现代控制工程二.ppt

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1、首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 现代控制工程二 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 典 型 控 制 系 统 方 框 图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制 被 控 过 程 2.1 2.1 系统数学描述的两种基本方法系统数学描述的两种基本方法2首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 典典型型控控制制系系统统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。

2、被控过程被控过程具有若干输入端和输出端。数学描述方法数学描述方法：输输入入输输出出描描述述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。状状态态空空间间描描述述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。3首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 v输入：输入：外部对系统的作用（激励）；v 控制：控制：人为施加的激励；输入分控制与干扰。v输出：输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息。若输出是由传感器测量得到的，又称为观测观测。v状态、状态变量和状态向量状态、状态变量和状态向量：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态；其中的各

3、个变量称为状态变量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。v状态空间：状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。2.2 2.2 状态空间描述常用的基本概念状态空间描述常用的基本概念4首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 v状态轨线：状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹。v状态方程：状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项。一般情况下，状态方程既是非线

4、性的，又是时变的，可以表示为 v输出方程：输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为v动态方程：动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为状态空间表达式。一般形式为2.2 2.2 状态空间描述常用的基本概念状态空间描述常用的基本概念5首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 或离散形式 9)线性系统：线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方程，输出方程是向量代数方程。线性连续时间系统动态方程的一般形式为10)线性定常系统：线性定常系统：线性系统的A，B，C，

5、D或G，H，C，D中的各元素全部是常数。即 或离散形式 若有6首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 分别写出状态矩阵状态矩阵 A、控制矩阵、控制矩阵 B、输出矩阵、输出矩阵 C、前馈矩阵、前馈矩阵 D:已知：为书写方便，常把连续系统和离散系统分别简记为S(A,B,C,D)。11)11)线性系统的结构图线性系统的结构图 ：线性系统的动态方程常用结构图表示。图中，I为()单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。7首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 v讨论：1、状态变量的独立性。2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不是唯一的。但是

6、，用独立变量所描述的系统的维数应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。例例1 11 1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。x3x3解解 并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图8-5（a），不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有8首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该

7、电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。对图（b）x1=x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量如（x2，x3）作为状态变量。9首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.3状态空间表达式一般形式状态空间表达式一般形式一一.示例示例 1.弹簧质量单自由度系统弹簧质量单自由度系统 则有：选取 作为状态变量（状态方程）（状态方程）（输出方程）（输出方程）10首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.L-R-C电路电路方法方法1：选取选取 和和 为状态变量为状态变量则则即：即：i=x2 11首页首页

8、首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 i=x2 方法方法2：选取选取 为状态变量为状态变量即即12首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 方法方法3：选取选取 为状态变量为状态变量即即则则13首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 二二.小小 结结v（1）同一系统，虽然描述其动态过程的微分方程唯一，但状态变量的选取不是唯一的，这也就是说，状态变量的选取具有非唯一性。但对一个具体系统而言，不论如何选取，状态变量的个数总是相同的。v（2）状态变量选取不同，所得到的状态空间表达式亦异。不过我们总可以利用“矩阵代数”中换基底（也就是以后将介绍的状态方程的线性变换）的方法，

9、互相转换。v（3）状态变量必须是相互独立的。一个n阶系统有且仅有n个独立变量。14首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 （4）状态变量的选取，原则上是任意的。一般来说，状态变量不一定要求是有实在物理意义或可以测量的量，但是从便于构成工程控制系统的角度出发，总是选取有物理意义或可观测的量更为合适。（5）状态空间表达式是对系统固有特性的一种内部描述，考虑了被经典控制理论的输入输出模型所忽略的“状态”，较深刻地揭示了问题的本质，反映了控制系统由“输入状态输出”的动态过程，即输入引起状态的变化，而状态决定了输出。15首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 线性定常多输入多输出

10、系统状态空间表达式的一般形式状态空间表达式的一般形式 矩阵A称为系统矩阵，是一个nn的矩阵。矩阵B为控制矩阵，是一个nr的矩阵。矩阵C为输出矩阵，是一个ln的矩阵。矩阵D则称之直接传递矩阵，是一个lr的矩阵。16首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 多输入多输出系统方框图多输入多输出系统方框图17首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 矩阵A、B、C和D对于线性定常系统各元素都是常数；如果矩阵A、B、C和D的各元素与时间t有关，则称之为线性时变系统。v矩阵A称为系统矩阵，表达了系统内部状态变量之间的关系，它取决于系统的作用机理、结构和各项参数，是一个nn的矩阵。v矩阵

