初三 数学 二次函数.doc

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1、第二章：二次函数考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1二次函数的定义：形如（a0，a，b，c为常数）的函数为二次函数2二次函数的图象及性质： （1）二次函数y=ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大 （2）二次函数的图象是一条抛物线顶点为（，），对称轴x=；当a0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x，y随x的增大而增大，x，y随x的增大而减小；当a0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x，y随x的增大而减小，x，y随x的增大而增大 （3）当a0时，当x=时，函

2、数有最小值；当a0时，当x x=时，函数有最大值3图象的平移：将二次函数y=ax2 (a0）的图象进行平移，可得到y=ax2c，y=a(xh)2，y=a(xh)2k的图象 将y=ax2的图象向上(c0）或向下(c 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2c的图象其顶点是（0,c）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同 将y=ax2的图象向左（h0）或向右(h0）平移|h|个单位，即可得到y=a(xh)2的图象其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同 将y=ax2的图象向左（h0)或向下(k0)平移|k|个单位，即可得到y=a(xh)2 +k的图象，其顶

3、点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同二、经典例题剖析： 【例题11】已知抛物线 的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x轴相交时的坐标是（ ） （A）（5，0） （B）（6，0） （C）（7，0） （D）（8，0）【例题12】函数y= x24的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（2，0） C.（0，4）D.（0，4） 【例题13】已知二次函数的图象如图 l22所示，则a、b、c满足（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0【例题14】.抛物线y=4(x+2)2+5的对称轴是_三、针对性训练： 1

4、已知直线y=x与二次函数y=ax2 2x1的图象的一个交点 M的横标为1，则a的值为（ ） A、2 B、1 C、3 D、42已知反比例函数y= 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y=2kx2 x+k2的图象大致为图123中的（ ） 7二次函数 y=2（x3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为（3,5） B开口向下，对称轴x3，顶点坐标为（3，5） C开口向上，对称轴x=3，顶点坐标为(3,5) D开口向上，对称轴x=3，顶点坐标为(3,5）9已知二次函数(a0）与一次函数y=kx+m(k0）的图象相交于点A（2，4）,B(8

5、，2)，如图127所示，能使y1y2成立的x取值范围是_10若二次函数的图象如图128，则ac_0（“”“”或“=”）11直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x的交点坐标为_考点2：二次函数的图象与系数的关系一、考点讲解：1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定抛物线开口向上，则a0；物线开口向下，则a02、b的符号出的符号由对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标0即0，则a、b为同号；若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标0，即0则a、b异号间“左同有异”3c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定若抛物线交y轴于正半，则c0，抛物线交y轴于负半

6、轴则c0；若抛物线过原点，则c=04的符号：的符号由抛物线与x轴的交点个数决定若抛物线与x轴只有一个交点，则=0；有两个交点，则0没有交点，则0 5、a+b+c与ab+c的符号：a+b+c是抛物线(a0）上的点(1，a+b+c）的纵坐标，ab+c是抛物线(a0）上的点（1，abc）的纵坐标根据点的位置，可确定它们的符号.二、经典例题剖析： 【例题21】已知二次函数 (a0）且a0，ab+c0，则一定有（ ） Ab24ac0 Bb24ac0 Cb24ac0 Db24ac0【例题22】二次函数的图象如图1210，则点（b，）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限三、针对性训练：

7、1已知函数的图象如图1211所示，给出下列关于系数a、b、c的不等式：a0，b0，c0，2ab 0，abc0其中正确的不等式的序号为_-3抛物线中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为_5抛物线如图1212 所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是_.11抛物线0）的顶点在x轴上方的条件是（ ） Ab24ac0 Bb24ac 0 Cb24ac0 D c 012 二次函数y=3x2；y= x2；y= x2的图象的开口大小）顺序应为（ ） A（1）（2）（3） B（1）（3）（2） C（2）（3）（1） D（2）（1）（3）13若二次函数，当x取x1，x2（x1，x2）时，

8、函数值相等，则当x取（x1+x2）时，函数值为（ ）Aa+c Bac C c Dc考点3：二次函数解析式求法一、考点讲解：1二次函数的三种表示方法： 表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系； 图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势； 表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系2二次函数表达式的求法： 若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得； 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h； 若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）二、经典例

9、题剖析：【例题31】如图1216所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M，此时。(1)设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；(2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？(3)以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)。【例题32】目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图1218），在正常情况下

10、，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为85米。在所给的直角坐标系中（如图1219），假设抛物线的表达式为，请你根据上述数据求出、的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，、的值保留两个有效数字）。七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4时，位于水面上的桥拱跨度有多大？（结果保留整数）【例题33】图1222所示，梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE上DPJE与直线AB交于点E（1）试确定CP=3时，点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量 x的

11、函数关系式；（3）若在线段BC上能找到不同的两点P1、P2使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时。的取值范围 三、针对性训练： 1二次函数的图象经过点（3，2），（2，7），（0，1），求其解析式2已知抛物线的对称轴为直线x=2，且经过点（l，1），（4，0）两点求抛物线的解析式5已知一个二次函数的图象如图1225所示，请你求出这个二次函数的表达式，并求出顶点坐标和对称轴方程6已知抛物线过三点（1，1）、（0，2）、（1，l） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？9已知：如图1227所示

12、，直线y=x+3与x 轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=x2bxc经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC上，且SPAC=SPAB，求点P的坐标 考点4：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解一、考点讲解：1二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况 （2）二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc=0的根 （3）当二次函数的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不

13、相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根；当二次函数yax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根二、经典例题剖析： 【例题41】关于二次函数 的图象有下列命题：当c=0时，函数的图象经过原点；当c0且函数的图象开口向下时，axbxc=0必有两个不等实根；函数图象最高点的纵坐标是；当b=0时，函数的图象关于y轴对称其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4【例题42】已知二次函数y=x26x+8，求： （1）抛物线与x轴J轴相交的交 点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问

14、题： 方程x2 6x8=0的解是什么？ x取什么值时，函数值大于0？ x取什么值时，函数值小于0？三、针对性训练： 1已知函数y=kx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） 2直线y=3x3与抛物线y=x2 x+1的交点的个数是（ ） A0 B1 C2 D不能确定3函数的图象如图l230，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根B有两个异号实数根 C有两个相等实数根 D无实数根4二次函数的图象如图l231所示，则下列结论成立的是（ ） Aa0，bc0，0 B.a0，bc0，0 Ca0，bc0，0 D.a0，bc0，05函数的图象如图 l232所示，则下列结论错误的

15、是（ ） Aa0 Bb24ac0 C、的两根之和为负 D、的两根之积为正6不论m为何实数，抛物线y=x2mxm2（ ） A在x轴上方 B与x轴只有一个交点 C与x轴有两个交点 D在x轴下方考点5：用二次函数解决实际问题一、考点讲解：1二次函数的应用： （1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值2解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有

16、关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等二、经典例题剖析： 【例题51】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： 若日销售量y是销售价x的一次函数； （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【例题52】某工厂现有 80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机 器，每台机器平均每天将少生产4件产品 （1）如果增加x台机器，每天的

17、生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；。 （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 三、针对性训练： 4如图1238所示是一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离路面AA1的距离为6米，隧道的宽AA1为16米 求隧道拱抛物线 BCB；的函数解析式； 现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离为7米，它能否安全通过这个隧道？说明理由6某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产X只玩具熊猫的成本为R（(元)，售价每只为P（元）且R，P与X的关系式为 R=5003.5x，P=170 2x 当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； 当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？