高考理科数学专项训练之数列.doc

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1、高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编5：数列一、选择题 （上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）数列前项和为,已知,且对任意正整数,都有,若恒成立,则实数的最小值为（）ABCD4 （上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）设等比数列的前项和为,则“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件二、填空题 （四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理）给出30行30列的数表:,其特点是每行每列都构成等差数列,记数表主对角线上的数按顺序构成数列,存在正整数使成等差数列,试写出一组的值_. （上海市十二

2、校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）已知数列满足 (nN*)且=9,其前n项和为Sn,则满足不等式|Snn6|的最小整数n是 ( )A.5B.6C.7D.8 （上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）对于自然数,设,如,对于自然数,当时,设,则_. （上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）设为等差数列的前项和,若,则公差为_. （上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）等差数列的前10项和为30,则_. （上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）设,称为整数的为“希望数”,则在内所有“希望数”的个数为_. （上海市虹口区2013年高考二模

3、数学（理）试题 ）数列的通项,前项和为,则_.（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）设正项数列的前项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则_（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)设为数列的前项和,若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立,则实数的最大值为（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）设等差数列满足:公差,且中任意两项之和也是该数列中的一项. 若,则的所有可能取值之和为_.（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）已知为等差数列,其前项和为,若,则公差=_.（2013年上海市高三七校联考（理）设等差数列的公差为正

4、,若,则_.（2013届浦东二模卷理科题）数列满足().存在可以生成的数列是常数数列;“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件;若为单调递增数列,则的取值范围是;只要,其中,则一定存在;其中正确命题的序号为_.（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）公差为,各项均为正整数的等差数列中,若,则的最小值等于_.三、解答题（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知数列的前项和为,数列是首项为,公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式;(2)设,对任意的正整数,将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为,求证:数列为等比数列; (3)对(2)题中的,求集合的

5、元素个数.（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理）本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列的前项和为,且满足 (),设,.(1)求证:数列是等比数列;(2)若,求实数的最小值;(3)当时,给出一个新数列,其中,设这个新数列的前项和为,若可以写成 (且)的形式,则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分16分,第1小题满分8分,第2小题满分8分设数列与满足:对任意,都有,.其中为数列的前项和.(1)当时,求数列

6、与的通项公式;(2)当时,求数列的前项和.（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如果存在常数使得数列满足:若是数列中的一项,则也是数列中的一项,称数列是关于常数的“兑换数列”.(1)若数列:是关于的“兑换数列”,求和的值;(2)已知项数为()有限等差数列,其所有项的和是,求证:数列是关于常数 的“兑换数列”.(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增等比数列,是否是“兑换数列”?若是,请求出常数的值;否则请说明理由. Z（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理

7、）试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分 ,第3小题满分8分.对于任意的,若数列同时满足下列两个条件,则称数列具有“性质”:; 存在实数,使得成立.(1)数列、中,、(),判断、是否具有“性质”;(2)若各项为正数的等比数列的前项和为,且,证明:数列具有“性质”,并指出的取值范围;(3)若数列的通项公式().对于任意的(),数列具有“性质”,且对满足条件的的最小值,求整数的值（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列具有性质:为整数;对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.(1)若为偶

8、数,且成等差数列,求的值;(2)设(且N),数列的前项和为,求证:;(3)若为正整数,求证:当(N)时,都有.（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知复数,其中,是虚数单位,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)求和:;.（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知数列an中,a2=1,前n项和为Sn,且.(1)求a1,a3;(2)求证:数列an为等差数列,并写出其通项公式;(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1pq),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）

9、(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分)(理)已知三个互不相等的正数,成等比数列,公比为.在,之间和,之间共插入个数,使这个数构成等差数列.(1)若,在,之间插入一个数,求的值;(2)设,问在,之间和,之间各插入几个数,请说明理由;(3)若插入的个数中,有个位于,之间,个位于,之间,试比较与的大小.（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满分18分;第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)对于数列,定义“变换”:将数列变换成数列,其中,且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,依此类推,当得到的数列各项均为时变换

10、结束. (1)试问经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;(2)设,.若,且的各项之和为.求,;(3)在(2)的条件下,若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小,求的最小值,并说明理由.（2013年上海市高三七校联考（理）本题共有3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.OA3yxA0A1A2A4第23题图一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是,(如图所示,坐标以已知条件为准),表示青蛙从点到点所经过的路程.(1)若点为抛物线准线上一点,点、均在该抛物线上,并且直线经过该抛物线的焦点,证明.(2)若点要

11、么落在所表示的曲线上,要么落在所表示的曲线上,并且,试写出(请简要说明理由);(3)若点要么落在所表示的曲线上,要么落在所表示的曲线上,并且,求的表达式.（2013届浦东二模卷理科题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.已知直角的三边长,满足(1)在之间插入2011个数,使这2013个数构成以为首项的等差数列,且它们的和为,求的最小值;(2)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列,且,求满足不等式的所有的值;(3)已知成等比数列,若数列满足,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且是正整数.（201

12、3届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.如图,过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点,过点作倾斜角为的直线交轴于点,交于点;过点作倾斜角为的直线交轴于点,交于点;过点作倾斜角为的直线,交轴于点,交于点;如此下去.又设线段的长分别为,的面积分别为数列的前项的和为.(1)求; (2)求,;(3)设,数列的前项和为,对于正整数,若,且,试比较与的大小.xyOP1P2P3Q1Q3Q2P4上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编5：数列参考答案一、选择题 A C 二、填空题 . C 12 9;

