数理金融学ROSS套利定价模型.ppt

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1、数理金融学ROSS套利定价模型 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望4.1 概述概述资本资产定价模型提示了在资本市场均衡资本资产定价模型提示了在资本市场均衡状态下证券期望收益率与风险之间的关系，状态下证券期望收益率与风险之间的关系，简洁、明确地回答了证券风险的合理度量简洁、明确地回答了证券风险的合理度量问题以及证券如何在资本市场上被定价。问题以及证券如何在资本市场上被定价。资本资产定价模型也存在一些缺陷。其中资本资产定价模型也存在一些缺陷。其中最主要的一

2、点是缺乏经验验证的有力支持。最主要的一点是缺乏经验验证的有力支持。CAPM与与APT建立在均值建立在均值-方差分析基础上的方差分析基础上的CAPM是一种是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！义，因为假设条件太多、太严格！除除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由理论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在在1976年建立的套利定价理论年建立的套利定价理论（Arbitrage pricing theory，APT），从另一），从另一个角度探讨了资产的定价问题。个角度探讨了资产的定价问题。市场均衡条件下的

3、最优投资组合理论市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM无套利假定下因子模型无套利假定下因子模型=APTCAPM是建立在一系列假设之上的非常理是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值建立均值-方差模型时所作的假方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是设。这其中最关键的假设是同质性假设同质性假设。相反，相反，APT所作的假设少得多。所作的假设少得多。APT的基的基本假设之一是：本假设之一是：个体是非满足个体是非满足，而不需要，而不需要风险规避的假设！风险规避的假设！每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前每个人都会利

4、用套利机会：在不增加风险的前提下提高回报率。提下提高回报率。只要一个人套利，市场就会出现均衡！只要一个人套利，市场就会出现均衡！套利套利是指利用同一资产在不同市场上或不同资产是指利用同一资产在不同市场上或不同资产在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖而在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖而获取利润的行为。获取利润的行为。无风险套利无风险套利 只要投资者发现这种机会，他就会力图通过在两只要投资者发现这种机会，他就会力图通过在两个市场上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨个市场上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的同时，额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的

5、同时，两个市场上对同种证券的供需会发生变化，当何两个市场上对同种证券的供需会发生变化，当何等的上升与下降调整到使套利机会不再存在时，等的上升与下降调整到使套利机会不再存在时，套利者就会结束其套利行为。套利者就会结束其套利行为。价格同一律价格同一律 当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利，定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利，因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均衡状态。相应

6、地，这些证券的价格就为非均衡价衡状态。相应地，这些证券的价格就为非均衡价格。在套利者不断套利的过程中，这些证券的价格。在套利者不断套利的过程中，这些证券的价格格 会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的定价就处于合理水平。当市场经过一系列调整达定价就处于合理水平。当市场经过一系列调整达到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平，到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平，在这种状态下，不存

7、在任何套利机会。这就是在这种状态下，不存在任何套利机会。这就是套套利与均衡的关系利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本，它是资本市场理论的一个基本论点。论点。当市场不存在任何无风险套利机会或者说市场处当市场不存在任何无风险套利机会或者说市场处于均衡状态时，各种证券及证券组合应如何合理于均衡状态时，各种证券及证券组合应如何合理定价？它们的期望收益率与风险之间存在什么关定价？它们的期望收益率与风险之间存在什么关系，这些问题正是系，这些问题正是套利定价理论套利定价理论所要回答的。所要回答的。4.2 因子模型因子模型（Factor model）定义定义：因子模型是一种假设证券的回报率因子模型是一种

8、假设证券的回报率只与不同的因子波动（只与不同的因子波动（相对数相对数）或者指标）或者指标的运动有关的经济模型。的运动有关的经济模型。因子模型是因子模型是APT的基础，其目的是找出这的基础，其目的是找出这些因素并确认证券收益率对这些因素变动些因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。的敏感度。依据因子的数量，可以分为单因子模型和依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。多因子模型。4.2.1 单因子模型单因子模型引子引子若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。宏观经济指数。假设假设：（：（1）证券的证券的回报率回报率仅仅取决于该仅仅取

