电磁场有限元法(2)教学教材.ppt

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1、电磁场有限元法(2)有限元的基本思路有限元的基本思路将将计计算算空空间间离离散散，划划分分为为有有限限个个小小单单元元，小小单单元元形式简单，数量有限；形式简单，数量有限；根根据据小小单单元元的的不不同同形形状状，定定义义单单元元内内的的基基函函数数，要求各基函数之间线性无关；要求各基函数之间线性无关；基基函函数数是是坐坐标标的的函函数数，每每个个基基函函数数在在单单元元内内与与各各自自特特定定的的点点或或线线相相关关。在在这这个个特特定定的的点点或或线线上上，定义在其上的基函数等于定义在其上的基函数等于1，其它基函数等于，其它基函数等于0；求求解解的的目目标标就就是是单单元元内内这这些些特特

2、定定的的点点或或线线上上的的电电场场值值。一一旦旦已已知知，则则单单元元内内任任一一点点的的电电场场值值都都可可以表示为单元内所有基函数的一个线性组合。以表示为单元内所有基函数的一个线性组合。2区域离散的概念区域离散的概念为了模拟复杂的区域形状，需要针对不同的问题采用不同的为了模拟复杂的区域形状，需要针对不同的问题采用不同的剖分单元形式，通常对于二维问题，我们采用三角形单元剖剖分单元形式，通常对于二维问题，我们采用三角形单元剖分；对于三维问题，采用的是四面体单元：分；对于三维问题，采用的是四面体单元：3有限元边值问题有限元边值问题典型的边值问题可用区域内的控制微分方程和包围区域典型的边值问题可

3、用区域内的控制微分方程和包围区域边界上的边界条件来定义边界上的边界条件来定义：L L=f f 其中其中L L为微分算符，为微分算符，f为激励或者强加函数，为激励或者强加函数，是未知量。是未知量。在电磁学中，控制微分方程包括简单的泊松方程以及复杂的标量波在电磁学中，控制微分方程包括简单的泊松方程以及复杂的标量波动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。动方程，甚至也有更复杂的矢量波动方程。边界条件有简单的狄利克雷边界条件有简单的狄利克雷(Dirichlet)条件和诺曼条件和诺曼(Neumann)条件，也有条件，也有复杂的阻抗和辐射边界条件，甚至还有更复杂的高阶条件。复杂的阻抗和辐射边界条件，甚至还有

4、更复杂的高阶条件。4求解边值问题两种经典方求解边值问题两种经典方里兹里兹(Ritz)变分方法变分方法 用变分表达式用变分表达式用变分表达式用变分表达式(也称为泛函也称为泛函也称为泛函也称为泛函)表示边值问题，泛表示边值问题，泛表示边值问题，泛表示边值问题，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可方程。通过求泛函相对于其变量的极小值，可得到近似解得到近似解得

5、到近似解得到近似解。伽辽金伽辽金(Galerkin)方法方法 残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权方法来得到方程的解。求加权方法来得到方程的解。求加权方法来得到方程的解。求加权方法来得到方程的解。5里兹里兹(Ritz)变分方法变分方法L L=f f 的解等于下式泛函对的解等于下式泛函对的解等于下式泛函对的解等于下式泛函对 的解的解的解的解泛函：泛函：泛函：泛函：v vj j是定义在全域上的展开函数是定义在全域上的展开函数是定义在全域上的展开函数是定义在全域上的展开函

6、数c cj j是待定的展开系数是待定的展开系数是待定的展开系数是待定的展开系数6里兹里兹(Ritz)变分方法变分方法将试探函数代入泛函：将试探函数代入泛函：令其对令其对ci的偏导数为零，从而得到线性代数方程组的偏导数为零，从而得到线性代数方程组7里兹里兹(Ritz)变分方法变分方法其中：其中：（应用算符（应用算符L L的自伴性质）的自伴性质）求解该方程组可以得到求解该方程组可以得到 L=f 的近似解的近似解8伽辽金伽辽金(Galerkin)方法方法假设假设假设假设 是是是是 L L=f f 的近似解，则得到非零的残数为：的近似解，则得到非零的残数为：的近似解，则得到非零的残数为：的近似解，则得

