第二章 迭代法的一般原理.doc
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1、第二章 迭代法的一般原理非线性方程组无论从理论上还是计算方法上,都比线性方程组复杂得多。一般的非线性方程组很难求出解析解,往往只能求出其数值解,且往往只能借助于迭代法。本章我们将讨论迭代法的一般原理、迭代法的一般构造及迭代收敛速度的衡量标准。2-1 迭代法与不动点定理设,考虑方程(2-1)若存在,使,则称为方程(2-1) 的解。用迭代法求解(2-1) ,先将(2-1)化为等价的方程(2-2)这里映象。方程(2-2)的解(即)称为映象g的不动点。因此用迭代法解方程(2-1),就是求(2-2)中映象g的不动点。这样以及g是否存在不动点自然就是我们关心的问题。定理2-1 若为有界闭集上的严格非膨胀映
2、象,则g在内有唯一不动点。证 唯一性 设g在内至少有两个不动点,则因,所以由上式推得。唯一性得证。记,由g及泛数的连续性可知连续。因为有界闭集,故j在上有最小值。设为最小点,即则为g的不动点。因为若不然,则有,再由g严格非膨胀,可得这与为j的最小点相矛盾,故为g的不动点。注 定理中的有界闭性、g的压缩性和g映入自身,此3个条件缺一不可。例如,在上严格非膨胀,但它在中却没有不动点。下面我们介绍在应用上非常广泛的不动点定理。定理2-2 (Brouwer不动点定理) 设在有解闭凸集上连续,且,则g在至少有一个不动点。本定理在一维情形下叙述为: 则f在中至少有一个不动点。几何解释见图2-1。xybaa
3、b图2-1 一维Brouwer定理2-2 迭代格式的构造前一节我们谈到,用迭代法求解方程(2-1),是先将这个方程化为等价的方程(2-2),然后求映象g的不动点,通常(也是最简单的情形)构造如下迭代序列:,(2-3)我们希望这个迭代序列收敛到g的不动点,亦即方程的解。如果g是压缩的,可望迭代序列收敛。图2-2展示了一维迭代收敛的一种情形。xx0x2x1yy = g(x)图2-2 迭代序列收敛对于(2-3)形式的迭代形式,g可以有各种表示方式。g可能只依赖于f和。如果g不依赖于迭代步k只依赖于,则称迭代(2-3)为单步定常迭代。如果迭代还依赖于迭代步k,则迭代形式可表示为,(2-4)并称之为单步
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