9、决于该指数指数的变化的变化；（；（2）除此以外的因素是公司特有风）除此以外的因素是公司特有风险险残余风险残余风险则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率为因变量的单因子模型。券回报率为因变量的单因子模型。例如，例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的的预期增长率是影响证券回报率的主要因素主要因素。例例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中其中 =在给定的时间在给定的时间t，证券，证券i 的回报率的回报率 =在同一时间区间，市场因子在同一时间区间，市场因子m的相对数的相对数 =截距项截距项 =证券证券i对因

10、素对因素m的敏感度的敏感度 =随机误差项，随机误差项，因子模型回归因子模型回归年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.04%图中，横轴表示图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示的增长率，纵轴表示股票股票A的回报率。图上的每一点表示：在给的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票定的年份，股票A的回报率与的回报率与GDP增长率。增长率。通过线性回归，我们得到一条符合这些点通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为（极大似然估计）的直线为（极大似然估计）从从这这个个例例子子可可以以看看出出

11、，A在在任任何何一一期期的的回报率包含了三种成份：回报率包含了三种成份：1.在任何一期都相同的部分在任何一期都相同的部分a2.依依赖赖于于GDP的的预预期期增增长长率率，每每一一期期都都不不相相同的部分同的部分bIGDPt3.属于特定一期的特殊部分属于特定一期的特殊部分et。通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间一般形式：对时间t 的任何证券的任何证券i 有时间序列有时间序列其中：其中：ft是是t时期公共因子的预测值；时期公共因子的预测值；rit在时期在时期t证券证券i的回报；的回报；eit在时期在时期t证券证券i的特有回报的特有回

12、报ai零因子零因子bi证证券券i对对公公共共因因子子f的的敏敏感感度度(sensitivity),或因子载荷（或因子载荷（factor loading）（8.1）为简单计，只考虑在某个特定的时间的因为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标子模型，从而省掉角标t，从而（，从而（8.1）式变）式变为为并且假设并且假设（8.2）假设假设(1)：因子：因子f具体取什么值对随机项没具体取什么值对随机项没有影响，即因子有影响，即因子f与随机项是独立的，与随机项是独立的，这样这样保证了因子保证了因子f是回报率的唯一因素。是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什么？若不独立，结果是什么？假设假设

13、(2)：一种证券的随机项对其余任何证：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子之所以相关，是由于它们具有共同因子f所所致。致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。确，应该考虑增加因子或者其他措施。对于证券对于证券i，由（由（8.2）其回报率的均值（期望值）为）其回报率的均值（期望值）为 其回报率的方差其回报率的方差因子风险因子风险非因子风险非因子风险对于证券对于证券i和和j而言，它们之间的协方差为而言，它们之间的协方差为（8.3）单

14、因子模型的优点单因子模型的优点1.单因子模型能够大大简化我们在均值单因子模型能够大大简化我们在均值-方差方差分析中的估计量和计算量。假定分析人员需分析中的估计量和计算量。假定分析人员需要分析要分析n种股票，则种股票，则均值方差模型：均值方差模型：n个期望收益，个期望收益，n个方差，个方差，(n2-n)/2个协方差个协方差单因子模型：单因子模型：n个期望收益，个期望收益，n个个bi，n个残差个残差 ，一个因子，一个因子f方差方差 ，共，共3n1个估计值。个估计值。若若n50，前者为，前者为1325，后者为，后者为151。单因子模型具有两个重要的性质单因子模型具有两个重要的性质2.风险的分散化风险

