GRE数学—排列组合公式及例题讲解.docx

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1、GRE 数学排列组合公式及例题讲解排列 A-和顺序有关组合 C -不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分例如 把 5 本不同的书分给 3 个人,有几种分法. 排列把 5 本书分给 3 个人,有几种分法组合1排列及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的排列数，用符号 A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1).2组合及计算公式从 n 个

2、不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用 符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3其他排列与组合公式从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1,n2,.nk 这 n 个元素的全 排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!).k 类元素,每类的个数无限,从中取出

3、 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m).排列（Anm(n 为下标，m 为上标)）Anm=n（n-1）.（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个 n 分别为上标和下标） =n！；0！=1；An1（n 为下标 1 为上标）=n组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个 n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n 为下标 1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式 A 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行

4、排列。N-元素的总个数R 参与选择的元素个数！-阶乘 ，如9！9*8*7*6*5*4*3*2*1从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*（n-1)*(n-2).(n-r+1);因为从 n 到（n-r+1)个数为 n（n-r+1)r举例：Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1:123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的， 既属于“排列 A”计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997 之类的组合， 我们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位数 则应该有 9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种可能，最终共

5、有 9*8*7 个三位数。计算公式A（3，9)9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘积）Q2:有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三 国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2:213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码 球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合 C”计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重 复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1设有 3 名学生和 4 个课外小组（1）每名学生都只参加一 个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有

6、一名学生参加各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个， 而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组 至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法点评 由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法 原理进行计算例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不 排第四的不同排法共有多少种？解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一 个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： 符合题意的不同排法共有 9 种点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理

7、为把握不 同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计 数问题的一种数学模型例判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果（1）高三年级学生会有 11 人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共 10 人：从中选一名正组长和一名 副组长，共有多少种不同的选法？从中选 2 名参加省数学竞赛，有多 少种不同的选法？（3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：从中任取两个 数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以 得到多少个不同的积？（4）有 8 盆花：从中选出 2 盆分别给甲乙两人

8、每人一盆，有多 少种不同的选法？从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析 （1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是 不同的两封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人互握一次手，甲 与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题其 他类似分析（1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握手（次）（2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问题，共 有 种不同的选法（3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共有 种不同的积（4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题，共有 种 不同的选法例证明 证明左式右式 等式成立点评这是一个排列数等式的证明问题，

9、选用阶乘之商的形式，并 利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化例 5化简 解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性 质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化例 6解方程：（1） ；（2） 解 （1）原方程解得 （2）原方程可变为 ， ， 原方程可化为 即 ，解得第六章排列组合、二项式定理 一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问 题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的 性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识

10、结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为 处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.例 15 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所， 不同的报名方法共有多少种?解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而 每个学生都有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方 法总共有33333=35(种) (二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特， 它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查

11、排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例 2 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000 的 偶数共有( )A.60 个 B.48 个 C.36个 D.24 个23解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 A1 ；小于 50 000 的五位数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 A1 ;在首末 两位数排定后，中间 3 个位数的排法有 A3 ，得 A1 A3 A1 36(个)3332由此可知此题应选 C.例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每 格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填

12、法有多少 种?解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不 相同的填法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数字 1 填入第 3 方 格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种填法，因 此共有填法为33A1 =9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用 题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例 4从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲 型与乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有()A.140 种B.84 种C.7

13、0 种D.35种解：抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C1 C2种；甲45型 2 台乙型 1 台的取法有 C2 C1 种45根据加法原理可得总的取法有C22214C 5+C 4C 5=40+30=70(种 )可知此题应选 C.例 5甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式?8解：甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C3 种；5乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C1 种；4丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C2种

14、；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的2方式有 C2 种.根据乘法原理可得承包方式的种数有 C3 8C1 C2 C2 = 1=1680(种).542(四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中 它是常用的基础知识 ，从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题 目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空 题.例 6 在(x- )10 的展开式中，x6 的系数是( )10A.-27C6B.27C4C.-9C6101010D.9C4解设(x- )10 的展开式中第 +1 项含 x6，1

