投资学第八讲因子模型和套利定价理论.ppt

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1、投资学第八讲因子模型和套利定价理论 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望组合选择理论的一个缺陷组合选择理论的一个缺陷 马科维茨的Portfolio Selection理论说明了如何在给定风险水平下获得最大的资产组合收益。但是在有效边界的确立上，需要做大量的变量估计，对计算能力的要求非常高。假定分析人员需要分析n种股票，则按照均值方差模型的要求需要估计：n n个期望收益个期望收益n n个方差个方差 (n(n2 2-n)/2-n)/2个协方差个协方差若若n

2、n5050，总共为，总共为13251325个个 若若n n100100，总共为，总共为 51505150个个 若若n n30003000，总共要估计超过，总共要估计超过450450万个变量万个变量8.1 因子模型因子模型（Factor model）n n定义：因子模型是假设资产的收益是由某个收益生成过程所决定的（而不是根据Markowitz方法），而这个生成过程则可以通过某个收益率统计公式线性地表述出来。n n依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。8.1.1 单因子模型单因子模型若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。经济指数

3、。假设假设：（1 1）证券的回报率主要取决于该指数的变化；证券的回报率主要取决于该指数的变化；（2 2）除此以外的因素是公司特有风险：残余风险）除此以外的因素是公司特有风险：残余风险例如，例如，GDPGDP增长率是影响证券回报率的主要因素增长率是影响证券回报率的主要因素。因子模型回归因子模型回归年份年份I IGDPtGDPt（%）股票股票A A收益率（收益率（%）1 15.75.7 14.314.32 26.46.4 19.219.23 3 8.98.923.423.44 4 8.08.015.615.65 5 5.15.1 9.29.26 6 2.92.913.013.0n n4%n n图中

4、，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。n n通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为 通过分析上面这个例子，可归纳出通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的单因子模型的单因子模型的单因子模型的一般形式一般形式一般形式一般形式：对时间：对时间t t 的任何证券的任何证券i i 有时间序列有时间序列 其中：r rit it在时期在时期 t t 证券证券 i i 的回报的回报a ai i零因子零因子f ft t是是t t 时期公共因子的取值时期公共因子的取值b bi i证证券券i i对对公公共共因因子子f f的的敏敏感感

5、度度(sensitivity),(sensitivity),或或因因子载荷（子载荷（factor loadingfactor loading）e eit it在时期在时期t t证券证券i i的特有回报的特有回报（8.1）如果只考虑在某个特定的时间的因子模型，可以省掉角标t，从而（8.1）式变为并且假设并且假设（8.2）假设(1)：因子f具体取什么值对e没有影响，即因子f与e是独立的，这样保证了因子f是回报率的惟一因素。假设(2)：一种证券的e对其余任何证券的e没有影响，两种证券之所以相关，仅是由于它们具有共同因子f所致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。对于

6、证券对于证券i i，由（由（8.28.2）其回报率的均值（期望值）为）其回报率的均值（期望值）为 其回报率的方差其回报率的方差因子风险因子风险非因子风险非因子风险对于证券对于证券i和和j而言，它们之间的协方差为而言，它们之间的协方差为（8.3）用因子模型简化组合选择过程用因子模型简化组合选择过程n n单因子模型：单因子模型：n n个期望收益，个期望收益，n n个个b bi i，n n个个残差残差 ，一个因子，一个因子f f方差方差 ，共，共3n3n1 1个估计值个估计值n n若若n n5050，之前，之前13251325个，现在个，现在151151n n若若n n100100，之前，之前 51

7、505150个，现在个，现在301301n n若若n n30003000，之前，之前450450万万 ，现在，现在90019001一个特殊的因子模型 证券收益可以用预期到的收益和未预期到的收益两个部分来解释，构成了未预期到的因子变化未预期到的因子变化包含已知信息的预期回报包含已知信息的预期回报f是证券是证券i的因子变化，它是不可预测的。的因子变化，它是不可预测的。n n若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法预测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向公平赌局（Fair game）n n价格（收益）的不可预测，本质上是信息的不可预测。单因素模型的简化是