15、的分散化分散化导致因子风险的平均化分散化导致因子风险的平均化分散化缩小非因子风险分散化缩小非因子风险假设残差有界，即假设残差有界，即 且组合且组合p高度分散化，即高度分散化，即wi充分小，则对于充分小，则对于资产资产i成立成立则有则有从而从而单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因子相关，这些因子如利率变化，因子相关，这些因子如利率变化，GDP增增长率等。长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前者对例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。不敏感，后者对利率不敏感

16、。单因素模型难以把握公司对不同的宏观经单因素模型难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。济因素的反应。4.2.2 多因子模型多因子模型两因子模型两因子模型若若只只考考虑虑一一期期的的模模型型，则则可可以以省省略略表表示示时时间的下标，从而两因子模型方程为间的下标，从而两因子模型方程为在两因子模型下，对于证券在两因子模型下，对于证券i，其回报率的均值，其回报率的均值 其回报率的方差其回报率的方差对于证券对于证券i和和j，其协方差为，其协方差为证券证券i对因子对因子1的敏感度的敏感度两两因因子子模模型型同同样样具具有有单单因因子子模模型型的的重重要优点：要优点：有有关关资资产产组组合合有有效效边边

17、界界的的估估计计和和计计算算量量大大大大减减少少（但但比比单单因因子子增增加加），若若要要计计算算均均方有效边界，需要方有效边界，需要n个个期期望望收收益益，n个个bi1，n个个bi2，n个个残残差差，2个个因因子子f方方差差，1个个因因子子间间的的协协方方差差，共共4n3个估计值。个估计值。分散化导致因子风险的平均化。分散化导致因子风险的平均化。分散化缩小非因子风险。分散化缩小非因子风险。多因子模型多因子模型对于对于n种证券相关的种证券相关的m（mn)个因子，证券个因子，证券i的的收益可以表示为收益可以表示为4.3 套利定价理论（套利定价理论（APT）定定义义：套套利利（Arbitrage）

18、是是同同时时持持有有一一种种或或者者多多种种资资产产的的多多头头或或空空头头，从从而而存存在在不不承承担担风风险险的的情情况况下下锁锁定定一一个个高高于于无无风风险险利利率的收益。率的收益。不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！两种套利方法：两种套利方法：当当前前时时刻刻净净支支出出为为0，将将来来获获得得正正收收益益（收收益益净净现值为正）现值为正）当当前前时时刻刻一一系系列列能能带带来来正正收收益益的的投投资资，将将来来的的净支出为零（支出的净现值为净支出为零（支出的净现值为0）。）。假设现在假设现在6个月即期年利率为个月即期年利率为10%（连续复（连续复利，下同

19、），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如果有人把今后果有人把今后6个月到个月到1年期的远期利率定年期的远期利率定为为11%，则有套利机会。，则有套利机会。套利过程是：套利过程是：1.交易者按交易者按10%的利率借入一笔的利率借入一笔6个月资金（假个月资金（假设设1000万元）万元）2.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按该交易者可以按11%的价格的价格6个月后从市场借个月后从市场借入资金入资金1051万元（等于万元（等于1000e0.100.5）。）。3.按按12%的利率贷出一笔的利率贷出一笔1年期的款项金年期的

20、款项金额为额为1000万元。万元。4.1年后收回年后收回1年期贷款，得本息年期贷款，得本息1127万元万元（等于（等于1000e0.121），并用），并用1110万元万元（等于（等于1051e0.110.5）偿还）偿还1年期的债务年期的债务后，交易者净赚后，交易者净赚17万元（万元（1127万元万元-1110万元）。万元）。套套利利不不仅仅仅仅局局限限于于同同一一种种资资产产（组组合合），对对于于整整个个资资本本市市场场，还还应应该该包包括括那那些些“相相似似”资产（组合）构成的近似套利机会。资产（组合）构成的近似套利机会。无无套套利利原原则则（Non-arbitrage principle)

