高考平面向量专题突破 2学生版.doc

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1、 平面向量【考情上线】1. 平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。平面向量的基本概念及线性运算【知识回顾】一、向量的有关概念及表示方法1. 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如

2、：几何表示法，；坐标表示法。2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如的模分别记作|和。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。3. 几类特殊向量（1） 零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行，零向量0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）（2） 单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如的单位向量为：（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作。规定：与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移

3、到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。（4）相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作。关于相反向量有： 零向量的相反向量仍是零向量， =； ； 若、是互为相反向量，则=,=,+=。（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为。相等向量经过平移后总可以重合。二、向量的线性运算1.向量加法（1）定义：求两个向量和的

4、运算叫做向量的加法设，则+=。规定：；（2）向量加法的法则“三角形法则”与“平行四边形法则” 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。（3）向量加法的运算律：交换律： 结合律：2.法向量的减（1） 定义：若则向量叫做与的差，记为。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。（2） 向量减法的法则“三

5、角形法则”与“平行四边形法则”BC 三角形法则：当有共同起点时，表示为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所示的对角线。设则-=.3.实数与向量的积（1） 定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： ； 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。（2） 数乘向量的运算律；。三、向量共线定理1. 定理：若与是两个非零向量，则共线有且只有一个实数，使得，即 2. 推论：若与是两个非零向量，则共线存在两个均不为零的实数，使得，3. 应用：可以证明三点共线：三点共线。四、平面向量的基本定理1.

6、 定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：。我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。2. 注意：要平面内的两个向量不共线，都可以作为一组基底，当用基底写成时，称之为向量的分解， 当若与是两个非零向量，则共线有且只有一个实数，使得时，称为向量的正交分解。3. 应用：证明向量共面：若不共线，则与共面的充要条件是存在有序实数对，使证明四点共面：若不共线，存在实数对使四点共面，证明三点共线：若不共线，存在实数对使 三点共线。五、平面向量的坐标表示与运算1. 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基

7、底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作的横坐标，y叫做作纵坐标。规定： ， 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2. 平面向量的坐标运算：若，则；若，则；若=(x,y)，则=(x, y)；若，则；若， 则六、线段的定比分点从标公式设直线上有一条有向线段和一个不同于的动点P，若,即,则称点P为有向线段的定比分点，且称P分有向线段成定比。设，则若，得到中点坐标七、几个重要结论1. ，2. 若为的重

8、心。【例题讲解】考点一：向量的基本概念例1. 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。（1） 若向量同向，且，则；（2） 若向量，则的长度相等且方向相同或相反；（3） 对于任意向量，且的方向相同，则；（4） 由于零向量方向不确定，故不能与任意向量平行。（5） 向量与向量是共线向量，则四点在一条直线上；（6） 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。解：（1）不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确. （2）不正确，由只能判断两个向量长度相等，不能判断方向。 （3）正确，因为，且方向相同，由两向量相等的条件可得 （

9、4）不正确，由零向量性质可得与任一向量平行，可知（4）不正确。 （5）不正确，若向量与向量是共线向量，则向量与所在的直线平行或重合，因此，不一定共线。 （6）正确，对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的。例2. 判断下列各命题是否正确：（1） 若，则；（2） 单位向量都相等；（3） 向量就是有向线段；（4） 两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（5） 若，则；（6） 若，则；（7） 若四边形是平行四边形，则解：（1）不正确，由只能判断两个向量长度相等，不能判断方向（2）不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没有要求；（3）不正确，有向线段有三个要素：起点、终点及长度

10、，向量有两个要素：大小与方向。有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；（4）正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，则终点必重合；（5）正确，由向量相等定义可得（6）不正确，若，则对两个不共线的向量与，也有，但（7）不正确，考点二：向量的基本运算例3. 如图所示，已知，试用 表示：（1）; （2）; （3）.例4.如右图，以向量为边作,用表示考点三：共线向量例5. 设两个非零向量不共线，（1）若，求证：三点共线。（2）试确定实数，使和共线。例6设两个非零向量不共线.(1)如果，求证：三点共线；(2)如果，且三点共线，求的值。考点四：向量坐标的基本运算例7.已知,

11、设，且，(1)求(2)求满足的实数；(3)求的坐标及向量的坐标。例8.已知向量，且，求实数的值。考点五：共线向量的综合问题例9.如图所示，已知点，求和交点的坐标。例10.如图所示，在中，与将于点，设以为基底表示.【例题讲解】考点一：向量的基本概念例1. 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。（1） 若向量同向，且，则；（2） 若向量，则的长度相等且方向相同或相反；（3） 对于任意向量，且的方向相同，则；（4） 由于零向量方向不确定，故不能与任意向量平行。（5） 向量与向量是共线向量，则四点在一条直线上；（6） 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。例2. 判断下列各命题是否正确：

