直线的两点式与一般式方程教程文件.ppt

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1、直线的两点式与一般式方程 解：设直线方程为：解：设直线方程为：y=kx+b.例例1.已知直线经过已知直线经过P1(1,3)和和P2(2,4)两点，求直线的方两点，求直线的方程程由已知得：由已知得：解方程组得：解方程组得：直线方程为直线方程为:y=x+2简单的做法：简单的做法：化简得：化简得：x-y+2=0解法二解法二:为什么可以这样做，这样做的根据是什么？为什么可以这样做，这样做的根据是什么？动点轨迹法解释：动点轨迹法解释：k kPPPP1 1=k=kP P1 1P P2 2即：即：得得:y=x+2:y=x+2设设P(x,y)P(x,y)为直线上不同于为直线上不同于P P1 1，P P2 2的

2、动点，的动点，与与P P1 1(1,3),P(1,3),P2 2(2,4)(2,4)在同一直线上，根据斜在同一直线上，根据斜率相等可得：率相等可得：二、直线两点式方程的推导二、直线两点式方程的推导解：设点解：设点P(x,y)是直线上不同于是直线上不同于P1，P2的点的点直线的直线的两点式两点式方程：方程：kPPPP1 1=kP P1 1P P2 2记忆特点：记忆特点：推广推广左左边边全为全为y，右，右边边全为全为x两边的两边的分母全为常数分母全为常数 分子，分母分子，分母中的减数相同中的减数相同 已知两点已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，求通过这两点的直线方程求通过这两点的直线方

3、程 是不是已知任一直线中的两点就是不是已知任一直线中的两点就能用两点式能用两点式 写出直线方程呢？写出直线方程呢？不是不是!两点式不能表示两点式不能表示平行平行于于坐标轴坐标轴或或与坐标轴与坐标轴重合重合的直线的直线注注 意：意：当当x x1 1 x x2 2或或y y1 1=y y2 2时，直线时，直线P1 P2没有两点式方没有两点式方程程.(因为因为x x1 1 x x2 2或或y y1 1=y y2 2时，两点式的分母为时，两点式的分母为零，没有意义零，没有意义)那么两点式不能用来表示哪些直线那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？的方程呢？三、两点式方程的适应范围三、两点式方程的适应范

4、围1.求过点求过点(2,3)及点及点(2,5)的直线方程的直线方程2.求过点求过点(3,5)及点及点(2,5)的直线方程的直线方程 若点若点P1（x1,y1），P2（x2,y2）中有中有x1 x2,或或y1=y2,此时过这两点此时过这两点的直线方程是什么？的直线方程是什么？当当x1 x2 时时方程为：方程为：x x当当 y1=y2时时方程为：方程为：y=y练习练习 课本课本P97 1点点横截距横截距纵截距纵截距截距式截距式两点式两点式加号加号数字数字“1”直线与坐标直线与坐标轴的交点轴的交点 注注 意意：不是不是是截距式吗是截距式吗?不是不是.截距可是截距可是正数正数,负数和零负数和零不不能表

5、示能表示过原点过原点或或与坐标轴平行或重合与坐标轴平行或重合的直线的直线3.3.是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？2 2.截距是不是一定是正数截距是不是一定是正数?练习练习 课本课本P97 2,3补充练习补充练习B B 过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条等的直线有几条?解解:例例3 3变式变式:那还有一条那还有一条 y=2x(与与x轴和轴和y轴的截距都为轴的截距都为0)所以直线方程为：所以直线方程为：x+y-3=0a=3把把(1,2)代入得：代入得：设设 直线的方程为直线的方程为:两条两条当当

6、时时 当当 时时解：解：过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条距的绝对值相等的直线有几条?解得：解得：a=b=3或或a=b=1直线方程为：直线方程为：y+x3=0、yx1=0或或y=2x设设当当 时时 当当 时时y=2x三条三条 例例4:4:已知角形的三个顶点是已知角形的三个顶点是A(A(5 5，0)0)，B(3B(3，3)3)，C(0C(0，2)2)，求，求BCBC边所在边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方的直线方程，以及该边上中线的直线方程。程。解：过解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：两点式方程为：整理得：整理得：5