21、：根根据据价价格格同同一一率率（the law of one price），两两种种具具有有相相同同风风险险的的资资产产（组组合合）不不能能以以不同的期望收益率出售。不同的期望收益率出售。套套利利行行为为将将导导致致一一个个价价格格调调整整过过程程，最最终终使使同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失！同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失！APT的的基基本本原原理理：由由无无套套利利原原则则，在在因因子子模模型型下下，具具有有相相同同因因子子敏敏感感性性的的资资产产（组组合）应提供相同的期望收益率。合）应提供相同的期望收益率。APT与与CAPM的比较的比较 APT对对资资产产的的评评价价不不是

22、是基基于于马马克克维维茨茨模模型型，而而是基于无套利原则和因子模型。是基于无套利原则和因子模型。不要求不要求“同质期望同质期望”假设，假设，并不要求人人一致并不要求人人一致行动。行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。套利机会。不要求投资者是风险规避的！不要求投资者是风险规避的！4.3.1 APT的基本假设的基本假设1.市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）；）；2.投资者是不知足的：只要有套利机会就投资者是不

23、知足的：只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。会不断套利，直到无利可图为止。因此，不必对投资者风险偏好作假设？因此，不必对投资者风险偏好作假设？3.资产的回报可以用因子表示资产的回报可以用因子表示APT假设证券回报可以用预期到的回报和假设证券回报可以用预期到的回报和未预期到的回报两个部分来解释，构成了未预期到的回报两个部分来解释，构成了一个特殊的因子模型一个特殊的因子模型未预期到的变化未预期到的变化预期的回报预期的回报f是证券是证券i的某个因子的变化，的某个因子的变化，基于有效市场理基于有效市场理论论，它是不可预测的。，它是不可预测的。要依靠要依靠“旧旧”的的f来获利是不可能的！来获利

24、是不可能的！若市场有效，则若市场有效，则t-1时刻的信息集预测时刻的信息集预测t时刻时刻的价格无效，的价格无效，这等价于这等价于t-1时刻信息无法预时刻信息无法预测测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向何倾向公平赌局（公平赌局（Fair game）从有效市场的理论来看，价格（回报）的从有效市场的理论来看，价格（回报）的不可预测，本质上是信息的不可预测，不可预测，本质上是信息的不可预测，也也就是因子的变化不可预测，就是因子的变化不可预测，这些信息既有这些信息既有宏观的、也有微观的。宏观的、也有微观的。充分分散投资组合的套利定价充分分散投资组合的套利定价假定

25、某证券组合假定某证券组合P由由n种证券构成，各证券的组合种证券构成，各证券的组合权数为权数为=其中其中代表投资组合代表投资组合P对共同因子对共同因子F的敏感度；的敏感度；为为P的非系统收益率。的非系统收益率。类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起=的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两部分。由（部分。由（4-2）式，有）式，有由（由（4-3）式有）式有其中证券组合其中证券组合P的非系统风险等于：的非系统风险等于：=当证券组合包含

26、的证券数越来越多当证券组合包含的证券数越来越多且各证券权重的平方且各证券权重的平方越来越小时越来越小时,上式中的非上式中的非系统风险将逐渐趋于零。系统风险将逐渐趋于零。得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率构造：构造：且且，下面再看下图，下面再看下图，收益率（%）P B 10 8oF我们要问充分分散组合我们要问充分分散组合P与充分分散组合与充分分散组合B能否能否同时并存？同时并存？答案不可能。因为无论共同因子处于答案不可能。因为无论共同因子处于何种水平，证券组合何种水平，证券组合P都优于证券组合都优于证券组合B，这就是，这就是产生了套利机会（无风险

27、）。产生了套利机会（无风险）。例如例如,投资者可卖空价值一百万元的投资者可卖空价值一百万元的B,再买入价值再买入价值一百万元的一百万元的P,构造出一个零投资组合构造出一个零投资组合,其收益额为其收益额为:1百万=2万元 注意注意,投资者没有使用自己的任何本金投资者没有使用自己的任何本金,就获得了就获得了2万元的收益万元的收益,并且由于实行等额卖空与买入并且由于实行等额卖空与买入,该零该零投资组合的投资组合的值就为零，因此系统风险全部消除值就为零，因此系统风险全部消除,同时同时,由于证券组合由于证券组合P与与B都是充分分散组合都是充分分散组合,非系统非系统风险也全部消除风险也全部消除,所以该零投

