矩形、正方形能力提升专题训练.doc

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1、矩形、正方形能力提升专题训练1.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）A8 B8 C2 D102. 如图1，四边形ABCD是矩形，P是BC边上的一点，连接PA、PD（1）求证：PA2+PC2=PB2+PD2（2）如图2，当点A在矩形ABCD的内部时，连接PA、PB、PC、PD上面的结论是否还成立？说明理由（3）当点A在矩形ABCD的外部时，连接PA、PB、PC、PD上面的结论是否还成立？（不必说明理由）（1）证明：在RtABP中，由勾股定理，得PA2-PB2=AB2，同理可得PD2-PC2=CD2，由矩形的性质可得AB=CD，PA

2、2-PB2=PD2-PC2，PA2+PC2=PB2+PD2（2）成立过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，则四边形ABFE和CDEF为矩形，AE=BF，DE=CF，由勾股定理得：则AP2=AE2+PE2，PC2=PF2+CF2，BP2=BF2+PF2，PD2=DE2+PE2，PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2，PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2，PA2+PC2=PB2+PD2（3）成立如图，由勾股定理可证PA2+PC2=PB2+PD2已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位

3、置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论答：对图（2）的探究结论为_ 对图（3）的探究结论为_证明：如图（2）结论均是PA2PC2PB2PD2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P作MNAD于点M，交BC于点N，因为ADBC，MNAD，所以MNBC在RtAMP中，PA2PM2MA2在RtBNP中，PB2PN2BN2在RtDMP中，PD2DM2PM2在RtCNP中，PC2PN2NC2 所以PA2PC2PM2MA2PN2NC2 PB2PD2PM2DM2BN2PN2因为MNAD，MNNC，DCBC，所以四边形MNCD是矩形所以MDNC，同理AM

4、BN，所以PM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2PN2即PA2PC2PB2PD2ACBD3.（1）如图，P是矩形ABCD内一点，PA3，PD4，PC5，则PB 。（2）已知P为矩形ABCD外一点，PA=6，PD=2，PB=9，则PC= 。DCABP3.（1） 已知如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE = ED，P是对角线上任意一点，PFBE，PGAD，垂足分别为F、G。则PF + PG的长为_ _cm。(2)在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,若将矩形折叠,使点B与点D重合,则折痕EF的长为 .4.已知：如图所示，E、F分别是正方形的边BC、

5、DC上的点，且EAF45，求证：BEDFEF5.设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持EAF=450，APEF于点P（1） 求证：AP=AB：（2）若AB=5，求ECF的周长。6.已知：如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连结CG，求证：CGB是等腰三角形。7如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AFBE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BMDMCD求证：点F是CD边的中点；求证：MBC2ABEADCPQB8.如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQBP，PQ交CD于Q，若AP，CQ，则正方形

6、ABCD的面积为 .9.（1）如图1，AD是ABC边BC上的高求证：AB2-AC2=BD2-CD2；已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM2-CM2的值；（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值：解：（1）证明：AD是ABC边BC上的高，在RtABD及RtACD中，AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，AB2-BD2=AC2-CD2，即AB2-AC2=BD2-CD2BM2=BD2+DM2，CM2=CD2+DM2，BM2-CM2=BD2-CD2，又CD2=AC2-AD2BD2=AB2-AD2，BM2-CM2=AB2-AC2=82-

7、62=28（2）矩形ABCD内，作PEAB，PFBC，PMAD，分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5，；则PD2=AE2+MD2，又MD=FC，BF=PE，解之得PD=310.如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则APB= 135135：解：将APB绕B点顺时针旋转90并连接PE，将APB绕B点顺时针旋转90，得BEC，BECAPB，APB=BEC，BEP为等腰直角三角形，BEP=45，PB=2，PE=2，PC=3，CE=PA=1，PC2=PE2+CE2，PEC=90，APB=BEC=BEP+PEC=45+90=13511.如图，已知正

8、方形ABCD内一点P，且PA=1，PD=2，PC=3，将DCP绕点D顺时针旋转90，则APD为 度：解：连接PP，PA=1，PD=2，PC=3，将DCP绕点D顺时针旋转90，PD=PD，PPD=45，AP=PC=3，AP=1，PP=2，PPA=90，APD=90+45=135故答案为13512.如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）A2 B C3 D解：延长AB，DC，过P分作PEAE，PFDF，则CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP=2故选 A13如图，四边形ABCD是矩形，P是CD边上的一点，若AB=3，BC=1，则PA+PB的最小值为 ：解：作A关于DC的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离AB=3，BC=1，AD=BC=DE=1，AE=2在RtABE中，EB2=AB2+AE2，所以BE=故答案为