工程力学-第七章-梁弯曲教学文案.ppt

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1、弯曲弯曲工程力学-第七章-梁弯曲弯曲弯曲弯曲内力弯曲内力/引引 言言弯曲弯曲PaAB阳台梁阳台梁栏杆栏杆PABq弯曲弯曲工程中常见的梁，其横截面均有工程中常见的梁，其横截面均有对称轴对称轴，例如：，例如：对称轴对称轴对称轴对称轴弯曲内力弯曲内力/引引 言言弯曲弯曲轴线轴线纵向对称面纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）平面弯曲平面弯曲梁的挠曲线与载荷作用面共面。梁的挠曲线与载荷作用面共面。弯曲内力弯曲内力/引引 言言纵向对称面纵向对称面通过梁轴线和截面对称轴的平面。通过梁轴线和截面对称轴的平面。弯曲弯曲车床主轴示意图车床主轴示意图车床主轴示意图车床主轴示意图1 1、支

2、座的几种基本形式、支座的几种基本形式（二）、梁的支座和梁的种类（二）、梁的支座和梁的种类向心推向心推力轴承力轴承滚珠轴承滚珠轴承弯曲弯曲弯曲弯曲2、静定梁静定梁支座反力可由静力平衡方程确定的梁。支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁）简支梁（b）悬臂梁）悬臂梁（c）外伸梁）外伸梁（d）静定组合梁）静定组合梁中间铰中间铰弯曲内力弯曲内力/引引 言言弯曲弯曲3、静不定梁静不定梁支座反力不能由静力平衡方程完全支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。确定的梁。弯曲内力弯曲内力/引引 言言弯曲弯曲 设有一简支梁设有一简支梁AB，受集中力，受集中力F作用。现分析距作用。现分析距A端端为为x处的横

3、截面处的横截面m-m上的内力。上的内力。x解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力2、截取、截取m-m截面左段。截面左段。AxmmM剪力剪力 使截面不产生移动使截面不产生移动弯矩弯矩M 使截面不产生转动使截面不产生转动得到：得到：oALBFabmm弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩72 剪力和弯矩剪力和弯矩求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法截面法截面法弯曲弯曲得到：得到：如截取如截取m-m截面右段梁截面右段梁:L-xBFbmmM由作用力与反作用力，得由作用力与反作用力，得3、根据变形规定内力符号：、根据变形规定内力符号：同同一一位位置置处

4、处左左、右右侧侧截截面面上上内内力力分分量量必必须须具具有有相相同同的的正负号。正负号。内力正负号规则：内力正负号规则：AxmmMo弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲剪力剪力 ：梁的左侧截面上向上的剪力为正，梁的右侧截面上向下的剪梁的左侧截面上向上的剪力为正，梁的右侧截面上向下的剪力为正，反之则为负。概括为力为正，反之则为负。概括为“左上或右下，剪力为正左上或右下，剪力为正”。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲弯矩弯矩M：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。压压拉拉或者或者梁的左侧截面上顺时针方向转动的弯矩或梁的右侧截面上逆时梁

5、的左侧截面上顺时针方向转动的弯矩或梁的右侧截面上逆时针方向转动的弯矩为正，反之则为负。概括为针方向转动的弯矩为正，反之则为负。概括为“左顺或右逆，左顺或右逆，弯矩为正弯矩为正”。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲例例5-1 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）截面（跨中截面）上的内力。上的内力。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩B 弯曲弯曲2、求、求C截面（跨中截面）上的内力截面（跨中截面）上的内力qAaC得到：得到：（剪力（剪力 的实际方向与假设方的实际方向与假设方向相

6、反，为负剪力）向相反，为负剪力）得到：得到：（弯矩（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲qBaC如以右侧梁作为研究对象，则：如以右侧梁作为研究对象，则：为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲qAB4aaaC取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的向截面形心简化所得到的主矢主

7、矢。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得（力和力偶）向截面形心简化所得到的到的主矩主矩。qAB4aaaC取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的向截面形心简化所得到的主矢主矢。截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得（力和力偶）向截面形心简化所得到的到的主矩主矩。弯曲内力弯

8、曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力例例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求一外伸梁受力如图所示。试求C截面、截面、截面和截面和 上上的内力。的内力。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲2、求指定横截面上的剪力和弯矩、求指定横截面上的剪力和弯矩C截面：截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲截面：截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲截面