11、B为控制矩阵，它表明了各个输入变量对状态变量的控制特性是一个nr的矩阵。v矩阵C为输出矩阵，表示输出变量与状态变量之间的关系是一个ln的矩阵。v矩阵D则反映输入对输出的直接作用，所以称之为直接传递矩阵，是一个nn的矩阵。18首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.4 2.4 状态方程的建立状态方程的建立 2-4-1 2-4-1 由系统的高阶微分方程导出由系统的高阶微分方程导出 2-4-2 2-4-2 由传递函数导出由传递函数导出 2-4-3 2-4-3 状态变量图法状态变量图法 2-4-4 2-4-4 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述 2-4-5 2-4-5 由由状

12、状态态空空间间表表达达式式求求取取传传递递函函数数（矩矩阵）阵）2-4-6 2-4-6 状态变量和状态方程的线性变换状态变量和状态方程的线性变换 19首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2-4-1 由高阶微分方程导出由高阶微分方程导出 一一.微分方程中不含输入函数导数项的情况微分方程中不含输入函数导数项的情况20首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 21首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 四点说明v1.状态方程描述了系统的状态变化率与目前状态和控制作状态方程描述了系统的状态变化率与目前状态和控制作用之间的关系。用之间的关系。v2.A矩阵的特点。矩阵

13、的特点。v3.B矩阵反映了系统在输入（控制）作用下，强迫运动的情矩阵反映了系统在输入（控制）作用下，强迫运动的情况。况。v4.C矩阵反映了因矩阵反映了因X(t)变化而引起输出变化的系统特性。变化而引起输出变化的系统特性。22首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 二二.微分方程中含有输入函数导数项的情微分方程中含有输入函数导数项的情况况 选取状态变量的基本原则选取状态变量的基本原则:在由在由n个一阶微分方程个一阶微分方程构成的系统状态方程中，任何一个一阶微分方程均不构成的系统状态方程中，任何一个一阶微分方程均不能含有输入函数的导数项。能含有输入函数的导数项。23选取状态变量引入中间

14、变量：24首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 将y及y的各阶导数代入原方程，经整理可得:25首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 待定系数计算公式待定系数计算公式便于记忆的矩阵形式26首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态方程与输出方程状态方程与输出方程27首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态方程与输出方程写成矩阵形式状态方程与输出方程写成矩阵形式28首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2-4-2 由传递函数导出由传递函数导出设单输入设单输入单输出线性定常系统的传递函数为单输出线性定常系统的传递函数为1.m=n

15、的情况的情况这时，系统的传递函数可写为这时，系统的传递函数可写为29首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 作拉氏反变换，根据初始条件为零，可得到对应的作拉氏反变换，根据初始条件为零，可得到对应的微分方程：微分方程：30首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 可写出状态方程和输出方程，即得到状态空间表达式：可写出状态方程和输出方程，即得到状态空间表达式：可见，当传递函数的零点数与极点相等（即可见，当传递函数的零点数与极点相等（即m=n）时，系统的输出方程包含了三部分。）时，系统的输出方程包含了三部分。31首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2m 1时时

16、若若n-m=2，则，则 则则 ，即，即C矩阵中有矩阵中有1个零；个零；32首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 若若n-m=3，则，则 ，依次类推，当依次类推，当n-m1时，时，C矩阵中从后倒数，应该矩阵中从后倒数，应该有（有（n-m-1）个零。）个零。则则 ，即，即C矩阵中有矩阵中有2个零；个零；33首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2-4-3状态变量图法状态变量图法一、状态变量图一、状态变量图积分器积分器 放大器放大器 加法器加法器34首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 二、简单系统的状态变量图二、简单系统的状态变量图1.一阶系统的状态变量图

17、一阶系统的状态变量图 设一阶系统的运动方程不含输入函数的导数设一阶系统的运动方程不含输入函数的导数项，即项，即35首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 （2）设一阶系统包的运动方程含输入函数的导数）设一阶系统包的运动方程含输入函数的导数项，即项，即 36首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2二阶系统的状态变量图二阶系统的状态变量图 设运动方程中不含输入函数导数项，即设运动方程中不含输入函数导数项，即 37首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 将图中积分器的输出选定为系统的状态变量将图中积分器的输出选定为系统的状态变量 38首页首页首页首页退出退出退出

