正弦定理余弦定理的应用.doc

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1、09 正弦定理与余弦定理的应用【知识再现】1在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30、60，则塔高为_ m解析：如右图所示，设塔高为h m.由题意及图可知：(200h)tan60，解得：h m. 选题意图：进一步理解俯角的概念；题中有直角，尽量解直角三角形2如右图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是 ，a，b ，aa，b， ，b解析：中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.中可由余弦定理确定AB.同类似选题意图：具备怎样的三个条件能确定三角形3如右图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上

2、停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5海里的C处则两艘轮船之间的距离为_海里解析：连结AC，则AC5，在ACD中，AD3，AC5，DAC45，由余弦定理得CD选题意图：了解方位角的含义；把多边形分割成三角形 5某观察站C在A城的南偏西20方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，则此人还需走_千米才能到达A城解析：如右图所示，设ADx，ACy.BAC204060，在ACD中，有xy2xycos6021，即xyxy441.

3、而在ABC中，(x20)y2(x20)ycos6031，即xyxy40x20y561.得y2x6，代入得x6x1350，解得x15(千米)，即此人还需走15千米才能到达A城选题意图：进一步理解方位角的含义；确定所求的长度在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要哪些量 【典型例题】例1 如图 我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知ACD为边长为a的正三角形，当目标出现于B处时，测得CDB45，BCD75，试求炮兵阵地距目标的距离AB解答：必修教材习题1.2的第10题APMNBC(第17题图)变式：如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工

4、厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)解法一：设AMN，在AMN中，因为MN2，所以AMsin(120) 在APM中，cosAMPcos(60) AP2AM2MP22 AMMPcosAMPsin2(120)422 sin(120) cos(60) sin2(60) sin(60) cos(60)41cos (2120) sin(2120)4sin(2120)cos (2120)sin(2150)，(0，120) 当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值12，即AP

5、取得最大值2APMNBCFE答：设计AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小 解法二：设三角形AMN的外接圆的圆心为C，半径为R，O为线段MN的中点，则由正弦定理可知，2R，又MCOMAN60，OM1，所以OC，根据运动是相对的，当M、N、P固定时，A在以C(定点)为圆心，半径为的圆上，所以A、C、P共线，即A在线段MN的中垂线上，亦即AMN为正三角形，即AMAN2时，PA取得最大值2答：设计AMAN2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小 例2 要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并且测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则A、B之间的距离为_解

6、析：ACD中，ACD120，CADADC30，ACCDkm在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，BC在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB()2()22cos755ABkm答：A、B之间的距离为km.变式：7.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角ABE，ADE(1) 该小组已经测得一组、的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值ABCED(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，最

7、大.解：（1）因为： ，则：，因为 所以 带入tan=1.24,tan=1.20得，所以H=124m（2）由题意知：，因为所以则=（）当且仅当时，即m时最大，因为，所以也取最大值所以，m时，取最大值例3 在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里在ABC中，由余弦

8、定理，得BC2AB2AC22ABACcosA(1)2222(1)2cos1206，BC海里又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120.在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD，BCD30，缉私船应沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟选题意图：测量角度问题首先应明确方位角的含义，根据题意和图形及方位角等概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要哪些量在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图

9、，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点变式1 如右图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析：由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使船没有触礁危险需要BMsin(90)n，所以与的关系满足mcoscosnsin()时船没有触礁危险答案：mcoscosnsin()【巩固练习】1. 在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰

10、角是60，C点的俯角为70则BAC 2.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)要测算出A、B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC100 m，B60，C45，则AB_m.3.如图，A、B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA80 m，CB40 m，ACB60，则A、B两地之间距离为 m.4.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30方向若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向处，求A、D两处的距离 5.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处

11、，两船相距10海里，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船的倍，问：甲船应向什么方向行驶才能追上乙船？ 6. 为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB15米，在A处看到着火点的仰角为60，ABC30，BAC105，求两支水枪的喷射距离至少是多少？ 7如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 参考答案1.如图，由已知BAD60，CAD70， BAC

12、60+70130.2.B=60，C=45， A=75.AB= 3. 解析：由余弦定理，得ABCA+CB2CACBcosC=80+402AB404.解：如图所示，在ABC中，CAB45，ABC=90+30=120，ACB1804512015，AB300.515(n mile)则由正弦定理，得 即又sin 15 sin 120 AC 15(n mile) 在ACD中，AD45，ACD是等腰直角三角形，AD AC15(3+ )(n mile)， A、D两处的距离为15(3+ ) n mile. 5.解 如图，设乙船行驶了x海里，则甲船行驶了 海里，两船在C处相遇 在ABC中，ABC120， AB10

13、，BCx，AC 由余弦定理可知 100x20xcos 120， 即x5x500，x10或x5(舍去)，ABC是顶角为120的等腰三角形，BAC=30.故甲船应向北偏东30方向前进才能追上乙船 6解：在ABC中，可知ACB45，由正弦定理得：，解得AC15米又CAD60，AD30，CD15，sin 105sin(4560).由正弦定理得：，解得BC米由勾股定理可得BD15米，综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为30米，15米7.解：由题意知AB5(3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)答：救援船到达D点需要1小时