7、到非零的残数为：使用残数加权法求解微分方程使用残数加权法求解微分方程残数加权方法要求残数加权方法要求残数加权方法要求残数加权方法要求w wi i是所选择的加权函数是所选择的加权函数是所选择的加权函数是所选择的加权函数9伽辽金伽辽金(Galerkin)方法方法在在伽伽辽辽金金方方法法中中，加加权权函函数数与与近近似似解解展展开开中中所所用的函数相同，这样可得到最精确的解。用的函数相同，这样可得到最精确的解。假设近似解为：假设近似解为：则取加权函数选为：则取加权函数选为：因此：因此：得到：得到：在算符在算符L为自伴算符的情况下，伽辽金方法与里兹方法得到相同的方程组。为自伴算符的情况下，伽辽金方法与

8、里兹方法得到相同的方程组。10二维标量场有限元分析过程二维标量场有限元分析过程二维边值问题二维边值问题Dirichlet边界条件：边界条件：混合边界条件：混合边界条件：Neumann边界条件：边界条件：11空间离散空间离散1235641234这是二维区域离散的示意图。这是二维区域离散的示意图。黑色数字表示节点的全局编黑色数字表示节点的全局编码，码，红色数字红色数字表示三角形单表示三角形单元的全局编号。元的全局编号。组成每个三角形单元的节点在三角形内有一组局组成每个三角形单元的节点在三角形内有一组局部编码。显然，该局部编码与节点的全局编码有部编码。显然，该局部编码与节点的全局编码有一一对应关系。

9、一一对应关系。12选择插值基函数选择插值基函数使用使用线性三角形单元线性三角形单元，在第，在第e个单元内，个单元内，可以可以近似为：近似为：节点坐标带入：节点坐标带入：解得：解得：其中，其中，为插值基函数为插值基函数13插值基函数插值基函数其中：其中：14当观察点当观察点(x,y)位于第位于第i个结点的对边上时：个结点的对边上时：二维插值基函数的性质二维插值基函数的性质性质性质1：性质性质2：一一个个单单元元边边的的 值值与与其其相相对对结结点点处处的的 值值无无关关，而而由由该该边边两两端端点点处处的的 值值确确定定。从从而而保保证证了了单单元两侧解的连续性元两侧解的连续性结论：结论：15用

10、伽辽金法建立公式用伽辽金法建立公式其中：其中：16组合成方程组组合成方程组组合：其中：用矩阵表示为：17K矩阵的形成矩阵的形成1235641234图图中中箭箭头头所所指指为为相相应应三三角角形形单单元元的的起起始始结结点点1，并并且且规规定定结点结点1、2、3按顺时针排列。按顺时针排列。18列向量列向量b的形成的形成123564123419列向量列向量g的形成的形成1235641234其中：其中：20经过以上各步，得到包含所有结点经过以上各步，得到包含所有结点未知量未知量 的线性的线性方程组：方程组：求解方程组求解方程组其其中中，b来来自自于于强强加加源源 f，g来来自自于于边边界界条条件件，

11、矩矩阵阵K中中的的每每个个元元素素表表达达了了每每个个结结点点与与其其相相邻邻所所有有结结点点在在基基函函数数上上的的相相关关性性。求求解解该该线线性性方方程程组组即即得得到到所所有有结结点点上上的的标标量量值值，再再通通过过原原来来每每个个单单元元中中的的展展开开函函数数回回代代，便便可可以以得得到到该该单单元元中中的的任任意意一一点点上上所所需要的标量值。需要的标量值。21三维有限元分析三维有限元分析三维边值问题三维边值问题Dirichlet 条件：条件：混合条件：混合条件：Neumann边界条件：边界条件：22空间离散空间离散这是三维区域离散的示意图。这是三维区域离散的示意图。红色红色部