13、7; 364 2 ; 三、解答题本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分, 第(3)小题满分6分. 解:(1)由条件得,即, 所以, (2) 由(1)可知 所以, , 由及得 依次成递增的等差数列, 所以, 满足为常数,所以数列为等比数列 (3)当为奇数时, , 同样,可得, 所以,集合的元素个数为 ; 当为偶数时,同理可得集合的元素个数为 本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 解:(1),当时, =2,所以为等比数列. ,. (2) 由(1)可得 ; , , 所以,且.所以的最小值为 (3)由(1)当时, 当时, 所以对正整数都有. 由,

14、(且),只能是不小于3的奇数. 当为偶数时, 因为和都是大于1的正整数, 所以存在正整数,使得, ,所以且,相应的,即有,为“指数型和”; 当为奇数时,由于是个奇数之和,仍为奇数,又为正偶数,所以 不成立,此时没有“指数型和”. 解:由题意知,且 两式相减得 即 (1)当时,由知 于是 又,所以是首项为1,公比为2的等比数列. 故知, 再由,得. 另解: 是首项为,公差为的等差数列, (2)当时,由得 若, 若, 若,数列是以为首项,以为公比的等比数列,故 , 时,符合上式 所以,当时, 当时, 另解: 当时, 当时, 若, 若,两边同除以得 令,即 由得 是以为首项,为公比的等比数列 , 所

15、以,当时, 解:(1)在数列中,取,则,不满足条件,所以数列不具有“性质”; 在数列中,则,所以满足条件;()满足条件,所以数列具有“性质” (2)因为数列是各项为正数的等比数列,则公比, 将代入得,解得或(舍去), 所以, 对于任意的,且 所以数列数列具有“性质” (3)由于,则, 由于任意且,数列具有“性质”,所以 即,化简得, 即对于任意且恒成立,所以 =由于及,所以 即时,数列是单调递增数列,且 只需,解得 由 得,所以满足条件的整数的值为2和3. 经检验不合题意,舍去,满足条件的整数只有 【解析】设,则:, 分两种情况: 是奇数,则, 若是偶数,则, 当时, , 由定义可知: , 综

16、上可知:当时,都有 (14分)解:(1),. 由得, 数列是以1为首项公比为3的等比数列,数列是以1为首项公差为2的等差数列, (2)由(1)知,数列是以为首项,公比为的等比数列. 当,时, 当,时, 又也满足上式 解:(1)令n=1,则a1=S1=0 ; a3=2; (2)由,即, 得 . -,得 . 于是,. +,得,即 又a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列an是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,an=n-1 法二-,得 . 于是, 所以,an=n-1. (3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列, 则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列, 于是

17、, 所以,().易知(p,q)=(2,3)为方程()的一组解 当p3,且pN*时,0, 故数列(p3)为递减数列 于是0,所以此时方程()无正整数解 综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列 (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分) 解:(1)因为,是互不相等的正数,所以且. 由已知,是首项为,公比为的等比数列,则, 当插入的一个数位于,之间, 设由个数构成的等差数列的公差为,则,消去得, 因为,所以 (2)设所构成的等差数列的公差为,由题意,共插入个数. 若在,之间插入个数,在,之间插入个数,则, 于是,解得 若在,之间插入个数

18、,在,之间插入个数,则, 于是,解得(不合题意,舍去) 若,之间和,之间各插入个数,则, 解得(不合题意,舍去) 综上,之间插入个数,在,之间插入个数 (3)设所构成的等差数列的公差为, 由题意,又, 所以,即,因为,所以 所以,当,即时,;当,即时,. 解:(1)设,由于青蛙依次向右向上跳动, 所以,由抛物线定义知: (2) 依题意, 随着的增大,点无限接近点 横向路程之和无限接近,纵向路程之和无限接近 所以 = (注:只要能说明横纵坐标的变化趋势,用文字表达也行) (3)设点,由题意,的坐标满足如下递推关系: ,且 其中, (方法一)是以为首项,为公比的等比数列, 即当为偶数时, 又,当为

19、奇数时, 于是,当为偶数时, 当为奇数时, (方法二)是以为首项,为公比的等差数列, 又, , 于是,当为偶数时, 当为奇数时, . (注:本小题若没有写出递推关系,直接归纳得到正确结论而没有证明,扣4分) 解:(1)是等差数列,即 所以,的最小值为; (2)设的公差为,则 设三角形的三边长为,面积, 由得, 当时, 经检验当时,当时, 综上所述,满足不等式的所有的值为2、3、4 (3)证明:因为成等比数列,. 由于为直角三角形的三边长,知, 又,得, 于是 ,则有. 故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形 因为 , , 由,同理可得, 故对于任意的都有是正整数 解 (1)如图,由是

20、边长为的等边三角形,得点的坐标为,又在抛物线上,所以,得 同理在抛物线上,得 (2)如图,法1:点的坐标为,即点,所以直线的方程为或,因此,点的坐标满足 消去得 , 所以 又,故 从而 由有 -得 即,又,于是 所以是以为首项、为公差的等差数, , 理2分 法2:点的坐标为,即点, 所以直线的方程为或 因此,点的坐标满足消去得, 又,所以,从而 以下各步同法1 法3: 点的坐标为, 即点,所以, 又在抛物线上,得 即 以下各步同法1 (3)(理)因为, 所以数列是正项等比数列,且公比,首项, 则, =(注意) 而 (注意) 因为,所以 又均为正整数,所以与同号, 故,所以, (第(3)问只写出正确结论的,给1分)