9、：截面：与与 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 ，故有：，故有：亦可取梁的右侧的外力简化，但必须亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。注意外力的符号变化。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩弯曲弯曲弯曲弯曲在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即的函数，即称为称为剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程AB1m1m1m1m2mq=2K

10、N/mP=2KNECDF73 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲弯曲 *在载荷无突变的一段杆的各截面在载荷无突变的一段杆的各截面 上内力按相同的规律变化。上内力按相同的规律变化。弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲弯曲AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，必须因此，必须分段分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的各段的分界点分界点为各段梁的为各段梁的控制截面控制截面。*控制截面的概念：控制截面的概念：外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面集中集中力、集中

11、力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。面。弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲弯曲xx(+)(+)(-)(-)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。梁轴线的变化情况。注意：注意：必须标明控制必须标明控制截面上的内力值截面上的内力值弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲弯曲例例5-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和

12、弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和和 及其所及其所在截面位置。在截面位置。Pm=PaACBaa取参考坐标系取参考坐标系Axy。解：解：xy1、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段段:弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图xx弯曲弯曲BC段段:Pm=PaACBaaxx2、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-PPa(+)(-)3、求、求 和和（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图

13、和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲弯曲注意：注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围 （x的区间）即可。的区间）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处，用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3、

14、若所得方程为、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲弯曲例例5-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：解：xy1、取参考坐标系、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力。根据平衡条件求支座反力弯曲内力弯曲内力/剪力方程

15、和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图xx弯曲弯曲2、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axCA段段:xAB段段:x弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲弯曲yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图弯曲弯曲考察受任意载荷作用的梁。建立考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。坐标系。规定向上的规定向上的q(x)为正。为正。xq(x)x

16、ydx弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系74 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯曲弯曲 考察考察dx微段的受力与平衡微段的受力与平衡弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯曲弯曲（4-4）由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相 应点处的载荷集度应点处的载荷集度q。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯曲弯曲由此式知：剪力图曲由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于

17、线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集梁上相应点处的载荷集度度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)弯曲弯曲略去二阶微量略去二阶微量 ，得：，得：（4-5）由此式知：由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等弯矩图曲线上一点的斜率等 于梁上相应截面处的剪力于梁上相应截面处的剪力 。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯曲弯曲 由此式知：由此式知：弯矩图弯矩图曲线上一点的斜率等于曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力梁上相应截面处的剪力FQ。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)弯曲弯曲由此式知：由此式

18、知：弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁上相应点处的载荷集度上相应点处的载荷集度q的符号决定。的符号决定。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯曲弯曲内力内力FQ、M 的变化规律的变化规律,归纳如下：归纳如下：载荷载荷F水平直线水平直线+-oror上斜直线上斜直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系斜直线斜直线弯曲弯曲例例5-5一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、

19、弯矩图。一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯曲弯曲AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分关系判断各段的、由微分关系判断各段的 形状。形状。载荷载荷CADBAD斜直线斜直线斜直线斜直线弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯曲弯曲AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m3、作、作 -图。图。4、作、作M-图。图。CA段：段：(-)D

20、A段：段：-3KN4.2KN-3.8KN(+)(-)DB段：段：-3KN.m(-)Ex-2.2KN.m(-)3.8KN.m(+)(+)弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯曲弯曲BaCAqaaD例例5-6 已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。载荷载荷ABCDBC斜直线斜直线斜直线斜直线弯曲弯曲弯曲弯曲AB 刚架的组成刚架的组成刚架的组成刚架的组成横梁、横梁、横梁、横梁、立柱与刚节点。立柱与刚节点。立柱与刚节点。立柱与刚节点。立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁刚节点刚节点刚节点刚节点：

21、受力以后，：受力以后，：受力以后，：受力以后，刚节点处夹角保持刚节点处夹角保持刚节点处夹角保持刚节点处夹角保持不变。刚节点能承不变。刚节点能承不变。刚节点能承不变。刚节点能承受力与力矩。受力与力矩。受力与力矩。受力与力矩。弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图平面刚架内力图平面刚架内力图*选学部选学部分分弯曲弯曲*内力分量的正负号与观察者位置的关系：内力分量的正负号与观察者位置的关系：内力分量的正负号与观察者位置的关系：内力分量的正负号与观察者位置的关系：无关无关FNFNv面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量 轴力、剪力和弯矩轴力、剪力和