8、有成本的，它仅仅将资产收益简单地认为仅与一个因子相关。因而难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。例：公用事业公司与航空公司，前者对例：公用事业公司与航空公司，前者对GDPGDP不不敏感，后者对利率不敏感。敏感，后者对利率不敏感。8.1.2 多因子模型多因子模型双因素、三因素与五因素模型双因素、三因素与五因素模型双因素模型：双因素模型：经济周期经济周期GDPGDP和利率和利率IRIR是两个最重要的系统因素是两个最重要的系统因素.三因素模型：三因素模型：Fama and FrenchFama and French 除市场收益外除市场收益外,考察了公司规模大小考察了公司规模大小SIZESIZE、托

9、宾、托宾Q Q值比值比HMLHML这两个因素这两个因素.五因素模型：五因素模型：把宏观经济因素分解为：行业生产变动百分比把宏观经济因素分解为：行业生产变动百分比IP IP、预期通胀变动百分比、预期通胀变动百分比EIEI、非预期通胀变动百分、非预期通胀变动百分比比UI UI、长期公司债券对长期政府债券的超额收益、长期公司债券对长期政府债券的超额收益CGCG、长期政府债券对短期国库券的超额收益、长期政府债券对短期国库券的超额收益GB.GB.两因子模型两因子模型n n若只考虑一期的模型，则可以省略表示时间的下标，从而两因子模型方程为在两因子模型下，对于证券在两因子模型下，对于证券i i ，其收益率的

10、均值，其收益率的均值 其收益率的方差其收益率的方差对于证券对于证券i和和j，其协方差为，其协方差为证券证券i对因子对因子1的敏感度的敏感度多因子模型多因子模型对于对于n种证券相关的种证券相关的m（mn)个因子，证券个因子，证券i的的收益可以表示为收益可以表示为 CAPM：市场均衡条件下的最市场均衡条件下的最优投资组合理论优投资组合理论 APT：无套利均衡下因子模型无套利均衡下因子模型 8.2 套利定价理论（套利定价理论（APT）套利（Arbitrage）是利用证券定价之间的不一致，同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而在不承担风险的情况下锁定一个正收益。三要点：-零投入 -无风险 -正收益

11、.套利机会套利机会套利机会-如果可以持有自融资的投资组合并获得确定的正收益arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit.如果市场是有效的,套利机会将立即消失.因为任何投资者,不考虑风险厌恶与财富状况,均愿意尽可能多地拥有套利组合的头寸,大量头寸的存在将导致价格上涨或下跌直至套利机会完全消除.两种套利方法：当当前前时时刻刻净净支支出出为为0 0，将将来来获获得得正正收收入入（收收入净现值为正）入净现值为正）当当前前时时刻刻一一系系列列能能带带来来正正收收入入的的投投资资，将将来

12、的净支出为零（支出的净现值为来的净支出为零（支出的净现值为0 0）。）。n n假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则有套利机会。n n套利过程是：1.交易者按交易者按10%10%的利率借入一笔的利率借入一笔6 6个月资金（假个月资金（假设设10001000万元）万元）2.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按该交易者可以按11%11%的价格的价格6 6个月后从市场借个月后从市场借入资金入资金10511051万元（等于万元（等于1000e1000e0

13、.100.50.100.5）。）。3.按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。4.1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还半年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。n n这是哪一种套利？n n套利不仅仅局限于同一种资产（组合），对于整个资本市场，还应该包括那些“相似”资产（组合）构成的近似套利机会。n n无套利原则（Non-arbitrage principle)：根据一价定律，两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。8.2.1 APT的基本假设的基本假设1

14、、市场是充分竞争的、无摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）；2、投资者是非满足的：只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。不必对投资者风险偏好作假设不必对投资者风险偏好作假设3、资产的回报可以用因子模型表示。APT的基本原理：由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性（b）的资产（或组合）应提供相同的期望收益率。8.2.2 构建套利组合构建套利组合 Arbitrage portfolio1、零投资：套利组合中购买证券的资金由卖出别的证券来提供，即自融资（Self-financing）。2、无风险：在因子

15、模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为0。3、正收益：套利组合的期望收益大于零。Well Diversified PortfolioRecall the return on a portfolioremainscan approach 0 with diversificationRisk associated with f is systematic or non-diversifiableRisk associated with the eis is diversifiable.We say that a portfolio is well diversi

