二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换.doc

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1、第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。一、二阶矩阵1.矩阵的概念23yx23OP(2, 3) = (2, 3)，将的坐标排成一列，并简记为 某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙868823m324简记为 概念一：象 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：上述三个矩阵分别是21矩阵，22矩阵（二阶矩阵），23矩阵，注意行的个数在前。矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为AB。行矩阵：a11,a12（仅有一行）列矩阵：（仅有一列）向量（x

2、,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵或列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。练习1：1.已知,，若A=B，试求2.设，若A=B，求x,y,m,n的值。概念二：由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。零矩阵：所有元素均为0，即，记为0。二阶单位矩阵：，记为E2.二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为，即练习2：1.（1）（2） 2.=，求三、二阶矩阵与线性变换1.旋转变换问题1:P（x,y）绕原点逆时针旋转180o得到P(x,y),称P为P在此旋转变换作用下的象。其结果为，也可以表示为，即怎么算出来的

3、？30o问题2. P（x,y）绕原点逆时针旋转30o得到P(x,y),试完成以下任务写出象P； 写出这个旋转变换的方程组形式；写出矩阵形式.问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角，其结果又如何？2.反射变换定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线的对称点P的线性变换叫做关于直线的反射。研究：P（x,y）关于x轴的反射变换下的象P(x,y)的坐标公式与二阶矩阵。3.伸缩变换定义：将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，（、均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。试分别研究以下问题：.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵. 将每个点的横坐标变为原

4、来的倍，纵坐标变为原来的倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.4.投影变换定义：将平面上每个点P对应到它在直线上的投影P（即垂足），这个变换称为关于直线的投影变换。研究：P（x,y）在x轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。5.切变变换定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移个单位，称为平行于y轴的切变变换。研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。练习：P10 1.2.3.4 四、简单应用1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。练习：P13 1.2.3.4.5【第一讲.作业】1.关于x轴

5、的反射变换对应的二阶矩阵是 2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是 3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是 5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是 6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 7. 设，且A=B.则x 8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投

6、影变换对应的矩阵为 9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 10.已知点A（2，1），B（2，3），则向量在矩阵对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量在矩阵的作用下变为与向量平行的单位向量，则 12.已知，设，求，； 13.已知，若与的夹角为135o，求x.14.一种线性变换对应的矩阵为。若点A在该线性变换作用下的像为（5，5）,求电A的坐标；解释该线性变换的几何意义。15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为。求点A（1/5,3）在该变换作用下的像；圆上任意一点在该变换作用下的像。答案：1.2. 3. 4. 5.6.7.18. 9.（0，5）10.（2，8）11.，12.、13.2/3 14.(5,y) 15. ,