12、分为一个线性四面体部分为一个线性四面体单元，全部求解空间被有限单元，全部求解空间被有限个这样的四面体单元所离散。个这样的四面体单元所离散。组成每个四面体单元的结点在四面体内有一组局组成每个四面体单元的结点在四面体内有一组局部编码。显然，该局部编码与结点的全局编码有部编码。显然，该局部编码与结点的全局编码有一一对应关系。一一对应关系。123456723选择插值基函数选择插值基函数在第在第e个单元内，未知函数个单元内，未知函数 可以近似为：可以近似为：将结点坐标带入：将结点坐标带入：解得：解得：其中，其中，为插值基函数为插值基函数24节点插值基函数节点插值基函数其中：其中：25当观察点当观察点(x

13、,y,z)位于四面体单元的第位于四面体单元的第i个个结点的对面上时：结点的对面上时：三维插值基函数的性质三维插值基函数的性质性质性质1：性质性质2：一一个个单单元元面面上上的的 值值与与该该面面相相对对结结点点处处的的 值值无无关关，而而只只与与组组成成该该面面的的三三个个顶顶点点处处的的 值值有有关。因此保证了四面体单元两侧解的连续性。关。因此保证了四面体单元两侧解的连续性。结论：结论：26用伽辽金法建立公式用伽辽金法建立公式27组合成方程组组合成方程组组合：组合：其中：其中：用矩阵表示为：用矩阵表示为：28K矩阵的形成矩阵的形成通通过过局局部部坐坐标标与与全全局局坐坐标标的的对对应应关关系

14、系，将将在在每每个个四四面面体体单单元元中中形形成成的的局局部部Ke矩矩阵阵中中的的所所有有元元素素，依依次次填填入入全全局局的的K矩矩阵阵中中，最最终终完完成成K矩矩阵阵的的形形成。成。K矩矩阵阵的的行行与与列列是是节节点点全全局局编编码码的的排排序序，矩矩阵阵中中每每个个元元素素表表示示行行号号所所对对应应的的节节点点与与列列号号所所对对应应的的节节点点，在在基基函函数数上上的的相相关关性性。显显然然，一一个个节节点点所所对对应应的的基基函函数数只只与与相相邻邻节节点点对对应应的的基基函函数数相相关关。而而且且两两节节点点基基函函数数之之间间的的相相关关性性是是相相互互的的，因因此此最终形

15、成的最终形成的K矩阵是一个对称的稀疏阵。矩阵是一个对称的稀疏阵。29列向量列向量b的形成的形成通通过过局局部部坐坐标标与与全全局局坐坐标标的的对对应应关关系系，将将在在每每个个四四面面体体单单元元中中形形成成的的局局部部列列向向量量be中中的的所所有有元元素素，依次填入全局的列向量依次填入全局的列向量b 中。中。b 中中元元素素的的排排序序是是节节点点全全局局编编码码的的排排序序，如如果果一一个个节节点点处处没没有有加加源源，那那么么b 中中与与该该节节点点全全局局编编码码有相同编号的元素为有相同编号的元素为0。无源时。无源时b 为为0向量。向量。30列向量列向量g的形成的形成其中：其中：12

16、345列向量列向量 g 中第中第 i 个元素，是共用第个元素，是共用第 i 个节个节点的多个四面体，在该点与其它点在基函点的多个四面体，在该点与其它点在基函数相关性上的累加。数相关性上的累加。如果一个面被两个四面体共用，则该面同一点的、位于如果一个面被两个四面体共用，则该面同一点的、位于两个不同单元的基函数对两个不同单元的基函数对 gi 的贡献互相抵消。只有位于的贡献互相抵消。只有位于体积表面的那些节点才对体积表面的那些节点才对 gi 有贡献。有贡献。31时变电磁场中标量有限元的缺点时变电磁场中标量有限元的缺点无论是一维二维还是三维的情况，可以看出，所无论是一维二维还是三维的情况，可以看出，所