16、fied if The Effect of DiversificationAssume(i.e.all errors have the same var)LetThe error is reduced by a factor of n.As Lets take a look at the error termn n用数学表示就是8.2.3 套利定价模型套利定价模型n n假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风险利率借入1元钱；（2）1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。若不存在套利机会，则该套利组合的收益为若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0根据条件（根据条件（2），），一般形式的

17、证明见附录一般形式的证明见附录APT的意义的意义若bi0，则上式退化为无风险资产，则意味着若bi0，则期望回报 随着 的增加而增大风险因子载荷风险因子载荷APT的意义的意义若给定等投资额的证券若给定等投资额的证券h多头和证券多头和证券l空头，则形成套空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从而从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定价定价线线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只要证券偏离要证券偏离APT定价线就会有套利机会。定价线就会有套

18、利机会。APT定价线定价线8.2.4 APT的另一种表达的另一种表达 则称该组合则称该组合p为为纯因子组合纯因子组合(类似于类似于CAPM的市场组合的市场组合)在两因子模型下，我们有即即第第1因子的风险价格因子的风险价格第第2因子的风险价格因子的风险价格这样可将这样可将APT的表达式可以改写为的表达式可以改写为8.3 APT与与CAPM的比较的比较nAPT与与CAPM的一致性的一致性若只有一个风险因子，若只有一个风险因子，且且纯因子组合是市场组纯因子组合是市场组合，则当合，则当APT与与CAPM均成立时有均成立时有1、CAPM是一种理论上非常完美的模型，但假设条件太多、太严格。其中关键的假设是

19、同质性假设同质性假设和和一般均衡一般均衡。APT假设少得多。基本假设是：个体是个体是非满足非满足，不需要风险规避的假设！只要一个人套利，市场就会出现均衡只要一个人套利，市场就会出现均衡CAPM与与APT的区别的区别2、在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解）。APT并不要求组合一定是市场组合，可以是任何风险分散良好的组合：纯因子组合3、若纯因子组合不是市场组合，则APT与CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，CAPM与APT等价。CAPM与与APT的区别的区别注意二者并注意二者并不一致不一致由于市场组合在实际中不是总能得到，因此

20、，由于市场组合在实际中不是总能得到，因此，在实际应用中，只要投资基金等组合，即可满在实际应用中，只要投资基金等组合，即可满足足APT。所以。所以APT的适用性更强！的适用性更强！4、APT的推导以无套利均衡为核心，CAPM则以一般均衡 General Equlibrium 核心。5、CAPM属于单一时期模型，但APT并不受到单一时期的限制。6、在CAPM中，证券的风险只与市场组合相关。APT承认有多种因素影响证券价格，为识别证券风险的来源提供了分析工具。1976 年罗斯(Stephen.A.Ross,1944)的套利定价理论(APT,Arbitrage Pricing Theory)。命题命题

21、：假设：假设n种资产其收益率种资产其收益率m个因子决定个因子决定（mn），即），即其中，其中，i=1,2,n，j=1,2,m，则，则附录：附录：APT的严格证明的严格证明n n证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无风险的组合，即wi满足下列条件零投资零投资无风险无风险（2）（1）即，即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。线性无关。如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只资、无风险的组合必然是无收益的，从而只要（要（1）和（）和（2）成立，则）成立，则蕴含蕴含(followed)这等价于，这等价于，只要只要对于任意

22、的对于任意的W，必然必然有有n n又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b1 1,b,b2 2,b,bmm线性无关，则线性无关，则 必定落在由必定落在由1,b1,b1 1,b,b2 2,b,bmm组成的向量空间组成的向量空间R Rm+1m+1中，中，也就是存在一组不全为零的数也就是存在一组不全为零的数 使得使得证毕。证毕。理解：理解：必须落在必须落在Rm+1空间中，才能必然成立空间中，才能必然成立 1和和bj是该空间的一组基是该空间的一组基abC在向量空间中，如果向量在向量空间中，如果向量a、b正交于正交于c，蕴蕴含着含着d正交与正交与c，则，则d必须落在由必须落在由a和和b张成的张成的二维空间上，二维空间上，d可以由可以由a、b线性表示线性表示.0示意图：向量空间示意图：向量空间