28、资组合实际上没有任何所以该零投资组合实际上没有任何风险风险,如果真正存在这种套利机会如果真正存在这种套利机会,那么投资者要想获那么投资者要想获取多少收益就能得到多少取多少收益就能得到多少,事实上事实上,这是不可能的这是不可能的,即即使这种机会出现使这种机会出现,也不会保持长久也不会保持长久,正如前面分析的那正如前面分析的那样样,套利者的套利行为将引起市场上对套利者的套利行为将引起市场上对P与与B的供需的供需相同的期望收益率相同的期望收益率,否则无风险套否则无风险套量发生变化量发生变化,从而最终消除此二证券组合在价格从而最终消除此二证券组合在价格上的差异上的差异.换句话说换句话说,在市场均衡状态

29、下在市场均衡状态下,相同的相同的证券组合必须有证券组合必须有利机会就将存在利机会就将存在.在市在市场场均衡状均衡状态态下，具有同下，具有同值值的充分分散的充分分散证证券券组合应具有相同的期望收益率组合应具有相同的期望收益率那么那么对对于不同于不同值值的充分分散的充分分散证证券券组组合，合，它们的它们的期望收益率与其期望收益率与其 值值之之间间存在存在 什么关系呢？什么关系呢？期望收益率（%）10 P 7 D 6 C 0.5 1 假假设设某充分分散某充分分散证证券券组组合合C的的系数系数为为0.5,期望收益期望收益=0.06,C位于由 率为率为 与与P的连接线的连接线的下方的下方,如果以二分之一

30、权重的如果以二分之一权重的 P及二分之一及二分之一权权重的重的 构成一新的投构成一新的投资组资组合合D,那么那么D的的值为值为:D的期望收益率等于的期望收益率等于:这样证这样证券券组组合合D与与C有相同的有相同的值值，但，但D的期望收益的期望收益 率高于率高于C，由前面的分析知，由前面的分析知，无风险套利机会将存在。无风险套利机会将存在。因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时，因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时，所有充分分散证券组合必所有充分分散证券组合必 位于始于位于始于的同一条的同一条直线上直线上,这条直线的方程为：这条直线的方程为：其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为其中斜

31、率代表了单位风险的报酬，有时也称它为 （4-6）风险因子的价格。风险因子的价格。上式就是关于充分分散上式就是关于充分分散证券组合证券组合的套利定的套利定 价模型价模型，它描述了在市场均衡状态下，它描述了在市场均衡状态下，任意充分分散证券组合收益率与风险任意充分分散证券组合收益率与风险的关系。的关系。4.3.2 构建套利组合（构建套利组合（Arbitrage portfolio）1.零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资（Self-financing）组合。）组合。2.无风险

32、：在因子模型条件下，因子波动导致风无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为敏感度为0。3.正收益：套利组合的正收益：套利组合的期望收益期望收益大于零。大于零。用数学表示就是用数学表示就是（4.1）（4.2）（4.3）4.3.3 套利定价模型套利定价模型假设投资者构造这样的资产组合：（假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风）无风险利率借入险利率借入1元钱；（元钱；（2）1元钱投资在两种资元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。产，这样构造一个自融资组合。若不存在套利机会，则该套利组合的收益为若不存在套利

33、机会，则该套利组合的收益为0根据条件（根据条件（2），），命题命题4.1：假设：假设n种资产其收益率种资产其收益率m个因子决定个因子决定（mn），即），即其中，其中，i=1,2,n，j=1,2,m，则，则严格证明严格证明证明：假设在资产证明：假设在资产i上投资上投资wi，构造零投资，构造零投资且无风险的组合，即且无风险的组合，即wi满足下列条件满足下列条件零投资零投资无风险无风险（4.5）（4.4）即，即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。线性无关。如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只资、无风险的组合必然是无收益的

