二面角的求法公开课0108-教学内容.ppt

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1、232666 34 地轴赤道平面地球轨道面(黄道平面)南极北极 第一页，共16页。从一条直线出发(chf)的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义二面角的定义(dngy):(dngy):一一 复复 习习(fx):2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角CAB E1、定义、定义第二页，共16页。二面角的平面角二面角的平面角:ABP l二面角的平面角必须二面角的平面角必须(bx)满足：满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二

2、面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围(fnwi):0180 二面角的大小二面角的大小(dxio)用它的平面角的大小用它的平面角的大小(dxio)来度量来度量 以二面角的棱上任意一点为端点以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射在两个面内分别作垂直于棱的两条射线线,这两条射线所成的角叫做二面角的这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角。A1B1 P1 注意注意:(与顶点位置无关与顶点位置无关)APB=A1P1B1法一：依据定义找（作）出二面角的平面角，法一：依据定义找（作）

3、出二面角的平面角，证明此角是所求角，计算证明此角是所求角，计算第三页，共16页。法一：依据法一：依据(yj)定义找（作）出二面角的平面角，定义找（作）出二面角的平面角，证明此角是所求角，计算证明此角是所求角，计算二面角的求法二面角的求法:aOABABOa第四页，共16页。求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量(xingling)的夹角，然后根据二面角与其大小相等或的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。互补求出二面角的大小。mn法二：平面法二：平面(pngmin)法向量法向量法法:mn第五页，共16页。法三：射影法三：射影(shyng

4、)面积法面积法:如图所示，如图所示，AD 平面平面M，设设 AHD=是二面角是二面角A-BC-D的平面角，的平面角，由由cos =AD/AH可得，可得，ABC与它在过其与它在过其底边底边BC的平面的平面M上的射影上的射影 DBC以及以及(yj)两者所成的二面角两者所成的二面角之间的关系：之间的关系：ABCDHM第六页，共16页。二.巩固(gngg)应用第七页，共16页。二.巩固(gngg)应用第八页，共16页。第九页，共16页。三.课堂(ktng)小结求二面角的方法(fngf)：第一，依据(yj)二面角平面角的定义找(作)角、求证、计算；第二，法向量法：求二面角转化为求两个面法向量所成角的余弦

5、值；第三，射影面积法 ，不需要作出角，但是有时候计算繁琐aOABABOa第十页，共16页。四.布置(bzh)作业第十一页，共16页。四.布置(bzh)作业第十二页，共16页。第十三页，共16页。练习练习(linx)1:正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E为棱为棱AA1的中点，求平面的中点，求平面EB1C和平面和平面ABCD所成的二面角。所成的二面角。ABCDA1B1C1D1E第十四页，共16页。几点说明几点说明(shumng)：定义定义(dngy)法是选择一个平面内的一点（一般为这个面法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂的一个顶

6、点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。是我们首选的方法。三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以(suy)我们常我们常用此法。用此法。垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点垂面法需

7、在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用不好选择，所以此法一般不用。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。第十五页，共16页。一、几何一、几何(j h)法：法：1、定义、定义(dngy)法法:以二面角的棱

8、以二面角的棱a a上任意一点上任意一点O O为端点，在两个面内分别作为端点，在两个面内分别作垂直于垂直于a a 的两条射线的两条射线(shxin)OA,OB(shxin)OA,OB，则，则AOBAOB就是此二就是此二面角的平面角。面角的平面角。aOAB在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为，垂足为B B，再过点，再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线BOBO，垂足，垂足 为为O O，连结，连结AOAO，则，则AOBAOB就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。3、垂面法、垂面法:过二面角内一点过二面角内一点A作作AB 于于B，作，作AC 于于C，面，面ABC交棱交棱a于点于点O，则，则BOC就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法、三垂线法:ABOa第十六页，共16页。