22、弯矩。刚架内力的特点：刚架内力的特点：无关无关FQFQ有关有关弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图弯曲弯曲例例5-8 求作图示平面刚架的内力图。求作图示平面刚架的内力图。ABC解：解：1、根据平衡条件求得、根据平衡条件求得支座反力支座反力2、作内力图、作内力图轴力轴力立柱立柱CA：横梁横梁CB：作轴力图。作轴力图。FN弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图弯曲弯曲剪力剪力求控制截面求控制截面1、2、3、4上的剪力。上的剪力。1234Qqaqa/2FQ弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图弯曲弯曲1234弯矩弯矩立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，立柱弯矩图为抛物线，左侧受压

23、，1、2截面的弯矩值为截面的弯矩值为作弯矩图。作弯矩图。Mqa/2qa/2qa2/2Mqa/2qa/2qa2/2弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图弯曲弯曲节点处的平衡关系节点处的平衡关系MMFNFQFQFNFNFQFNFQMM弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图弯曲弯曲 刚架内力图的画法刚架内力图的画法(3)(3)弯矩的数值标在受压边，轴力、弯矩的数值标在受压边，轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需剪力画在里侧和外侧均可，但需 标出正负号；标出正负号；(1)(1)无需建立坐标系；无需建立坐标系；(2)(2)控制面、平衡微分方程；控制面、平衡微分方程；(4)(4)注意节点处的

24、平衡关系。注意节点处的平衡关系。弯曲内力弯曲内力/平面刚架内力图平面刚架内力图弯曲弯曲习题习题:一静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。一静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。AB2m3m8mCDq=5KN/m3mE弯曲弯曲，作业：作业：作业：作业：图示圆轴传递功率图示圆轴传递功率图示圆轴传递功率图示圆轴传递功率N=50PSN=50PS，以，以，以，以n=100r/minn=100r/min作匀速转动。作匀速转动。作匀速转动。作匀速转动。1 1）求各螺栓剪切面上所受的剪力和平均剪应力；）求各螺栓剪切面上所受的剪力和平均剪应力；）求各螺栓剪切面上所受的剪力和平均剪应力；）求各

25、螺栓剪切面上所受的剪力和平均剪应力；2)2)如果轴的许用剪应力为如果轴的许用剪应力为如果轴的许用剪应力为如果轴的许用剪应力为42 MPa,42 MPa,设计轴的直径。设计轴的直径。设计轴的直径。设计轴的直径。提示：当给出功率单位为马力（提示：当给出功率单位为马力（提示：当给出功率单位为马力（提示：当给出功率单位为马力（PS)PS)时，求扭转力偶算式为时，求扭转力偶算式为时，求扭转力偶算式为时，求扭转力偶算式为m=7024N/nm=7024N/n。TTTFQ0.076m弯曲弯曲LaaFFF(+)(-)-FFa(+)M-图图纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形时，梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪横截面上只有

26、弯矩而无剪力（力（）。）。横力弯曲横力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又有剪力（有剪力（）。）。纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲一、纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力75 弯曲应力弯曲应力弯曲弯曲 正应力分析方法正应力分析方法4.4.应变分布与应力分布应变分布与应力分布6.6.正应力表达式正应力表达式3.3.平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程5.5.应用静力学方程确定待定常数应用静力学方程确定待定常数1.1.外力分析（确定约束反力）外力分析（确定约束反力）2.2.内力分析（绘剪力图、弯矩图）内力分析（绘剪力图、弯矩图

27、）弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲M1 1、研究对象：、研究对象：等直细长对称截面梁等直细长对称截面梁2 2、前提、前提:(a)(a)小变形小变形在弹性变形范围内，在弹性变形范围内，(b)(b)满足平面弯曲条件，满足平面弯曲条件，（c c）纯纯弯曲。弯曲。3 3、实验观察、实验观察:MM凹边缩短凹边缩短凸边伸长凸边伸长长度保持长度保持不变的纵不变的纵向纤维向纤维横截面上横截面上只有正应只有正应力无剪应力无剪应力力纵向纤维间无挤压作用纵向纤维间无挤压作用弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲中性层中性层杆件弯曲

28、变形时，其纵向线段既不伸长又不杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。缩短的曲面。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。4 4、平面截面假设、平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。绕中性轴旋转了一角度。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴弯曲弯曲5 5、理论分析、理论分析（1 1）变形分布规律）变形分布规律mmnndxaby变形后变形后oo曲率中心，曲率中心，y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层中性层 的曲率半径，的

