高中数学圆与方程知识点.doc

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1、高中数学圆与方程知识点分析1. 圆的方程：（1）标准方程：（圆心为A(a,b),半径为r） （2）圆的一般方程：（） 圆心（-，-）半径2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离与在大小关系判断3. 直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，dr为相交，d0为相交，0为相交，0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系题型一 求圆的方程例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。变式1求过三点A（0，0），B（1，1），C（4

2、，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 解：设所求的圆的方程为：（也可设圆的标准方程求）在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组.即解此方程组，可得：所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.变式2（01年全国卷.文）过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是（ C ） 变式3.求圆心在直线上的圆C与y轴交于两点A(0,-4), B(0,-2)圆的方程。 解：圆心在线段AB的垂直平分线y =-3上，代入直线2x-y-7=0 得x=2变式4求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长等

3、于的圆的方程.变式5求圆关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程.题型二 求轨迹方程与切线方程例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程 变式1.已知点P（10，0），Q为圆上一点动点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程。解：设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).因为M是PQ的中点,所以 (*)又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x02+y02=16.将(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.变式2.由动点P向引两条切线PA、PB,切点分别为A、B, ,求动点P的轨

4、迹方程. 解：设P(x,y)因为,所以 又因为，所以，即化简得故所求的轨迹方程为例2. 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.解:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M不在坐标轴上时,由OMMP得kOMkMP=-1,即=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当点M在坐标轴上时,P与M重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.变式：从点P(4,5)向圆(x2)2y2=4引切线,求切线方程.解:把点P(4,5)代入(x2)2y2=4,得(42)252=294,所以点P在圆(x2)2y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y5=k(x

5、4),即kxy54k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即=2,k=.所以切线方程为21x20y16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4.题型三 直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系例1.(2006江苏高考)圆(x-1)2+(y+)2=1的切线方程中有一个是( C )A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0变式:(2006上海高考)已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P,则点P到直线x-y-1=0的距离是_.答案：变式2：例2.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2

6、+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距d=5.因为d=r1+r2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,两圆的圆心距d=.因为|r1-r2|dr1+r2,所以两圆相交.变式1 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组-,得

7、3x-4y+6=0.因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C1到直线的距离为d=.所以AB=2,即两圆的公共弦长为.题型四 求关于弦长问题例4.已知直线l:y=2x2,圆C:x2y22x4y1=0,请判断直线l与圆C的位置关系,若相交,则求直线l被圆C所截的线段长.解法一：由方程组解得即直线l与圆C的交点坐标为(,)和(1,4),则截得线段长为.解法二：由方程组(略)消去y,得5x22x3=0,设直线与圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点为(-,-),所以得(x1-x2)2=,则所截线

8、段长为|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=.解法三：圆心C为(1,2),半径r=2,设交点为A、B,圆心C到直线l之距d=,所以.则所截线段长为|AB|=.变式1： 已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为,求直线l的方程.解：将圆的方程写成标准形式有x2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5.因为直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4,所以弦心距为=,圆心到直线的距离为,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为,因此d=,

9、两边平方整理得2k2-3k-2=0,解得k=,k=2.所以所求的直线l的方程为y+3=(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.变式2：题型五.求距离最大最小值例1.已知点P(x,y)是圆上的任一点，求x2y2最小值与最大值。解：依题意，圆心为（1，2），半径r=3. 设圆心（1，2）到原点距离为d=, x2y2最小值为(d-r)2 = 4, 最大值为(d+r)2=64变式1：求圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.解:圆方程化为(x+2)2+(y-1)2=1,圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离为d=2,所以所求的最近距离为2-1,最远距离为2+1.