15、0x因 T+1=C10-(- )，10-=6,=4于是展开式中第 5 项含 x 6，第 5 项系数是 C4(- )4=9C41010故此题应选 D.例 7(x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)+(x-1)的展开式中的 x的系 数等于 解：此题可视为首项为 x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和，则其和为6在(x-1)6 中含 x3 的项是 C3 x3(-1)3=-20x3，因此展开式中 x2 的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例 8若(2x+ )4=a +a x+a x 2+a x3+a x4，则(a +a +a )2-(a +a )2 的值为0123402413(

16、)A.1B.-1C.0D.2解：A.例 92 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有()A.6 种B.12 种C.18种D.24 种解分医生的方法有 A2 2 种，分护士方法有 C2 =6 种，所以共有 622412 种不同的分配方法。应选 B.例 10从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其 中至少要 有甲型与乙型电视机各 1 台，则不同取法共有().A.140种B.84种C.70种D.35 种解：取出的 3 台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情 形.C2 +C2 C1 =56+104=70.45

17、4应选 C.例 11某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代表，至 少有 1 名女生当选的不同选法有()A.27 种B.48 种C.21 种D.24种解：分恰有 1 名女生和恰有 2 名女生代表两类：C1 C1 7+C2 =37+3=24，33应选 D.例 12由数学 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的 六位数，其中 个位数字小于十位数字的共有().A.210 个B.300 个 C.464 个D.600 个 解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有 A1 A 5 =600 个.55由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.有 60

18、0=300 个符合题设的六位数.应选 B.例 13以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有(). A.70 个B.64 个8C.58 个D.52 个 解：如图，正方体有 8 个顶点，任取 4 个的组合数为 C4 =70 个.其中共面四点分 3 类：构成侧面的有 6 组；构成垂直底面的对角面的有2 组；形如(ADB1C1 )的有 4 组.能形成四面体的有 70-6-2-4=58(组)应选 C.例 14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的12 条直线中，异面直线共有( ).A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解：设正六棱锥为 OABCDEF.6任取一侧棱 OA

19、(C1 )则 OA 与 BC、CD、DE、EF 均形成异面直线对.共有 C164=24 对异面直线.应选 B.例 15正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中三个点 为顶点的三 角形共 个(以数字作答).7解：7 点中任取 3 个则有 C3 =35 组.其中三点共线的有 3 组(正六边形有 3 条直径).三角形个数为 35-3=32 个.例 16设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 3 个元素 组成的子集数为 T，则 的值为 。解10 个元素的集合的全部子集数有：SC0+C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C10=2 10=102410101010101010

20、10101010其中，含 3 个元素的子集数有 T=C3=12010故 =例 17在 50 件产品 n 中有 4 件是次品，从中任意抽了 5 件 ，至少有3 件是次品的抽法共 种(用数字作答).解：“至少 3 件次品”即“有 3 件次品”或“有 4 件次品”.C3 C2+C4 C1=4186(种)446446例 18有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、 丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有().A.1260 种B.2025 种C.2520 种D.5040 种解：先从 10 人中选 2 个承担任务甲(C2 )10再从剩余 8 人中选 1 人承担任务

21、乙(C1 8)又从剩余 7 人中选 1 人承担任务乙(C1 7)有 C2C1 8C1 7=2520(种).10应选 C.例 19集合1，2，3子集总共有().A.7 个B.8 个C.6 个D.5 个解三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个 元素组成的子集数C123，由二个元素组成的子集数 C 3。3由 3 个元素组成的子集数 C3 。由加法原理可得集合子集的总个数是C1233+C 3+C 3+1=3+3+1+18故此题应选 B.例 20假设在 200 件产品中有 3 件是次品，现在从中任意抽取 5 件，其中至少有两件次品的抽法有().A.C2 C3种B.C2 C3+C3 C2319731973197C.C5-C5D.C5-C 1 C42001972003197解：5 件中恰有二件为次品的抽法为 C2 C3，31975 件中恰三件为次品的抽法为 C3 C2，3197至少有两件次品的抽法为 C2 C3+C3 C2.31973197应选 B.例 21两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学 生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是().A.C5 C3B.A1 C5 C3C.A5 A38828888