12、（1） 若，则；（2） 单位向量都相等；（3） 向量就是有向线段；（4） 两相等向量若其起点相同，则终点也相同；（5） 若，则；（6） 若，则；（7） 若四边形是平行四边形，则考点二：向量的基本运算例3. 如图所示，已知，试用表示：（1）; （2）; （3）.例4.如右图，以向量为边作,用表示考点三：共线向量例5. 设两个非零向量不共线，（1）若，求证：三点共线。（2）试确定实数，使和共线。例6设两个非零向量不共线.(1)如果，求证：三点共线；(2)如果，且三点共线，求的值。考点四：向量坐标的基本运算例7.已知,设，且，(1)求(2)求满足的实数；(3)求的坐标及向量的坐标。例8.已知向量，且

13、，求实数的值。考点五：共线向量的综合问题例9.如图所示，已知点，求和交点的坐标。例10.如图所示，在中，与将于点，设以为基底表示. 平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标： 1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义； （2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法 （1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，

14、认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断

15、培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神； 教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。二、合作探究，精讲点拨SF探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功

16、是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1） 数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 bcos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：= cos（2）定义说明：记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表：的范围090=900180的符号（5）探究题组一 ：已知，当，与的夹角是60

17、时，分别求.探究二：研究数量积的几何意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=cos注：投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|.2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积等于的长度与在的方向上的投影cos 的乘积。探究三：探究数量积的运算性质1、数量积的性质 性质：若和均为非零向量 （1）0 （垂直）（2）与同向时， =，与 反向 时， =-特别地：=2 = （长度）（3）cos=（夹角）（

18、4） 2、探究题组二已知=6，=4, 与的夹角为60，求（+2 ）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？四、针对训练 巩固提高： 1、 下列各式（1） （2）（3）（4）正确的个数为 2、 已知：，则在上的投影为 3、 下列命题中（1） （2）（3）（4） （5） （6）其中真命题的个数有 4、 5、13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 4ab=1 。16）已知平面向量满足，且与的夹角为120，则的取值范围是_12.已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2）若（ab）c，则m

19、 .13.已知向量，满足， 与的夹角为60，则 13）已知平面向量则的值是 15）如图，在中，,则 .综合巩固提升一、选择题(每题5分，共10题，50分) 已知为等边三角形,设点满足,若,则（）1 设都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是（）ABCD且1 2已知两个非零向量满足,则下面结论正确的是（）AB CD【答案】B 3在中,则（）ABCD4对任意两个非零的平面向量 和 ,定义,若平面向量 满足与的夹角,且 和 都在集合中,则（）AB1CD5若向量,则（）ABCD 6中,边上的高为,若,则（）ABCD 7在平面直角坐标系中,将向量按逆时针旋转后,得向量则点的坐标是（）ABCD二

20、、填空题（每题5分，共6题，30分）已知向量夹角为 ,且;则 【8在中,是的中点,则9在平行四边形中,边的长分别为2、1. 若分别是边 上的点,且满足,则的取值范围是_ . 【10如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是_.11已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为_;的最大值为_.12若平面向量满足:;则的最小值是高三数学平面向量综合练习题一、选择题1、设平面向量=(2，1)，=(，1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是2、设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列为与共线的充要条件的有存在一个实数，使=或=；|=|；(+)/()A、1个 B、2个 C、3个 D、4个3、

21、若函数y=2sin(x+)的图象按向量(，2)平移后，它的一条对称轴是x=，则的一个可能的值是 A、 B、 C、 D、4、ABC中，若，则ABC为A、直角三角形 B、钝角三角形C、锐角三角形 D、等腰三角形5、已知ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则点P与ABC的关系是A、P在ABC内部 B、P在ABC外部C、P在直线AB上D、P在ABC的AC边的一个三等分点上6、在边长为1的正三角形ABC中，则=二、填空题1、已知=(cos，sin)，=(，1)，则|2|的最大值为_2、已知P(x，y)是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，若F1PF2为钝角，则x的取值范围为_3、设=(a

22、,b)，=(c,d)，规定两向量m, n之间的一个运算“”为=(acbd，ad+bc)，若已知=(1，2)，=(4，3)，则=_4、将圆x2+y2=2按=(2，1)平移后，与直线x+y+=0相切，则实数的值为_三、解答题1、已知平面内三向量、的模为1，它们相互之间的夹角为1200。（1）求证：；（2），求k的取值范围。2、设两个向量、满足|=2，|=1，与的夹角为600，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围。3、ABC内接于以o为圆心，l为半径的圆，且，求：，。4、抛物线与过点M(1，0)的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若=0，求直线l的方程。5、设=(m，n)，=(p，q)，定

23、义向量间运算“*”为：*=(mpnq，mq+np)。（1）计算|、| 及 |*|；（2）设=(1，0)，计算cos及cos；（3）根据（1）、（2）的结果，你能得到什么结论？6、已知=(cos，sin)，=(cos，sin)，0。（1）求证：+与垂直；（2）若k+与k的长度相等，求的值（k为非零的常数7、已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)。（1）若，求sin2的值；（2）若，且(0，)，求与的夹角。8、已知=(2，2)，与的夹角为，且=2。（1）求向量；（2）若=(1，0)，且，=(cosA，2cos2)，其中A、C是ABC的内角，若A、B、C依次成等差数列，求|+|的取值范

