直线和抛物线的位置关系学习资料.ppt

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1、直线和抛物线的位置关系判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行或重合对称轴平行或重合相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离 例例1 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程只有一个公共点的直线的方程.由由 得得 故直线故直线 x=0与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.解解:(1)若直线斜率不存在若直线斜率不存在,则过点则过

2、点P的直线方程是的直线方程是 x=0.由方程组由方程组 消去消去 y 得得(2)若直线斜率存在若直线斜率存在,设为设为k,则过则过P点的直线方程是点的直线方程是当当 k=0时，时，x=,y=1.故直线故直线 y=1 与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.y=kx+1,xyO当当k00时，若直线与抛物线只有一个公共点，则时，若直线与抛物线只有一个公共点，则此时直线方程为此时直线方程为综上所述，所求直线方程是综上所述，所求直线方程是 x=0 或或 y=1 或或 练习：练习：当当k为何值时为何值时,直线直线y=k x+1与抛物线与抛物线(1)相交相交,(2)相切相切,(3)相离相离?解：由方程组

3、解：由方程组 消去消去 y，并整理得，并整理得当当K 0时，时，该方程是一元二次方程该方程是一元二次方程,所以所以综上所述，当综上所述，当k1时直线和抛物线相离时直线和抛物线相离.当当k=0时时，直线方程为，直线方程为y=1，与抛物线交于一点，与抛物线交于一点例例2：在抛物线在抛物线 上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小的距离最小.解：设解：设P(x,y)为抛物线为抛物线 上任意一点，则上任意一点，则P到直到直线线2x-y-4=0的距离的距离 此时此时 y=1，所求点的，所求点的坐标为坐标为P(1,1).当且仅当当且仅当 x=1 时，时，另解另解:观察图象可知观察

4、图象可知,平移直线至与抛物线相切平移直线至与抛物线相切,则切点则切点即为所求即为所求.联立联立 得得 设切线方程为设切线方程为 2x-y+C=0，由由 得得 C=-1又由（又由（）得）得 x=1x=1，y=1.y=1.故所求点的坐标是（故所求点的坐标是（1 1，1 1）.点评：此处用到了数形结合的方法点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0 xyOp1.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有(）（A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条 C C.P互动练习2.2.在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0

5、4x+3y+46=0的距的距离最短，并求此距离。离最短，并求此距离。分析：分析：抛物线上到直线距离最短的点，是和此直抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。线平行的切线的切点。yx y2=64x 4x+3y+46=0解解：无实根无实根直线与抛物线相离直线与抛物线相离设与设与4x+3y+46=0平行且与平行且与y2=64x相切的相切的直线方程为直线方程为y=-4/3 x+bLP则由则由y=-4/3 x+by2=64x消消x化简得化简得y2+48y-48b=0=482-4(-48b)=0b=-12切线方程为：切线方程为：y=-4/3 x-12y=-4/3 x-12 y2=64x解方

6、程组解方程组得得 x=9 y=-24切点为切点为P（9，-24）切点切点P到的距离到的距离d=抛物线抛物线y2=64x到直线：到直线：4x+3y+46=0有最短距离的有最短距离的点为点为P（9，-24），最短距离为），最短距离为2。3、斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦的焦点点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x二、抛物线的焦点弦性质二、抛物线的焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB

7、|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。xOyABFxOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2pAXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点

8、的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。123456过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)

9、、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理xOyABFxOyABFF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90。代入抛物线得代入抛物线得y2ms，练习练习(1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2)

10、,求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设证明：设AB 的方程为的方程为=ms（m）(2).若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点(s,0)(s0)证明证明：lyy2=2pxAMxB若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则则直线过定点直线过定点 M(s,0)，(s0)x1x2=s2;y1y2=-2ps.（1）M为焦点，即过（为焦点，即过（p/2，0）x1x2=p2/4;y1y2=-p2.（2）M过（

11、过（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M过（过（2p，0）（4）M过（过（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.（5）M过。过。抛物线对称轴上的重要结论lyy2=2pxAMxB过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明证明:思路分析思路分析|AB|=|AF|+|BF|=思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最

12、短过焦点的所有弦中，通径最短xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和的一条直线和抛物线相交于抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴.xyFABCO例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和的一条直线和抛物线相交于抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过过B作作BC准线准线

13、l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线.(2001年高考题年高考题)xyFABCO例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB，1.求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；3.求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；4.求求AOB面积的最小值；面积的最小值；5.求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物线中的直角三角形问题例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(1)

14、求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；解答解答 (1)设设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点，中点P(x0,y0)，OAOB kOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(2)求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；解答解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1 y2)(y1+y2)=2p(x1 x2)AB过定点过定点T(2p,0).同理，同理，以代以代k得得B(2pk2,

15、-2pk).例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(3)求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；即即 y02=px0-2p2，中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2=px-2p2(3)设设OA y=kx，代入，代入y2=2px 得得:k 0，(4)当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立.例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值；(5)法一：设法一：设M(x3,y3),则则 例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0

