微积分05导数应用.ppt

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1、微积分05导数应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第十讲第十讲 微分中值定理微分中值定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理（一）极值的定义：（一）极值的定义：极值的研究是微积分产生的主要动力之一极值的研究是微积分产生的主要动力之一（二）费尔马定理（二）费尔马定理 (极

2、值必要条件极值必要条件)证证微分中值定理的引入微分中值定理的引入(二、罗尔二、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理怎样证明罗尔定理怎样证明罗尔定理？先利用形象思维先利用形象思维去找出一个去找出一个C点来！点来！想到利用闭区间上连续函数想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！的最大最小值定理！罗尔定理的证明：罗尔定理的证明：怎样证明拉格朗日定理怎样证明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件:则收缩为罗尔定理；则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日

3、定理。则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。即。即 寻求未知事物通向已知领域的寻求未知事物通向已知领域的“桥桥”！因此想到利用罗尔定理！因此想到利用罗尔定理！满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件桥桥拉格朗日定理的证明：拉格朗日定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式推论推论1：证证推论推论2：推论推论3：推论推论4：柯西中值定理的证明：柯西中值定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数费尔马定理费尔马定理罗尔定理罗尔定理拉格

4、朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理零点问题零点问题以下证明恰好以下证明恰好有三个根有三个根该方程实根个数该方程实根个数就是两条曲线就是两条曲线首先证明至少有三个根首先证明至少有三个根计算表明计算表明根据介值定理根据介值定理因此方程至少有三个根因此方程至少有三个根然后证明方程最多有三个根然后证明方程最多有三个根用反证法用反证法 根据洛尔定理根据洛尔定理矛盾！矛盾！综上所述，方程恰好有三个实根综上所述，方程恰好有三个实根直观观察可直观观察可以启发思路以启发思路在第一种情形在第一种情形,都不是最小值都不是最小值所以最小值一定在区间内部达到所以最小值一定在区间内部达到证证证明思路直观分析证明思路直观

5、分析例例证证根据连续函数的根据连续函数的最大最小值定理最大最小值定理证证证证证证证证证证证证极值与凸性极值与凸性函数的极值函数的极值函数的凸性函数的凸性渐近线渐近线函数的作图函数的作图最值最值曲率曲率一、极值与最值一、极值与最值极值的第一充分条件极值的第一充分条件(导数形式导数形式)定理定理1：（二）极值的第二充分条件（二）极值的第二充分条件定理定理2：证证 (1)（二）函数的最大、最小值（二）函数的最大、最小值(B)(B)最大、最小值应用问题最大、最小值应用问题解解 一个可口可乐饮料罐具体测量一一个可口可乐饮料罐具体测量一下下:它顶盖的直径和从顶盖到它顶盖的直径和从顶盖到底部的高底部的高(约

6、为约为6厘米和厘米和12厘米厘米),胖的部分的直径约为胖的部分的直径约为6.6厘米厘米,胖胖的部分高约为的部分高约为10.2厘米厘米.怎样测怎样测量比较简捷？量比较简捷？(用一条窄的薄纸条用一条窄的薄纸条,绕饮料罐相关部分一圈测得周长绕饮料罐相关部分一圈测得周长,再换算得半径和直径再换算得半径和直径).可口可乐可口可乐饮料罐上标明净含量为饮料罐上标明净含量为 355 毫升毫升(即即355 立方厘米立方厘米)。饮料罐中的数学饮料罐中的数学唯一驻点唯一驻点返回返回返回返回返回 解解 解解 二、函数的凸性二、函数的凸性（一）（一）凸性定义：凸性定义：（二）（二）凸性的判定凸性的判定定理定理1：(用一

7、阶导数判定函数的凸性用一阶导数判定函数的凸性)证证 必要性必要性返回返回定理定理2：(用二阶导数判定函数的凸性用二阶导数判定函数的凸性)定理定理3：(用切线位置判定函数的凸性用切线位置判定函数的凸性)切线位于切线位于曲线下方曲线下方（三）（三）拐点拐点定理：定理：（拐点必要条件）（拐点必要条件）x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)-0+0-y拐点拐点三、曲线的渐近线三、曲线的渐近线 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法定理：定理：证证 必要性必要性 证证 充分性充分性 假设下列两个条件同时成立假设下列两个条件同时成立四、函数作图四、函数作图解解拐点拐点拐点拐点极大极大x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+无无-0+y”-定定+y义义极小极小值值 e返回x(-,-1)-1(-1,0)(0,1)1(-,-1)y+0-0+y极大极小返回x(-,0)(0,1)1(1,+)y+-0+y极小返回返回解解返回返回解解返回返回返回返回返回返回返回