24、围。9、已知向量、及实数x、y，且|=|=1，=+(x23)，=y+x，若，且|。（1）求y关于x的函数关系y=f(x)及定义域；（2）求函数f(x)的单调区间。10、平面向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点M为直线OP上一动点。（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点M满足（1）中的条件和结论时，求AMB的余弦值。11、已知P(x，y)，A(1，0)，向量与=(1，1)共线。（1）求y是x的函数；（2）是否在直线y=2x和直线y=3x上分别存在一点B、C，使得满足BPC为锐角时x取值集合为x| x？若存在，求出这样的B、C的坐标；若不存在，说明理由。12、已知，其中=(1，0)，

25、=(0，1)。（1）计算，|+|的值；（2）如果存在n个不全为零的实数k1，k2，kn，使成立，则称n个向量，“线性相关”，否则为“不线性相关”，依此定义，三个向量=(1，1)，=(2，1)，=(3，2)是否为“线性相关”的，请说明你的判断根据；（3）平面上任意三个互不共线的向量，一定是线性相关的吗？为什么向量作业部分当堂练习：1、为非零向量，且，则 （ ）2设，而是一非零向量，则下列各结论：；，其中正确的是 （ ）33在ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是ABC的重心，则 等于 （ ）5若化简 （ ）6已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则=A

26、 B C D 7已知，AOB=60，则_。8当非零向量和满足条件 时，使得平分和间的夹角。9如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则等式：10若向量、满足，、为已知向量，则=_； =_1若向量a=(1,1),b=(1,1),c=(1,2)，则c等于（ ）2若向量a=(x2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（ ）3已知向量且，则= （ ）4已知 ABCD的两条对角线交于点E，设，用来表示的表达式（ ）5已知两点P（，6）、（3，），点P（，）分有向线段所成的比为，则、的值为（ ）6下列各组向量中： 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是 （ ）ABCD7

27、若向量=（2，m）与=（m，8）的方向相反，则m的值是 8已知=（2，3）， =（-5，6），则|+|= ，|-|= 9设=（2，9）， =（,6），=(-1,),若+=,则= , = .10ABC的顶点A(2，3)，B(4，2)和重心G(2，1)，则C点坐标为 .11已知向量e1、e2不共线，(1)若=e1e2，=2e1e2，=3e1e2，求证：A、B、D三点共线.(2)若向量e1e2与e1e2共线，求实数的值.12如果向量=i2j, =i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.1已知=（3，0），=（-5，5）则与的夹角为 （ ）2已知=

28、（1，-2），=（5，8），=（2，3），则（）的值为 （ ）3已知=（2，3），=（-4，7）则向量在方向上的投影为 （ ）4已知=（3，-1），=（1，2），向量满足=7，且，则的坐标是（ ）5有下面四个关系式（1）=；（2）（）=（）；（3）=；（4）0=0，其中正确的个数是 （ ）6已知=（m-2，m+3），=（2m+1，m-2）且与的夹角大于90，则实数m（ ）7已知点A（1，0），B（3，1），C（2，0）则向量与的夹角是 。8已知=（1，-1），=（-2，1），如果（，则实数= 。9若|=2，|=，与的夹角为45，要使k-与垂直，则k= 10已知+=2-8，=-8+16，那么=

29、11已知2+=（-4，3），-2=（3，4），求的值。12已知点A（1，2）和B（4，-1），试推断能否在y轴上找到一点C，使ACB=900？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由。1已知A、B、C为三个不共线的点，P为ABC所在平面内一点，若，则点P与ABC的位置关系是 （ ）2已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则ABC的形状为 （ ） 6两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b相对于粒子a的位移 ；（2）求S在Sa方向上的投影 。7如图，点P是线段AB上的一点，且APPB=，点O是直

30、线AB外一点，设，试用的运算式表示向量8如图，ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，设AD与BE相交于G，求证：AGGD=BGGE=219如图， O是ABC外任一点，若，求证：G是ABC重心（即三条边上中线的交点）750ABC东北45010一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h的速度向前航行，货船以21mile/h的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。平面向量单元测试1在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若=（ ）2对于菱形ABCD，给出下列各式：2其中正确的个数为（ ）3在

31、ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（ ）AB CD4 已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）A5 BC D5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），则第四个点的坐标为（ ）7若，则的数量积为 （ ）8若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量,则的坐标为 ( ）9设kR，下列向量中，与向量一定不平行的向量是（ ）ABCD10已知，且，则的夹角为（ ）12在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是 13已知，若平行，则= .14已知为单位向量，=4，的夹角为，则方向上的投影为 .15已知非零向量满足,求证: 16已知在ABC中，且ABC中C为直角，求k的值.17

32、、设是两个不共线的向量，若A、B、D三点共线，求k的值.18已知 ,的夹角为60o,当当实数为何值时， 向量高考总结：一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量

33、）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示

34、法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如（1）若，则_（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（4）已知中，点在边上，且，则的值是_四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作

35、，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0；当P点在线段 PP的延长线上时1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如若点分所成的比为，则分所成的比为_3线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_十一平移公式：如果点按

36、向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点_；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则=12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为。如若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_；为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