16、)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2，整理得：整理得：x32+y32-2px3=0，点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0,0).M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论.OMT=90,又又OT为定线段为定线段法二：法二：AB过定点过定点T(2p,0).7.7.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)

17、求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.小结：小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对轨在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无求出曲线方程之后而仔细检查有无“不法不法分子分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无又要注意有无“漏网之鱼漏网之鱼”“逍遥法外逍遥法外”，应将其找回。，应将其找回。四、点与抛物线四、点与抛物线点点P(x0,y0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及的位置关系及判断方法判断方法.1.点在抛物线外点在抛物线外2.点在抛物线上

18、点在抛物线上3.点在抛物线内点在抛物线内y02-2px00y02-2px0=0y02-2px0 即4 .FMl l1 1l l2 2【例题例题5 5】如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的为端点的曲线段曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐为锐角三角形，角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的的方程。方程。B BA AM MN N分析：分析：1.1.如何选择适当的坐标系。如何选择适当的坐标系。2.2.能

19、否判断曲线段是何种类型曲线。能否判断曲线段是何种类型曲线。3.3.如何用方程表示曲线的一部分。如何用方程表示曲线的一部分。如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的为端点的曲线段曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐为锐角三角形，角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的的方程。方程。l l1 1l l2 2y yx xD D解法一：3=DANACNRt中，中，由图得，由图得，C CB BA AM MN N

20、曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：即抛物线方程：即抛物线方程：建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O，如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的为端点的曲线段曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐角为锐角三角形，三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的方程。的方程。l l1 1l l2 2y yx xD DC CB BA AM MN N解法二：曲线段曲线段C C的

21、方程为：的方程为：建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)Oy yx xB BA AM MN NC CD D建立如图所示的直角坐标系，原点为解法三：Q曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：3=DANACNRt中，中，xyAPMN.F（1 1）直线）直线l l过抛物线过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点且与的焦点且与x x轴垂直，轴垂直，若若l l被抛物线截得的线段长为被抛物线截得的线段长为6 6，则，则p=_p=_3xyOy y2 2=2px=2pxABl(2)(2)已已知知抛抛物物线线方方程程 =8x,=8x,则则它它的的焦焦点点坐坐

22、标标为为_,_,准准线线方方程程为为_，若若该该抛抛物物线线上上一一点点到到y y轴轴距距离离等等于于5 5，则则它它到到抛抛物物线线的的 焦焦点点的的距距离为离为_，若该抛物线上一点若该抛物线上一点M M到焦点距离等于到焦点距离等于4,4,则则M M的坐标为的坐标为_._.(2,0)x=-2-27 7(2,4),(2,-4)MH(2,0):x=-2(2,0)pQH:x=-2（3 3）抛物线的顶点在原点，）抛物线的顶点在原点，对称轴为对称轴为y y轴，焦点在轴，焦点在 x+2y-12=0 x+2y-12=0上，上，则它的方程为则它的方程为_._.xyF(0,6)oL:x+2y-12=0（4 4

23、）抛物线）抛物线y2=2x上的两点上的两点A A、B B到焦点的距离和为到焦点的距离和为5 5，则线段，则线段ABAB中点到中点到y y轴的距离是轴的距离是_._.x2=24yxyOFL:x=-BAMDCN2(5)一抛物线拱桥，当拱顶离水面一抛物线拱桥，当拱顶离水面2 2米时，水面宽米时，水面宽 4 4米，则当水面下降米，则当水面下降1 1米后，水面宽米后，水面宽_米。米。xyOlGB(2,-2)(-2,-2)A2CDH221x2=-2-2y8.8.A A、B B是抛物是抛物线线y y2 22 2pxpx(p p0)0)上的两点，上的两点，且且OAOAOBOB.(1)(1)求求A A、B B两

24、点的横坐两点的横坐标标之之积积和和纵纵坐坐标标之之积积；(2)(2)求求证证：直：直线线ABAB恒恒过过定点；定点；(3)(3)求弦求弦ABAB中点中点P P的的轨轨迹方程；迹方程；(4)(4)求求AOBAOB面面积积的最小的最小值值【解解析析】设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，中中点点P P(x x0 0，y y0 0)已已知知抛抛物物线线 的的焦焦点点为为F，其其准准线线与与x轴轴交交于于点点M，过过点点M作作斜斜率率为为k的的直直线线l交交抛抛物物线线于于A、B两两点点，弦弦AB的的中中点点为为P，AB的垂直平分线与的垂直平分线与x轴交于点轴

25、交于点E（O）.（1）求）求k的取值范围（的取值范围（2）求证：）求证：（3）PEF能能否否成成为为以以EF为为底底的的等等腰腰三三角角形形？若若能能，求出求出k的值，若不能，请说明理由的值，若不能，请说明理由.解：由题设有解：由题设有 （1）设）设令令（2）设）设AB中点为中点为 AB的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为 令令 （3）是以是以EF为底的等腰三角形为底的等腰三角形.PEF能构成以能构成以EF为底的等腰三角形，此时为底的等腰三角形，此时此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