29、曲率半径，纵向纤维纵向纤维bb:变形前变形前 变形后变形后 弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力oba弯曲弯曲所以纵向纤维所以纵向纤维ab的应变为的应变为:横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y y处的轴向变形规律。处的轴向变形规律。曲率曲率则则曲率曲率则则当当与实验结果相符。与实验结果相符。(a)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲（2 2）应力分布规律）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)对一定材料，对一定材料，E=C；对一定截面，对一定截面，横截面上某点处的应力与此点距中性轴

30、的距离横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y y成比例。成比例。当当与实验结果相符。与实验结果相符。应力为零的点的连线。应力为零的点的连线。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力M弯曲弯曲（3 3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdA由由 得得=0将将(b)(b)式代入，得式代入，得因此因此z z轴通过截面形心轴通过截面形心，即，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。(c)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲

31、时梁横截面上的正应力弯曲弯曲静力平衡条件静力平衡条件自动满足。自动满足。考虑平衡条件考虑平衡条件yy、z z轴为截面的形心主惯性轴轴为截面的形心主惯性轴(d)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA弯曲弯曲 对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，亦必须满足亦必须满足 。即。即y y、z z轴为截面的形心主惯性轴。轴为截面的形心主惯性轴。所以所以只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。中性轴的特点：中性轴的特点：平面弯曲时梁横截面

32、上的平面弯曲时梁横截面上的中性轴一定是形心主轴中性轴一定是形心主轴，它，它与外力作用面垂直，即与外力作用面垂直，即中性轴是与外力作用面相垂直的中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。形心主轴。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA弯曲弯曲考虑平衡条件考虑平衡条件为截面对中性轴的惯性矩。为截面对中性轴的惯性矩。(e)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA弯曲弯曲可得可得挠曲轴的曲率方程挠曲轴的曲率方程：为常数，挠取轴为常数，挠取轴是一条圆弧线是一条圆弧线抗弯刚度抗弯刚度。正应力的计算公式为正应力的计算公

33、式为横截面上最大正应力为横截面上最大正应力为弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲截面的截面的抗弯截面模量，抗弯截面模量，反映了截面反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：zz竖放：竖放：bhhb平放：平放：若若hb,则则 。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲zddzD弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲由由纯弯曲纯弯曲推导得到的结果可推广到推导得到

34、的结果可推广到横力弯曲横力弯曲的梁：的梁：(b)(b)对对R/h55的曲率梁，可使用直梁公式。的曲率梁，可使用直梁公式。非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：正应力计算公式为正应力计算公式为(a)横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比:L/h55时，时，其误差不大；其误差不大；弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力hR弯曲弯曲 注意注意：（1 1）在计算正应力前，）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中从而确定该截面上的弯矩及

35、该截面对中性轴的惯性矩性轴的惯性矩；以及；以及所求的是该截面上哪一点的正应力所求的是该截面上哪一点的正应力，并并确定该点到中性轴的距离确定该点到中性轴的距离。（2 2）要特别注意）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律的规律，在中性轴上为零，而，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力在梁的上下边缘处正应力最大最大。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲（4 4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。的计算式。（3 3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）

36、梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定确定。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲6 6、弯曲正应力强度条件：、弯曲正应力强度条件：可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；（2 2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸；（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

37、纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲L=4mABq=0.5KN/m例例6-1 一简支梁受力如图所示。已知一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面，空心圆截面的内外径之比的内外径之比 ，试选择截面直径，试选择截面直径D；若外径；若外径D增加增加一倍，比值一倍，比值 不变，则载荷不变，则载荷 q 可增加到多大？可增加到多大？(+)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲解：解：由强度条件由强度条件若外径若外径D增加一倍，则增加一倍，则仍由强度条件，得仍由强度条件，得弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲例例6-2 已知已知

38、 材料的材料的 ，由，由M图知：图知：，试校核其强度。，试校核其强度。16281448解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置（2 2）求）求弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zCz单位：单位：cm弯曲弯曲（3）正应力校核）正应力校核所以结构安全。所以结构安全。问题：问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲弯曲对于对于T字形截面，字形截面，则则对于对于低碳钢低碳钢等材料，等材料，因此只需计算因此只需计算对于对于铸铁铸铁材料，材料，因此需计

39、算因此需计算弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力z弯曲弯曲s 在有剪应力存在的情形下，在有剪应力存在的情形下，弯曲正应力公式依然存在弯曲正应力公式依然存在s 剪应力方向与剪力的方向相同，并剪应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力均匀分布沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于（对于狭长的矩形截面适用）狭长的矩形截面适用）在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无须应用切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性平衡，变形协调和物性关系关系”。假假 设设弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力二、弯曲时的剪