18、退出 跳转跳转跳转跳转 （2）设运动方程中含有输入函数的一阶导数，即）设运动方程中含有输入函数的一阶导数，即39首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 40首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3多输入多输入-多输出系统的状态变量图多输出系统的状态变量图41首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 三、由传递函数作状态变量图三、由传递函数作状态变量图通常有三种方法：即直接法、并接法和串接法。通常有三种方法：即直接法、并接法和串接法。1.直接法直接法42首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 43首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转

19、显然，利用状态变量图列写状态空间表达式，直观显然，利用状态变量图列写状态空间表达式，直观明了、方便。明了、方便。44首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2并接法并接法例例 设系统的传递函数为设系统的传递函数为45首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.串接法串接法46首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 对同一系统，采用方法不同，所选择的状态变对同一系统，采用方法不同，所选择的状态变量就不同，因而得到的状态空间表达式也就不同。量就不同，因而得到的状态空间表达式也就不同。这是因为系统的微分方程和传递函数是一种输入这是因为系统的微分方程和传递函数是一种

20、输入输出模型，根据输入输出关系求得的状态空间表达输出模型，根据输入输出关系求得的状态空间表达式并不是唯一的，会有无穷多个内部结构能够获得式并不是唯一的，会有无穷多个内部结构能够获得相同的输入输出关系。这种非唯一性也给我们提供相同的输入输出关系。这种非唯一性也给我们提供了选择的空间，选择什么样的状态变量最理想？选了选择的空间，选择什么样的状态变量最理想？选择哪种方法最合适？这是一个比较复杂的问题，必择哪种方法最合适？这是一个比较复杂的问题，必须具体问题具体分析。须具体问题具体分析。47首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.5 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述 线性离

21、散系统的动力学特性通常由差分方程来描线性离散系统的动力学特性通常由差分方程来描述。对述。对n阶定常系统，它的前向差分方程的一般表阶定常系统，它的前向差分方程的一般表达式为达式为式中，省略了采样周期式中，省略了采样周期T，（，（k+n）表示为系统运动）表示为系统运动过程的第过程的第(k+n)个采样周期，亦即个采样周期，亦即(k+n)T时刻，其时刻，其中中k=0，1，2。48首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 对应的脉冲传递函数一般形式为对应的脉冲传递函数一般形式为 介绍由系统差分方程和脉冲传递函数导出其状态介绍由系统差分方程和脉冲传递函数导出其状态空间表达式的方法。空间表达式的方

22、法。49首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 一、由差分方程导出状态空间表达式一、由差分方程导出状态空间表达式1.差分方程的输入函数中不含差分的情况差分方程的输入函数中不含差分的情况将它们写成向量、矩阵形式，即将它们写成向量、矩阵形式，即50首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.差分方程的输入函数中包含差分项的情况差分方程的输入函数中包含差分项的情况求取待定系数求取待定系数 的公式为的公式为它同连续系统中求待定系数的公式相同。相应的状它同连续系统中求待定系数的公式相同。相应的状态空间描述：态空间描述：51首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 解：对

23、此系统，解：对此系统，例例 已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为试求其状态空间表达式。试求其状态空间表达式。先求取待定系数：先求取待定系数：52首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 于是得到其状态空间表达式：于是得到其状态空间表达式：53首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 二、脉冲传递函数求取状态空间表达式二、脉冲传递函数求取状态空间表达式 有直接法、并接法和串接法等，这里介绍较常用有直接法、并接法和串接法等，这里介绍较常用的并接法，亦称分式展开法。的并接法，亦称分式展开法。下面分两种情况讨论。下面分两种情况讨论。1.W（z）具有两两互异的极点）具有两两互

24、异的极点式中，式中，54首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 于是于是 对其作对其作Z反变换得：反变换得：55首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.W（z）具有多重极点）具有多重极点 设设W(z)在处有在处有P重极点，其余重极点，其余n-p个极点均为互个极点均为互不相同的单极点，用分式展开法，不相同的单极点，用分式展开法，W(z)可表示为可表示为式中，式中，56首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 57首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 58首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例：设某线性系统的脉冲传递函数为例：设某