17、有的插值基函数都是基于单元节点定义的有的插值基函数都是基于单元节点定义的标量标量函函数。他们被通称为节点有限元。这种有限元常常数。他们被通称为节点有限元。这种有限元常常会伴有非物理的或所谓伪解的出现，而且很难处会伴有非物理的或所谓伪解的出现，而且很难处理材料界面以及导体和介质边缘及角的场的奇异理材料界面以及导体和介质边缘及角的场的奇异性。克服这种缺陷最好的办法是使用性。克服这种缺陷最好的办法是使用矢量矢量的基函的基函数直接表征待求的场。数直接表征待求的场。32齐次矢量波动方程边值问题：边值问题：在一个单元内：在一个单元内：33二维矢量有限元二维矢量有限元性质性质1：其中：其中：性质性质2：性质

18、性质3：34二维棱边基函数二维棱边基函数定义定义:表示沿第表示沿第i个棱个棱边边的切向的切向场场。单元内的矢量场可展开为：单元内的矢量场可展开为：35三角形单元中矢量基函数示意图三角形单元中矢量基函数示意图各矢量基函数只在相关的棱边上有投影分量，而在其余棱边上的投影分量为各矢量基函数只在相关的棱边上有投影分量，而在其余棱边上的投影分量为0 36单元内的矢量场表示为单元内的矢量场表示为6个个矢量插值基函数矢量插值基函数的线性组合：的线性组合：其中：其中：1234123456其中其中aie、bie、cie、die是与是与4个节点坐标相关的量，是已知量。个节点坐标相关的量，是已知量。Ve是单元的体积

19、。是单元的体积。三维矢量有限元三维矢量有限元37矢量基函数的性质Ni沿棱边li的切向分量只与该棱边的长度有关；Ni在其它棱边上只有法向分量，没有切向分量；38在一个单元内：在一个单元内：电场用矢量基函数代替：电场用矢量基函数代替：边值问题的求解39在单元内使用在单元内使用伽辽金法伽辽金法：简写为简写为：（其中 i、j=16）测试基函数基函数40第一矢量格林恒等式：41使用解析法求解，或使用高斯积分求解；在每个单元内分别形成6x6的S矩阵和T矩阵，线性叠加后得到每个单元的系数矩阵；42解析法求解S矩阵、T矩阵123412345643高斯积分法求解高斯积分法求解S矩阵、矩阵、T矩阵矩阵空间任一四面

20、体单元，到体坐标系下直角四面体单元的映射关系。1234nL1L2L3节点基函数的几何意义：节点基函数的几何意义：映射关系实际的点44高斯积分法求解S矩阵、T矩阵根据基函数的性质：取1234123456令45高斯积分法求解S矩阵、T矩阵高斯-勒朗德积分公式46小节至此，在每个单元内形成了两个6x6的系数矩阵；矩阵的行表示单元内测试基函数的顺序；矩阵的列表示单元内棱边基函数的顺序；矩阵的每个元素表示各相应棱边基函数之间的自作用或互作用关系；如果求得基函数的系数，则单元内任一点的电场均可通过插值求出。47由于：（1）矢量棱边基函数具有切向连续性；（2）Eie表示在第 i 条棱边上电场的切向分量；（3

21、）电场在分界面上具有切向连续性；所以，不同单元在相同棱边上的基函数的系数Eie必然相等。从单元矩阵到全局矩阵的转换从单元矩阵到全局矩阵的转换48全局矩阵的形成全局矩阵的形成通通过过局局部部编编码码与与全全局局编编码码的的对对应应关关系系，将将在在每每个个单单元元中中形形成成的的局局部部矩矩阵阵中中的的所所有有元元素素，依依次次填填入入全全局局矩矩阵阵中中，最最终终完成全局矩阵的形成。完成全局矩阵的形成。全全局局矩矩阵阵的的行行与与列列是是未未知知量量全全局局编编码码的的排排序序，矩矩阵阵中中每每个个元元素素表表示示行行号号所所对对应应的的未未知知量量与与列列号号所所对对应应的的未未知知量量，在