34、，从而只要（要（4.4）和（）和（4.5）成立，则）成立，则蕴含蕴含(followed)这等价于，这等价于，只要只要对于任意的对于任意的W，必然必然有有又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm线性无关，则线性无关，则 必定落在由必定落在由1,b1,b2,bm张成的向量空间张成的向量空间Rm+1中，中，也就是存在一组不全为零的数也就是存在一组不全为零的数 使得使得证毕。证毕。理解：理解：必须落在必须落在Rm+1空间中，才能必然成立空间中，才能必然成立 1和和bj是该空间的一组基是该空间的一组基abC在向量空间中，如果向量在向量空间中，如果向量a、b正交于正交于c，蕴蕴含着含着d正交与正交

35、与c，则，则d必须落在由必须落在由a和和b张成的张成的二维空间上，二维空间上，d可以由可以由a、b线性表示！线性表示！0示意图：向量空间示意图：向量空间错误的证明错误的证明APT的意义的意义若bij0，则上式退化为无风险资产，则意味着若bij0，则期望回报 随着 的增加而增大，所以 是因子 的风险价格。自变量自变量结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，则证券之间不存在套利。则证券之间不存在套利。APT的意义的意义若给定等投资额的证券若给定等投资额的证券h多头和证券多头和证券l空头，则形成套空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券利组合

36、。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从而从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定价定价线线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只要证券偏离要证券偏离APT定价线就会有套利机会。定价线就会有套利机会。APT定价线定价线4.3.4 APT的另一种表达的另一种表达则称该组合则称该组合p为为纯因子组合纯因子组合(类似于类似于CAPM的市场组合的市场组合)在两因子模型下，我们有在两因子模型下，我们有即即第第1因子的风险价格因子的风险价格第第2因子的风险价格因子的风险价格这样可将这样可将APT的表达式可以改

37、写为的表达式可以改写为在多因子模型下在多因子模型下证券的期望收益率等于无风险收益率，加上证券的期望收益率等于无风险收益率，加上j个因个因素的风险补偿（风险价格素的风险补偿（风险价格风险因子载荷）；风险因子载荷）；资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其应得到的风险补偿越大。应得到的风险补偿越大。4.4 APT与与CAPM的比较的比较nAPT与与CAPM的一致性的一致性若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，则当合，则当APT与与CAPM均成立时有均成立时有所以说，从某种意义上讲，所以说，从某种意义上讲，

38、CAPM是是APT的一个特例。的一个特例。进一步分析还可以发现，上述一致性并不是偶然的个别进一步分析还可以发现，上述一致性并不是偶然的个别现象，现象，即使对于比较复杂的收益率产生过程即使对于比较复杂的收益率产生过程,由此推导的由此推导的 APT模型所描述的资本市场均衡关系与模型所描述的资本市场均衡关系与CAPM所描述的所描述的关系也是相通的。关系也是相通的。命题命题4.2：若纯因子组合不是市场组合，若纯因子组合不是市场组合，APT与与CAPM可能不一致。可能不一致。证明：只要证明存在一个反例证明：只要证明存在一个反例上式两边同除以上式两边同除以并且定义并且定义由于由于很小，不妨把它忽略，则有很

39、小，不妨把它忽略，则有如果如果APT 也成立，且满足也成立，且满足CAPM，则，则得到得到若因素若因素f与市场组合正相关，那么与市场组合正相关，那么也就是，如果也就是，如果CAPM成立，则必然要求上述条件成立，则必然要求上述条件成立，它构成了对成立，它构成了对APT中中 的约束。的约束。但是，如果但是，如果APT成立，不受成立，不受CAPM约束，即约束，即仅从仅从APT本身推断，必有本身推断，必有只有当只有当才成立才成立反之，如果反之，如果则对于证券则对于证券i的定价就会出现不同的定价就会出现不同即如果纯因子组合不是市场组合，即如果纯因子组合不是市场组合，APT与与CAPM可能不一致。可能不一

