概率论与数理统计A第3章.ppt

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第3章章第3章 二维随机变量及其分布w二二维随机变量及其分布函数维随机变量及其分布函数w边缘分布边缘分布w随机变量的相互独立性及条件分布随机变量的相互独立性及条件分布w多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布3.1二维分布函数及其基本性质w一般二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数w二维离散型随机变量及其概率函数二维离散型随机变量及其概率函数w二维连续型随机变量及其联合密度函数二维连续型随机变量及其联合密度函数二维随机变量及其分布函数w定义定义2.2.1 2.2.1 设设,为定义在同一个概率空间为定义在同一个概率空间(,F,P)(,F,P)上的两

2、个随机变量，则上的两个随机变量，则(,)(,)称为称为二维随机变量。二维随机变量。X XY Yx yX xY y ,二维联合分布函数区域演示图二维联合分布函数区域演示图二维联合分布函数区域演示图二维联合分布函数区域演示图:(x,y)(区域演示图见下页区域演示图见下页)联合分布函数性质联合分布函数性质(1)F(x,y)分别对分别对x和和y单调不降；单调不降；(2)F(x,y)对对每个变元右连续；每个变元右连续；X XY Yx1y1(x1,y1)x2y2(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)3.1.1二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布3.1.1 3.1.1 二维离散型二维离散

3、型r.vr.v.的联合分布的联合分布称p(i,j)=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,)为(X,Y)的联合概率联合概率分布分布.其中E=(xi,yj),i,j=1,2,.为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:X X X Xx1x2x iy1 y2 y j p(1,1)p(1,2)p(1,j)p(2,1)p(2,2)p(1,j)p(i,1)p(i,2)p(i,j)Y联合概率分布性质联合概率分布性质 p（i，j）0;i,j=1,2,p(i,j)=1;P(X,Y)D D =例例1 1 将一枚均匀的硬币抛掷将一枚均匀的硬币抛掷4 4次次,X,X表示正面向上次数表示正面向上次数,Y,Y表示表示

4、反面朝上次数反面朝上次数,求求(X,Y)(X,Y)的联合概率分布的联合概率分布.解解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)=1/4=6/16 P(X=3,Y=1)=1/4 P(X=4,Y=0)=0.54=1/16X01234Y 0 1 2 3 4联合概率分布表为联合概率分布表为:0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0P(X=1,Y=3)=0.

5、54=1/163.1.2 二维连续型随机变量及其联合密度函数 例例2 2 设设(X,Y)(X,Y)试求试求:(1):(1)常数常数 A;(2)P X2,Y1;A;(2)P X2,Y1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0当|x|1时,所以,同理,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 练习练习 设(X,Y)求(X,Y)的联合分布函数.11解解(1)x0,或y1时,F(x,y)=(5)x1,0y1时,F(x,y)=xyXY4xy综合即得:3.4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量随机变量随机变量与与相互独立相互独立 例例(X,Y)的联合概率分布为:X01Y

6、 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.(3)求F(0,2).解解:(1)X,Y的概率分布分别为:X 0 1P 0.7 0.3Y 0 1P 0.5 0.5(2)P(X=0,Y=0)=0.3P(X=0)P(Y=0)=0.35X,Y不独立.注意注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.=0.70.5(3)F(0,2)=P(X0,Y2)=0.3+0.4=0.7 例例 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21f1(x)=|x|1|x|10f2(

7、y)=解解 (1)同理,所以,X,Y独立.(2)X,Y不独立.3.4 多维随机变量的函数的分布多维随机变量的函数的分布 的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 在第二章中，我们讨论了一维在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论步讨论:当随机变量当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何的联合分布已知时，如何求出它们的函数求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布的分布?例例1 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求 Z=X+Y 的概率函数的概率函数.

8、一、一、的分布的分布 例例2 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.例例3 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.特别地特别地，当，当 X 和和 Y 独立，设独立，设(X,Y)关于关于 X,Y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度.卷积公式卷积公式例例4 若若 X 和和Y 独立独立,具有共同的概率密度

9、具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.例例5 若若X和和Y 是两个相互是两个相互独立独立的随机变量的随机变量,具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:若若X和和Y 独立独立,结论又如何呢结论又如何呢?此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论请自行写出结论.若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变

10、量的线性组合仍然服从正态分布分布.更一般地更一般地,可以证明可以证明:二、二、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为FX(x)和和 FY(y),我们来求我们来求 M=max(X,Y)及及 N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 M=max(X,Y)的分的分布函数为布函数为:=P(Xz)P(Yz)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数的分布函数即有即有 FM(z)=

11、FX(z)FY(z)即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)的分布函数的分布函数由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 N=min(X,Y)的分的分布函数为布函数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)设设 X1,Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们它们的分布函数分别为的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i=1,n)用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得

12、N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同相互独立且具有相同分布函数分布函数F(x)时，有时，有 例例6 设系统设系统 L 由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统 连接而成连接而成,连接的方式分别为连接的方式分别为(i)串联串联,(ii)并联并联,(iii)备用备用(当系统当系统 损坏时损坏时,系统系统 开始工作开始工作),如下如下图所示图所示.设设 的寿命分别为的寿命分别为 已知它们的已知它们的概率密度分别为概率密度分别为其中其中 且且 试分别就以上三种连接方试分别就以上三种连接方式写出式写出 的寿命的寿命 的概率密度的概率密度.XYXYXY 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相互独立且具有相同分布函数相同分布函数F(x)时时,常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值价值.三、课堂练习三、课堂练习设设 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,它们都服从它们都服从正正态分布态分布 .试验证随机变量试验证随机变量 具有概率密度具有概率密度