40、应力二、弯曲时的剪应力弯曲弯曲（一）矩形截面（一）矩形截面LABF(+)(-)bh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1 1、沿、沿 mm,nn 截面截开，截面截开，取微段取微段dxdx。mmnndxmmnnMM+dMmmnnkl(+)弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲mnkl2 2、沿、沿 kl 截面截开，根据剪应力的互等定理：截面截开，根据剪应力的互等定理：dx很小，在很小，在 kl 面上可认为面上可认为 均布。均布。3、列平衡方程，由、列平衡方程，由 ：即即弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲而而代入得：代入得：弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯

41、曲时的剪应力弯曲弯曲（儒拉夫斯基公式）（儒拉夫斯基公式）式中符号意义：式中符号意义：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的剪应力处的剪应力 ：y以外面积对中性轴的静矩以外面积对中性轴的静矩 ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩b：y处的宽度处的宽度bhzy 对于矩形：对于矩形：c弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲而而因此矩形截面梁横截面上的因此矩形截面梁横截面上的剪应力的大小沿着梁的高度按剪应力的大小沿着梁的高度按抛物线抛物线规律分布。规律分布。并且并且弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲实心截面梁的弯曲切应力误差分析实心截面梁的弯曲切应力误

42、差分析h hb b精确解精确解精确解精确解 =FQ Sz*bIz h/bh/b 1.01.02/12/11.041.041/11/11.121.121/21/21.571.571/41/42.302.30弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲（二）工字形（二）工字形截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力翼缘翼缘1、腹板、腹板z腹板腹板式中式中(y)：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的剪应力处的剪应力 ：y处横线一侧的部分面积处横线一侧的部分面积 对中性轴的静矩对中性轴的静矩 ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩：y处的宽度处的宽度 弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应

43、力弯曲时的剪应力y弯曲弯曲腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力占腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力占总剪力的总剪力的9597%。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲2、翼缘、翼缘翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪力形成的竖向剪力形成“剪应力流剪应力流”。翼缘部分的剪应力强度计算时一翼缘部分的剪应力强度计算时一般不予考虑。般不予考虑。腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角的应力较复杂，在连接处的转角上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，

44、使上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使这里的这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的 结果。结果。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲 max=43FQA（三）其它形状（三）其它形状截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力圆截面圆截面弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲 max=2.0FQA圆环截面圆环截面zy弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲（四）（四）切应力强度条件切应力强度条件对于等宽度截面，对于等宽度截面，发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，不

45、一定发生在中性轴上。不一定发生在中性轴上。在进行梁的强度计算时，需注意以下问题在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1 1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。需要较核剪应力强度。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲例如例如LABF0.9LABFF0.2L0.2L0.6L(+

46、)(-)0.9F0.1F(+)0.09FLF(+)(-)-F0.2FL(+)M-图图弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲（2 2 2 2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处 的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同该处的正

47、应力为零。对于横截面上其余各点，同该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同 时存在正应力、剪应力。这些点的强度计算，应时存在正应力、剪应力。这些点的强度计算，应时存在正应力、剪应力。这些点的强度计算，应时存在正应力、剪应力。这些点的强度计算，应 按强度理论进行计算。按强度理论进行计算。按强度理论进行计算。按强度理论进行计算。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲例例6-3 铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力为为 ，许用压应力为，许用压应力为 ，。试校核梁的。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况

48、又如何？正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？AB2m1m3mP=20KNECDq=10KN/m200mm30200mmycz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力约束反力：约束反力：弯曲弯曲200mm30200mmycz解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置最大静矩：最大静矩：弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图约束反力：约束反力：(+)(-)(-)20KN10KN10KN(+)(-)10KN.m20KN.m由由 、知：知：弯曲应力弯曲应力/弯曲

49、时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲（3）正应力强度校核）正应力强度校核对于对于A A截面：截面：z200mm30200mmycz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲对于对于D D截面：截面：z200mm30200mmyczz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲正应力强度足够正应力强度足够。因此因此（4 4）剪应力强度校核）剪应力强度校核在在A A截面：截面：剪应力强度足够剪应力强度足够。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲（5 5）若将梁的截面倒置，则）若将梁的截面倒置，则此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。yczz弯曲应力弯曲应

50、力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弯曲弯曲三、提高弯曲强度的一些措施三、提高弯曲强度的一些措施弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：在在 一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：（一）、选择合理截面（一）、选择合理截面（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：z弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施弯曲弯曲（2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的