40、致。1.若纯因子组合不是市场组合，则若纯因子组合不是市场组合，则APT与与CAPM不一定一致，不一定一致，CAPM仅仅是仅仅是APT的的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，CAPM与与APT等价。等价。2.在在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解），但位（若无此，则其理论瓦解），但APT即即使在没有市场组合条件下仍成立。使在没有市场组合条件下仍成立。APT模型可以得到与模型可以得到与CAPM类似的期望回报类似的期望回报-b b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，直线关系，但并不要求组合一定是市场组合

41、，可以是任何风险分散良好的组合可以是任何风险分散良好的组合CAPM与与APT的区别的区别注意二者并注意二者并不一致不一致由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可满足满足APT。所以。所以APT的适用性更强！的适用性更强！3.CAPM属于单一时期模型，但属于单一时期模型，但APT并不受到单并不受到单一时期的限制。一时期的限制。4.模型的假定条件不同，模型的假定条件不同，APT的推导以无套利为的推导以无套利为核心，核心，CAPM则以均值方差模型为核心，隐则以均值方差模型为核心，隐

42、含投资者风险厌恶的假设，但含投资者风险厌恶的假设，但APT无此假设。无此假设。5.在在CAPM中，证券的风险只与市场组合的中，证券的风险只与市场组合的相关，相关，它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来自何处。自何处。APT承认有多种因素影响证券价格，承认有多种因素影响证券价格，从而扩大了资产定价的思考范围（从而扩大了资产定价的思考范围（CAPM认为认为资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险的来源提供了分析工具。的来源提供了分析工具。6.建立模型的出发点不同建立模型的出发点不同.APT考察的是当市场不存在无考察的

43、是当市场不存在无风险套利而达到均衡时风险套利而达到均衡时,资产如何均衡定价资产如何均衡定价,而而CAPM考察的是当所有投资者都以相似的方法投资考察的是当所有投资者都以相似的方法投资,市场最市场最终调节到均衡时终调节到均衡时,资产如何定价资产如何定价.7.描述形成均衡状态的机理不同描述形成均衡状态的机理不同.当市场面临证券定价不当市场面临证券定价不 合理而产生价格压力时合理而产生价格压力时,按照按照APT的思想的思想,即使是少数几即使是少数几个个 投资者的套利行为也会使市场尽快地重新恢复均衡投资者的套利行为也会使市场尽快地重新恢复均衡;而按而按CAPM的思想的思想,所有投资者都将改变其投资策略所

44、有投资者都将改变其投资策略,调调整整 他们选择的投资组合他们选择的投资组合,他们共同行为的结果才促使市场重他们共同行为的结果才促使市场重 新新回到均衡回到均衡 状态状态.8.定价范围及精度不同定价范围及精度不同CAPM是从它的假定条件经逻辑推理得到的是从它的假定条件经逻辑推理得到的,它提供了它提供了 关于所有证券及证券组合的期望收益率关于所有证券及证券组合的期望收益率-风险关系的风险关系的明确描述明确描述,只要模型条件满足只要模型条件满足,以此确定的任何证券或证券以此确定的任何证券或证券组合的均衡价格都是准确的组合的均衡价格都是准确的;而而APT是从不存在无风险套是从不存在无风险套利的角度推出

45、的利的角度推出的,由于市场中有可能存在少数证券定价由于市场中有可能存在少数证券定价 不合理而整个市场处于均衡之中不合理而整个市场处于均衡之中(证券数少到不足以产生证券数少到不足以产生无风险套利无风险套利),所以所以APT提供的均衡定价关系有可能对少数提供的均衡定价关系有可能对少数证券证券不成立不成立.换言之换言之,在满足在满足APT的条件的情况下的条件的情况下,用用APT的的证券证券或证券组合确定均衡价格或证券组合确定均衡价格,对少数证券的定价可能对少数证券的定价可能出现偏差出现偏差.4.5 APT对资产组合的指导意义对资产组合的指导意义APT对系统风险进行了细分，使得投资者能对系统风险进行了

