《正弦定理和余弦定理》学案.doc

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1、正弦定理和余弦定理适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知 识 点使用正弦定理要注意的问题解的个数问题已知两边和其中一边的对角问题已知两角一边问题三角形的面积公式使用余弦定理要注意的问题已知两边与夹角问题已知三边问题正、余弦定理的综合运用学习目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.学习重点1、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用；2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法学习难点正、余弦定理的灵活应用学习过程复习预习回忆在三角函数中学过的公式A. 三角函数诱导公式： B. 三角函数的两角和或

2、差公式： C. 三角函数的二倍角公式： D. 三角函数的辅助角公式： 知识讲解考点1 正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos A ;b2a2c22accos_B ;c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_Csin A，sin B，sin C(其中R是ABC外接圆半径) abcsin_Asin_Bsin_Casin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A cos B cos C解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三

3、边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角考点2 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabababab解的个数一解两解一解一解无解例题精析【例题1】【题干】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cos B，ABC的周长为5，求b的长 【解析】(1)由正弦定理，设k，则，所以，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又因为ABC，所以sin C2sin A.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理及cos B得b2

4、a2c22accos Ba24a24a24a2.所以b2a.又abc5，从而a1.因此b2.【例题2】【题干】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状【解析】2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，A60.(2)ABC180，BC18060120.由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.sin Bcos

5、B，即sin(B30)1.又0B120，30B30150，B3090，即B60.ABC60，ABC为正三角形【例题3】【题干】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.【解析】(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.【例题4】【题干】(2012江西高考)(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积【解析】(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，sin Bsin Csin Bcos B，(3分)整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，(5分)由于0B，CBabsin Asin B.(2)在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解