7、x+3y6=0这就是这就是BC边所在直线的方程。边所在直线的方程。五、直线方程的应用五、直线方程的应用坐标为坐标为 BC边上的中线是顶点边上的中线是顶点A与与BC边中点边中点M所连所连线段，由中点坐标公式可得点线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：的坐标为：即即整理得：整理得：x+13y+5=0即为即为BC边上中线所在的直线的方程。边上中线所在的直线的方程。过过A(-5,0),M 的直线方程的直线方程小结：小结：2)2)两点式、截距式直线方程的适应范围两点式、截距式直线方程的适应范围1)1)直线的两点式方程直线的两点式方程直线的截距式方程直线的截距式方程3)3)中点坐标：中点坐标：分母不为分母

8、不为0 直线的一般式方程直线的一般式方程直线的一般式方程直线的一般式方程 (一)填空名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 过点 与x 轴垂直的直线可表示成 ，过点 与y 轴垂直的直线可表示成 。k存在k存在k存在,k0k存在,k0不过原点特殊形式特殊形式上述五种直线方程，它们的共性是什么？能否上述五种直线方程，它们的共性是什么？能否写成一个统一形式？写成一个统一形式？?x+?y+?=0问题问题1：问题问题2：上述五种直线方程的优缺点是什么？上述五种直线方程的优缺点是什么？优点：直线的特征明显优点：直线的特征明显缺点：只适合一部分直线缺点：只适合一部分直线上述五式都

9、可以写成一种形式：上述五式都可以写成一种形式：Ax+By+C=0,A、B不同时为不同时为0。关于，二元一次方程关于，二元一次方程问题3：对于任意一个二元一次方程 （A，B不同时为零）能否表示一条直线？总结总结:由上面讨论可知由上面讨论可知,1.1.平面上任一条直线都可以用一个关于平面上任一条直线都可以用一个关于x,y x,y 的二元一次方程的二元一次方程 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0（A A、B B不同时不同时 为为0 0）表示）表示2.2.关于关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0（A A、B B 不同时为不同时为0 0）都表示一条直线）都

10、表示一条直线.Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同时为零不同时为零)叫做叫做直线的一般式方程直线的一般式方程,简称简称一般式一般式3 3.二元一次方程的系数和常数项对直线二元一次方程的系数和常数项对直线位置的影响位置的影响探究：在方程探究：在方程 (A,B不同时为不同时为0)1.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴轴 ；2.当当 时，方程表示的时，方程表示的直线与直线与x轴垂直；轴垂直；3.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴轴_；4.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与y轴重合轴重合；5.当当 时，方程表示的直线过时，方程表示的直线过

11、原点原点.平行平行重合重合 5.反馈体验22221、若方程、若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一表示一条直线，则实数条直线，则实数m的取值范围是的取值范围是_.m0例例5 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：般式：3.在x轴,y轴上的截距分别是32,-3;2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);x32+y-3=12x-y-3=0注：对于直线方程的一般式，一般作如下注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按约定：一般按含含x x项、含项、含y y项、常数项顺序项、常数项顺序排列；排列；x x项的系数为正；项的系数为正；x x，y

12、y的系数和常数的系数和常数项一般不出现分数；无特别说明时，最好项一般不出现分数；无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。将所求直线方程的结果写成一般式。例例6 把直线把直线 化成斜截式，求化成斜截式，求出直线的斜率以及它在出直线的斜率以及它在y轴上的截距。轴上的截距。解：将直线的一般式方程化为斜截式：解：将直线的一般式方程化为斜截式：，它的斜率为：它的斜率为：，它在，它在y轴上的截距是轴上的截距是3思考：若已知直线思考：若已知直线 ，求它在，求它在x轴上轴上的截距的截距求直线的一般式方程求直线的一般式方程 的斜率和截距的方法：的斜率和截距的方法：（1）直线的斜率）直线的斜率（2）直线