46、细分，使得投资者能够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因而可以使得投资组合的选择更准确。例如，而可以使得投资组合的选择更准确。例如，基金可以选择最佳的因素敏感系数的组合。基金可以选择最佳的因素敏感系数的组合。APT的局限的局限：决定资产的价格可能存在多种：决定资产的价格可能存在多种因素，模型本身不能确定这些因素是什么和因素，模型本身不能确定这些因素是什么和因素的数量，实践中因素的选择常常具有经因素的数量，实践中因素的选择常常具有经验性和随意性。验性和随意性。APT的检验的检验检验检验APT的方法类似于检验的方法类似于检验CAPM所使用的方所使用的方法，即首

47、先根据各证券收益率的时间序列数据法，即首先根据各证券收益率的时间序列数据 估计出证券对各个共同因子的敏感度估计出证券对各个共同因子的敏感度 ，然后，然后利用证券平均收益率及估计的利用证券平均收益率及估计的 值数据对证券值数据对证券期望收益率期望收益率 关系式作出估计，从而对关系式作出估计，从而对APT所预言的证券均衡定价关系作出验证。所预言的证券均衡定价关系作出验证。由于由于APT只假定证券收益率受一些共同因子的只假定证券收益率受一些共同因子的影响，而这些共同因子分别代表什么，它们共影响，而这些共同因子分别代表什么，它们共有多少个，模型并没有明确定义，因此，对证有多少个，模型并没有明确定义，因

48、此，对证 券券 值值的估的估计过计过程中必然伴随着要确程中必然伴随着要确定共同因定共同因 子，为此就需找到一种方法，能同时确定共同因子子，为此就需找到一种方法，能同时确定共同因子 及各证券对共同因子的敏感度。这种方法就是统计及各证券对共同因子的敏感度。这种方法就是统计学中的因子分析法。（详见多元统计分析）学中的因子分析法。（详见多元统计分析）讨论：因子的选择讨论：因子的选择要利用要利用APT来定价，首先必须辨别市场中来定价，首先必须辨别市场中重要的因子的类别。重要的因子的类别。Pari和和Chen收集了收集了19751980年，年，2090家家公司股票月报酬回报率，以因子分析公司股票月报酬回报

49、率，以因子分析（Factor analysis）辨认重要因素，使模）辨认重要因素，使模型的残差相互独立，以符合型的残差相互独立，以符合APT的假设，的假设，他们归纳了三类因素。他们归纳了三类因素。1.总体经济活动总体经济活动 其强弱可以其强弱可以GDP的增减来代表。的增减来代表。2.能源因素能源因素 它影响消费者的消费能力，尤其是能源价它影响消费者的消费能力，尤其是能源价格的变动，对通货膨胀具有显著的影响格的变动，对通货膨胀具有显著的影响3.利率变动利率变动 它影响公司的资本成本，进而影响公司的它影响公司的资本成本，进而影响公司的发展。发展。例子例子使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。若无

50、风使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。若无风险利率为险利率为6，该股票价格是低估还是高估了？解释，该股票价格是低估还是高估了？解释原因。原因。股票当前的预期收益率股票当前的预期收益率E(r)=15(因为所有因素的因为所有因素的预期到的变动都定义为预期到的变动都定义为0)。基于风险的要求收益率。基于风险的要求收益率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该股票定价过高。股票定价过高。也就是也就是15的收益率是不满足无套利的，若无套利，的收益率是不满足无套利的，若无套利，则收益率应该是则收益率应该是16。根据根据APT，该股票的期望收益率为，该股票