协调条件建立补充方程：利用叠加法求利用叠加法求B点的挠度：点的挠度：OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F例例3 已知：梁已知：梁AB在自由端受集中力在自由端受集中力P、DF为加固梁，两梁在为加固梁，两梁在C点可视为简点可视为简支支承，抗弯刚度均为支支承，抗弯刚度均为EI，求：，求：（1）C处反力处反力F，（，（2）梁）

19、梁AB的最大的最大弯矩和弯矩和B点的挠度比无加固时减少多少？点的挠度比无加固时减少多少？解：此结构为一次超静定，取静定基相当解：此结构为一次超静定，取静定基相当 系统如图所示：系统如图所示：CL/2L/2ABPF利用变形协调条件建立补充方程：利用变形协调条件建立补充方程：FL/2DF表表2CL/2L/2ABPFFL/2DFABP12-6 12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中其中 称为许用转角；称为许用转角；称为许用挠度。通常称为许用挠度。通常依此条件依此条件进行如下三种刚度计算：进行如下三种刚度计算：、校核刚度：校核刚度：、设计截面

20、尺寸；设计截面尺寸；、确定许可载荷。确定许可载荷。12-6 12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计二二二二、梁的合力刚度设计（、梁的合力刚度设计（、梁的合力刚度设计（、梁的合力刚度设计（提高梁弯曲刚度的措施）提高梁弯曲刚度的措施）提高梁弯曲刚度的措施）提高梁弯曲刚度的措施）xwPLF增大增大EI。F减小跨度。减小跨度。F改善梁的受力情况。改善梁的受力情况。F增加支承。增加支承。减小最大弯矩减小最大弯矩 合理布置外力（包括支座），使合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/

21、5对称对称MxqL2/10MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx 同类同类材料材料，“E”值相差不多，不能提高刚度值相差不多，不能提高刚度。不同类材料，不同类材料，E相差很多（钢相差很多（钢E=200GPa,铜铜E=100GPa）,故可选用不同的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材故可选用不同的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材 料，其料，其原料费用原料费用也会随之发生很大的改变！也会随之发生很大的改变！PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例1111 下图为一空心圆杆，内外径分别为：下图为一空心圆杆，内外径分别为

22、：d=40mm、D=80mm，杆的，杆的E=210GPa，工程规定，工程规定C点的点的=0.00001m,B点的点的 =0.001弧度弧度,试试校核此杆的刚度。校核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3解：解：结构变换，查表求简单结构变换，查表求简单 载荷变形。载荷变形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxw表表1表表2P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1

23、kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxw叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形校核刚度校核刚度习题习题 已知：已知：P=20kN，E=200GPa，规定，规定A处的许可转角为：处的许可转角为：=0.50。试确定轴的直径。试确定轴的直径。解：用逐段刚化法：（设轴的直径为解：用逐段刚化法：（设轴的直径为d）CABP20001000CABP20001000mP=+第一次：第一次：122，123（a）（）（c），），125，第二次：第二次：127，129,1212，1221此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