22、在基函数上的相关性。；基函数上的相关性。；显显然然，一一个个未未知知量量所所对对应应的的基基函函数数只只与与临临近近未未知知量量所所对对应应的的基基函函数数相相关关。而而且且两两个个基基函函数数之之间间的的相相关关性性是是相相互互的的，因因此此最最终终形形成成的的全全局局矩矩阵阵是是一一个个nxn的的对对称称稀稀疏疏阵阵，n表表示示未未知知量量的的个个数数，在在低低阶阶矢矢量量有有限限元元方方法法里里未未知知量量个个数数也也是棱边的个数。是棱边的个数。49全局矩阵的每个元素表示各单元中相应的棱边基函数在全局范围内的自作用或互作用关系的总和；形成全局矩阵的操作过程为：（1）将每个单元内基函数的局

23、部编码与与全局编码建立一一对应关系；（2）假如某个单元中第i个基函数对应于全局第u个基函数，第j个基函数对应于第v个基函数，则将单元矩阵中第i行第j列元素填充到全局矩阵的第u行第v列元素中，以此类推；（3）原始的全局矩阵为零矩阵，填充在相同元素位置的数据必须累加；（4）每形成一个单元的矩阵，就立即填充进全局矩阵，直至所有单元循环一遍。50根据齐次矢量波动方程变分后的表达式：最终可以形成“矩阵矢量乘”的方程组表达式：该方程组需要强加边界条件：场源信号和金属边界条件51强加边界条件强加边界条件52经过以上各步，得到包含所有棱边经过以上各步，得到包含所有棱边未知量未知量 的线性的线性方程组：方程组：

24、求解方程组求解方程组其其中中，K为为稀稀疏疏对对称称阵阵，E为为包包含含所所有有未未知知量量的的一一组组列列向向量量，b来来自自于于强强加加源源和和边边界界条条件件。求求解解该该线线性性方方程程组组，即即得得到到在在相相应应棱棱边边上上，空空间间电电场场的的切切向向分分量量。想想知知道道空空间间任任一一点点的的电电场场值值，可可以以先先找找到到该该点点所所在在的的单单元元，再再通通过过单单元元中中电电场场的的基基函函数数展展开开表达式，便可得到。表达式，便可得到。53基本有限元方法总结基本有限元方法总结选用合适的单元形式，对计算空间进行精确离散，常使用Ansys软件。一般拟合度越高，计算越精确

25、；在每个单元中，采用伽辽金法或里兹变分法将边值问题由微分形式转化为积分形式，以利于数值求解；选取合适的基函数，带入上一步所形成的积分方程，从而在每个单元建立一个线性方程组；将所有单元的线性方程组进行组合，建立全域的线性方程组；求解该线性方程组；54有限元法中的误差来源有限元法中的误差来源1.1.由于离散单元的近似性产生的误差由于离散单元的近似性产生的误差2.2.由于解的近似方法产生的误差由于解的近似方法产生的误差3.3.由数值计算产生的误差由数值计算产生的误差(即在计算机中数值的积分和舍入误差即在计算机中数值的积分和舍入误差)55有限元中开边界条件的处理有限元中开边界条件的处理整体的边界条件截

26、断：边界积分法整体的边界条件截断：边界积分法微分形式的局部吸收边界条件截断：基于微分形式的局部吸收边界条件截断：基于辐射边界条件的辐射边界条件的ABC吸收边界条件，采用吸收边界条件，采用外向波算子展开而引入的外向波算子展开而引入的Mur条件等条件等采用虚拟吸收体截断：高效的采用虚拟吸收体截断：高效的PML边界条边界条件件 56有限元中开边界条件的处理有限元中开边界条件的处理为为了了模模拟拟开开边边界界问问题题，在在有有限限元元技技术术中中引引入入了了PML的的概概念念来来处处理理截截断断边边界界，其其目目的的是是建建立立吸吸收收边边界界条条件件。PML的的概概念念是是基基于于Maxwell介介

27、质质对对电电磁磁波波的的无无反反射射吸吸收收现现象象，最最早早用用于于FDTD，在在有有限限元元中中相相当当于于建建立立了了多多层层对对角角各各向向异异性性的的有有耗介质。耗介质。57有限元中开边界条件的处理有限元中开边界条件的处理uPML介质参数的选取介质参数的选取其中：其中：58含PML的齐次矢量波动方程在自由空间中，为0，方程自动变为普通的齐次矢量波动方程。有了截断边界条件，有限元法可以用于求解各种开域问题：散射问题、辐射问题、微波传输线路问题等。59时域有限元法（TDFEM）频域算法：通过频域算法，可以得到某一频率的电磁波在整个计算空间所引起的各点的场强。|V|mm90GHz的TE波在