13、在）直线在y轴上的截距轴上的截距b令令x=0，解出，解出 值，则值，则 (3)直线与直线与x轴的截距轴的截距a令令y=0，解出，解出 值，则值，则拓展训练题拓展训练题:设直线设直线 l 的方程为的方程为(a(a1)x1)xy y2 2a=0(aR)a=0(aR)（1 1）若）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；的方程；（2 2）若）若 l 不经过第二象限，求实数不经过第二象限，求实数a a的取值范围的取值范围 解析解析:（1 1）当）当直线过原点时直线过原点时，该直线在，该直线在 x 轴轴 y 轴上的截距都轴上的截距都为零，当然相等，此时为零，当然相等，此

14、时a=2,a=2,方程为方程为3x+y=0.3x+y=0.若若 ，即，即l不过原点不过原点时，由于时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，在两坐标轴上的截距相等，有有 ，即，即 a+1=1,a=0,a+1=1,a=0,l 的方程为的方程为 x+y+2=0.x+y+2=0.l 的方程为的方程为3x+y=0 3x+y=0 或或 x+y+2=0 x+y+2=0 （2 2）将）将l的方程化为的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,y=-(a+1)x+a-2,欲使欲使l不经过第二象不经过第二象限，当且仅当限，当且仅当 或或 ，综上所述，综上所述，a a的取值范围是的取值范围是 1 1、直线、直线Ax+By

15、+C=0Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（通过第一、二、三象限，则（）(A)AB0,AC0 (B)AB0,AC0,AC0 (B)AB0,AC0 (C)AB0 (D)AB0,AC0 (C)AB0 (D)AB0,AC0C3 3、求与两坐标轴正向围成面积为、求与两坐标轴正向围成面积为2 2平方单位的平方单位的三角形，并且两截距之差为三角形，并且两截距之差为3 3的直线的方程。的直线的方程。2 2、已知直线、已知直线 在在x x轴上的截轴上的截距是距是y y轴上截距的轴上截距的3 3倍，求倍，求a a的值。的值。巩固练习巩固练习5.设直线设直线l的方程为的方程为 （m22m3）x（2m2m1

16、）y2m6根据下列条件确定根据下列条件确定m的值（的值（1）l在在x轴上的截距是轴上的截距是3；（2）斜率是）斜率是1。解解：（：（1）由题意得）由题意得(2)由题意得由题意得小结小结1.直线的五种直线的五种特殊形式特殊形式 直线的直线的一般形式一般形式Ax+By+C=0 Ax+By+C=0(A,B(A,B不同时为零不同时为零)各各有有优优缺缺点点2.灵活应用灵活应用 注意相互转化注意相互转化2.预习预习3.3.1两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标3.课本课本 练习练习1，2，B组组 3，4作业：作业：1.P1.P110110 2.3.2.3.谢谢,下节课见!4、求过点、求过点P(2,1)的

17、直线与两坐标轴正半轴所围的直线与两坐标轴正半轴所围成的三角形的面积最小时的直线方程成的三角形的面积最小时的直线方程思考题：思考题：已知直线已知直线l l 2x+y+3=0,2x+y+3=0,求关于点求关于点A(1,2)A(1,2)对称的对称的直线直线l l 1 1的方程。的方程。解：当解：当x=0 x=0时，y=3y=3.(0,-3)(0,-3)在直线在直线l l上，关于上，关于(1,2)(1,2)的对称点的对称点为为(2,7)(2,7).当当x=-2x=-2时，时，y=1y=1.(-2,1)(-2,1)在直线在直线l l上，关于上，关于(1,2)(1,2)的对称点为的对称点为(4,3)(4,

18、3).那么，点那么，点(2,7)(2,7)，(4,3)(4,3)在在l l 1 1上上因此，直线因此，直线l l 1 1的方程为：的方程为：化简得化简得:2x+y-11=0还有其它的方法吗？还有其它的方法吗？l l l l 1 1，所以所以l l 与与l l 1 1的斜率相同，的斜率相同，k kl l1 1=-2=-2经计算，经计算，l l 1 1过点过点(4,3)(4,3)所以直线的点斜式方程为：所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)y-3=-2(x-4)化简得：化简得：2x+y-11=0此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