25、线性系统的脉冲传递函数为试求其离散状态空间表达式。试求其离散状态空间表达式。解：按极点展开成部分分式之和，即解：按极点展开成部分分式之和，即对本系统，对本系统，59首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 60首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.6状态空间表达式求取传递函数（矩阵）状态空间表达式求取传递函数（矩阵）1）单输入单输入单输出（简称单输出（简称SISO）系统）系统设设n阶线性定常阶线性定常SISO系统的状态空间表达式为系统的状态空间表达式为 假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换，则得假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换，则得61首页首页首页首页退出退出退

26、出退出 跳转跳转跳转跳转 可得出如下结论：可得出如下结论：（1）系统矩阵）系统矩阵A的特征多项式等同于传递函数的分的特征多项式等同于传递函数的分母多项式；母多项式；（2）传递函数的极点就是系统矩阵）传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值；的特征值；（3）多项式）多项式CadjsI-AB与与ddetsI-A之和即为之和即为传递函数的分子多项式。传递函数的分子多项式。62首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2)多输入多输入-多输出（简称多输出（简称MIMO）系统）系统当当ij时，若时，若gij(s)0，就意味着第，就意味着第j个输入对第个输入对第i个个输出有影响，即存在耦合关系。解耦

27、系统的传递函输出有影响，即存在耦合关系。解耦系统的传递函数矩阵必为对角线型矩阵。数矩阵必为对角线型矩阵。63首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例 设某线性定常系统的状态空间表达式为设某线性定常系统的状态空间表达式为试求系统的传递函数矩阵试求系统的传递函数矩阵G(s)。解：这里解：这里D=0,有有64首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 65首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.7 状态变量和状态方程的线性变换状态变量和状态方程的线性变换一、状态变量的线性变换一、状态变量的线性变换设线性定常系统的状态空间表达式为设线性定常系统的状态空间表达式为

28、若取一组新的状态变量若取一组新的状态变量W对上述表达式进行变换，对上述表达式进行变换，且知新状态变量是原状态变量且知新状态变量是原状态变量X的线性组合，即两的线性组合，即两组状态变量之间存在着非奇异线性变换关系，即组状态变量之间存在着非奇异线性变换关系，即 或或 P为为nn非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵 66首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 这里这里，系统矩阵A ,控制矩阵B ，输出矩阵C ，直接传递矩阵不变，=D。这种由基底变换得到的系统方程，又称为等价系统方程。这种变换亦即所谓等价变换。67首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态变量的线性变换具有极大的灵活

29、性，原则状态变量的线性变换具有极大的灵活性，原则上存在无穷多组变换。这就是说，虽然选取状态变上存在无穷多组变换。这就是说，虽然选取状态变量不同，所得到的系统方程也不同，但总可以通过量不同，所得到的系统方程也不同，但总可以通过非奇异线性变换，使不同系统方程之间进行等价变非奇异线性变换，使不同系统方程之间进行等价变换。我们可以利用状态变量的非奇异线性变换得到换。我们可以利用状态变量的非奇异线性变换得到所希望形式的状态方程，如某种规范型。另外，从所希望形式的状态方程，如某种规范型。另外，从状态空间的角度来看，状态变量的线性变换，就相状态空间的角度来看，状态变量的线性变换，就相当于状态空间的坐标变换。

30、当于状态空间的坐标变换。68首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 二、基本概念二、基本概念1.特征矩阵特征矩阵 矩阵矩阵A的特征矩阵为的特征矩阵为 2.特征多项式特征多项式3.特征方程特征方程4.系统的特征值系统的特征值 特征方程的根特征方程的根(1)一个一个n阶系统，系统矩阵阶系统，系统矩阵A为为nn方阵，有且仅方阵，有且仅有有n个特征值。个特征值。（2）物理上存在的系统，物理上存在的系统，A为实数方阵，其为实数方阵，其n个个特征值或为实数或为共轭复数对。如果特征值或为实数或为共轭复数对。如果A为实数对为实数对称方阵，则其特征值均为实数。称方阵，则其特征值均为实数。69首页首页