28、一端短路的波导中形成的驻波61时域算法：通过时域算法，可以得到空间任一点在整个时间段上的场强的变化。VT123微带中在3个观察点得到的时域波形62时域有限元法概述时域有限元法概述TDFEMTDFEM法法的的理理论论原原型型是是频频域域的的有有限限元元法法。最最初初应应用用点点匹匹配配法法,只只能能求求解解MaxwellMaxwell旋旋度度方方程程中中的的一一个个,可可能能造造成成较较大大的的误误差差。后后来来发发展展为为能能够够同同时时求求解解两两个个旋旋度度方方程程,并并且且采采用用合合适适的的差差分分方方式式提提高高了了运运算算结结果果的的精精度度。方方法法的的稳稳定定性性取取决决于于在

29、在场场量量更更新新过过程中涉及到的矩阵运算。程中涉及到的矩阵运算。63时域有限元法概述时域有限元法概述 目前，针对时域有限元的应用有两种思路：目前，针对时域有限元的应用有两种思路：1 1、从从MaxwellMaxwell方方程程的的两两个个旋旋度度方方程程出出发发，采采用用伽伽辽辽金金法法，得得到到TDFEMTDFEM的的“蛙蛙跳跳”格格式式，可可同同时时求求出出空空间间的的电电场场和和磁磁场场。（第第一一类类TDFEMTDFEM）2 2、从从电电场场的的矢矢量量波波动动方方程程出出发发，采采用用伽伽辽辽金金法法，得得到到波波动动方方程程的的差差分分格格式式，可可求求出出空空间间的电场。（第二

30、类的电场。（第二类TDFEMTDFEM）64第一类TDFEM令：有关系：65第一类TDFEM0123012345012366第一类TDFEM其中：伽辽金测试基函数67对时间的差分格式前向差分格式后向差分格式中心差分格式68第一类TDFEM得到时间域的FEM方法的“蛙跳”格式：69CN差分方法在差分方法在TDFEM的应用的应用CN差分方式对时间偏微分处理，得：差分方式对时间偏微分处理，得：70CN差分方法在差分方法在TDFEM的应用的应用令：令：通过求和运算，并采用全局结点编码，通过求和运算，并采用全局结点编码，可得到最终求解方程：可得到最终求解方程：71CN差分方法在差分方法在TDFEM的应用

31、的应用 最终得到的方程组，只有最终得到的方程组，只有E场需要求解稀疏矩场需要求解稀疏矩阵，阵，B场显式求解就可以得到。在整个求解过场显式求解就可以得到。在整个求解过程中即不涉及矩阵和矩阵的乘法也不涉及矩阵程中即不涉及矩阵和矩阵的乘法也不涉及矩阵逆的运算，大大的降低了计算复杂度；采用逆的运算，大大的降低了计算复杂度；采用CN差分方式后，时间步长不再受稳定性条件差分方式后，时间步长不再受稳定性条件的限制，节约了大量的计算时间。的限制，节约了大量的计算时间。72第二类TDFEM时域波动方程：频域波动方程：73第二类TDFEM伽辽金法第一矢量格林定理74第二类TDFEM其中：75Newmark 差分格

32、式第二类TDFEM76 时，Newmark 差分格式表示的时间步进过程是无条件稳定的。通常取 ，此时计算误差最小。第二类TDFEMNewmark 差分格式时，Newmark 差分法退化为中心差分法77时域有限元加源的方法采用在加源点或加源面，按时间步，逐步加源。78各向异性介质完全匹配层（PML）时域有限元PML波导体PML源.1 2n，。其中：7980各向异性介质完全匹配层（PML）带入频域波动方程：（由频域转化得到时域公式）其中：8182整理，得：83 利用关系式，将频域公式转化为时域公式得：使用使用Galerkin法法：84得：85 另外：86采用 差分方法 87The End88此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