31、首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 5.特征向量特征向量 设设i是是nn矩阵矩阵A的一个特征值，若存在一个的一个特征值，若存在一个n维非维非零向量零向量Pi使得使得或或成立，则称成立，则称Pi为为A对应于特征值对应于特征值i的特征向量。的特征向量。说明：设说明：设1，2，n为系统矩阵为系统矩阵A的特征值，的特征值，P1，P2，Pn是矩阵是矩阵A分别对应于这些特征值的分别对应于这些特征值的特征向量，当特征向量，当1，2，n两两互异时，两两互异时，P1，P2，Pn线性无关，因此，由这些特征向量组成的线性无关，因此，由这些特征向量组成的矩阵矩阵P必定是非奇异的。这里必定是非奇异的。这里70首

32、页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 三、线性变换的基本特性三、线性变换的基本特性1.特征值的不变性特征值的不变性对系统的状态方程作非奇异线性变换，其特征值不对系统的状态方程作非奇异线性变换，其特征值不会改变。会改变。71首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.系统的不变量系统的不变量将特征方程写成多项式形式：将特征方程写成多项式形式：由于特征值完全由特征多项式的系数唯一地确定，由于特征值完全由特征多项式的系数唯一地确定，而特征值经非奇异线性变换是不变的，那么这些系而特征值经非奇异线性变换是不变的，那么这些系数也是不变的量，所以称特征多项式的系数为系统数也是不变的量

33、，所以称特征多项式的系数为系统的不变量。的不变量。72首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.传递函数矩阵的不变性传递函数矩阵的不变性73首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 四四 状态方程的规范化状态方程的规范化 将系统矩阵将系统矩阵A具有一般形式的状态方程化为对角具有一般形式的状态方程化为对角线规范型或约当（线规范型或约当（Jordan）规范形。）规范形。1.系统矩阵系统矩阵A为任意形式为任意形式 当其系统矩阵当其系统矩阵A的特征值互不相同时，必存在非的特征值互不相同时，必存在非奇异矩阵奇异矩阵P，通过等价变换，通过等价变换X=PW，使得变换，使得变换后的状态

34、方程化为对角线规范型。后的状态方程化为对角线规范型。74首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 其中，对角线上元素其中，对角线上元素i（i=1，2，n）为方阵）为方阵A的特征值。而变换矩阵的特征值。而变换矩阵P是以是以A的特征向量的特征向量P1，P2，Pn为列向量构成的矩阵，即为列向量构成的矩阵，即在求取特征向量时，为简单计，常取其基本解。求在求取特征向量时，为简单计，常取其基本解。求P的方法是满足的方法是满足或或75首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 其中对应于其中对应于(n-q)个单根的特征向量个单根的特征向量pq+1,pn求法求法同前，即同前，即当其系统矩阵当

35、其系统矩阵A的特征值有重根时，设系统矩阵的特征值有重根时，设系统矩阵A有有q个个1的重根，其余的重根，其余n-q个为互异的特征根，则个为互异的特征根，则变换矩阵为变换矩阵为而对应于而对应于q个重根的特征向量个重根的特征向量P1,P2,Pq按下式计按下式计算算76首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 这里，这里，P1为为1对应的特征向量，其余对应的特征向量，其余P2,Pq则为则为所谓广义特征向量。所谓广义特征向量。A可化为对角型或约当型。可化为对角型或约当型。77首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2.系统矩阵系统矩阵A为友矩阵为友矩阵(Companion Matr

36、ix)形式形式 当系统矩阵当系统矩阵A的特征值无重根时：的特征值无重根时：可选取以下范德蒙特（可选取以下范德蒙特（Vandermode）矩阵将）矩阵将系统状态方程化为对角线规范型，即系统状态方程化为对角线规范型，即78首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 当系统矩阵当系统矩阵A的特征值有重根时：的特征值有重根时：对于线性定常系统，如果其系统矩阵对于线性定常系统，如果其系统矩阵A具有友矩阵具有友矩阵的形式，且其特征值为的形式，且其特征值为q重根，其余（重根，其余（n-q）个特征）个特征值为互不相同的单根，则可将系统状态方程化为约值为互不相同的单根，则可将系统状态方程化为约当规范型，其非奇异变换矩阵当规范型，其非奇异变换矩阵P是：是：当当q=2时时79首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 当当q=3时时 其余类推。其余类推。80