磁流体力学备课讲稿.ppt

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1、磁流体力学4.1 速度矩及矩方程速度矩及矩方程 1.速度矩速度矩 建立宏观与微观的联系建立宏观与微观的联系n等等离离子子体体中中包包含含有有一一种种以以上上正正电电荷荷离离子子和和电电子子，设设类粒子的分布函数为类粒子的分布函数为 它满足动理学方程它满足动理学方程 为为简简便便，暂暂省省略略角角标标，右右边边项项简简化化为为 ，表表示各类粒子间碰撞引起的分布函数变化。示各类粒子间碰撞引起的分布函数变化。（1）速度矩定义：速度矩定义：设设 ，则速度矩定义为，则速度矩定义为 其中其中 为粒子数密度，符号为粒子数密度，符号表表示对速度分布求平均。示对速度分布求平均。（2）零阶、一阶、二阶和三阶矩）零

2、阶、一阶、二阶和三阶矩 （i）零阶矩零阶矩 质量密度或体密度质量密度或体密度 （ii）一阶矩）一阶矩 流体平均速度流体平均速度n定义：定义：表明表明w是无规热运动速度。是无规热运动速度。（iii）二阶矩）二阶矩 2阶张量，阶张量，9个分量个分量 n式中热压强张量式中热压强张量n对角项对角项n非对角项是对称的，只有非对角项是对称的，只有3 3个独立分量：个独立分量：n如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局域性麦克斯韦分布域性麦克斯韦分布 n用局域性麦克斯韦分布得用局域性麦克斯韦分布得 的对角项就是热压强。的对角项就是热压强。n粒子系的总动能密度粒子系

3、的总动能密度 第一项为单位体积流体平均运动动能，第二项为第一项为单位体积流体平均运动动能，第二项为热运动动能。热运动动能。n定义：定义：为对称张量，为对称张量，只有只有6个非对角项，个非对角项，3个分量是个分量是独立的，其意义为独立的，其意义为粘滞应力张量。粘滞应力张量。（iv）三阶矩三阶矩 有有27个分量，但有明确物理意义的只有其中个分量，但有明确物理意义的只有其中3个个分量：分量：n定义：定义：n 为流体宏观流动带走的为流体宏观流动带走的总动能总动能；n 为流体宏观流动时压强张量做的为流体宏观流动时压强张量做的功率功率 当当u=0时，以上两项都为时，以上两项都为0；n 称称热热流流矢矢量量

4、，即即使使u=0，也也存存在在，它它是是由由碰碰撞撞产生的热量从高温流体元到低温流体元的流动。产生的热量从高温流体元到低温流体元的流动。2.速度矩方程速度矩方程n在动理学方程中的各项乘以在动理学方程中的各项乘以 ，并对，并对 积分，积分，即可得到一般的速度矩即可得到一般的速度矩(时间演化时间演化)方程。方程。n第三项粒子受的力第三项粒子受的力 n上式分部积分的第一项为上式分部积分的第一项为0，因为边界条件：，因为边界条件：n对洛仑兹力项也用同样方法计算对洛仑兹力项也用同样方法计算,注意条件注意条件:n而且还有而且还有 n最后得最后得速度速度矩方程：矩方程：4.2 等离子体的双流体力学方程等离子

5、体的双流体力学方程 n一般的矩方程中，物理上有意义的只有零阶、一一般的矩方程中，物理上有意义的只有零阶、一阶、二阶三种矩，它们是与质量、动量、能量守阶、二阶三种矩，它们是与质量、动量、能量守恒相联系的。对普通流体，这三种矩方程可得到恒相联系的。对普通流体，这三种矩方程可得到流体力学方程组。流体力学方程组。n对于等离子体，至少含有一种正离子和电子，如对于等离子体，至少含有一种正离子和电子，如果正离子和电子间没有达到平衡，这样离子和电果正离子和电子间没有达到平衡，这样离子和电子作为两种不同粒子体系，就相应有两种不同的子作为两种不同粒子体系，就相应有两种不同的流体方程，称双体力学方程。流体方程，称双

6、体力学方程。n在在计计算算矩矩方方程程碰碰撞撞项项的的贡贡献献时时，假假定定没没有有粒粒子子的的电离、复合等情况，即都电离、复合等情况，即都只发生弹性碰撞只发生弹性碰撞。（1）粒子数守恒方程（或连续性方程）粒子数守恒方程（或连续性方程）令令 得得n连续性方程连续性方程 因为只发生弹性碰撞，碰撞过程粒子数守恒，所以因为只发生弹性碰撞，碰撞过程粒子数守恒，所以碰撞项碰撞项 令粒子令粒子质量质量m，则质量密度则质量密度n质量守恒方程质量守恒方程 （2）流体元运动方程）流体元运动方程 令令 ，一阶矩方程，一阶矩方程n注意：注意：是流体元以平均速度是流体元以平均速度u 运动所受的洛仑兹力运动所受的洛仑兹

7、力 n碰撞项碰撞项 R为摩擦阻力为摩擦阻力 n最后得最后得流体元的流体元的运动方程运动方程n利用粒子数守恒方程，流体元利用粒子数守恒方程，流体元运动方程简化运动方程简化为为 称称运流导数运流导数(随体微商随体微商)，表示跟随流体元，表示跟随流体元运动轨道计算的时间微商。运动轨道计算的时间微商。n流体元流体元运动方程运动方程n左边表示流体元运动过程左边表示流体元运动过程动量变化率动量变化率，n右边各项意义是运动流体元所受的力：右边各项意义是运动流体元所受的力：nF 电磁场力，电磁场力，热压力，热压力，粘滞力粘滞力 R为为粒子与粒子与不同不同粒子弹性碰撞后，粒子弹性碰撞后，粒子失去的动量，粒子失去

8、的动量，即流体元受到的摩擦阻力。即流体元受到的摩擦阻力。注意注意同类粒子弹性碰撞动量守恒，所以同类粒子弹性碰撞动量守恒，所以同类粒子间碰同类粒子间碰撞对撞对R无贡献无贡献（3）能量平衡方程）能量平衡方程 令令由矩方程得由矩方程得最后两项是弹性碰撞的贡献最后两项是弹性碰撞的贡献 nQ是是不同类粒子不同类粒子的弹性碰撞引起的能量交换，的弹性碰撞引起的能量交换，因为因为弹性碰撞动能守恒，弹性碰撞动能守恒，同类粒子间的碰撞无贡献。同类粒子间的碰撞无贡献。n总动能守恒方程总动能守恒方程(能量平衡方程能量平衡方程)n右右从流体元表面流入的净能流；从流体元表面流入的净能流；电场对流体电场对流体元做的功率即欧

9、姆加热功率；元做的功率即欧姆加热功率；碰撞摩擦阻力做碰撞摩擦阻力做的功率；的功率；不同类粒子碰撞交换的能量。不同类粒子碰撞交换的能量。n应用粒子数守恒方程、运动方程后，应用粒子数守恒方程、运动方程后，能量平衡能量平衡方程简化为方程简化为（热能平衡方程热能平衡方程）n右方各项的物理意义：右方各项的物理意义：内摩擦（粘滞力）做的内摩擦（粘滞力）做的功率；功率；热传导；热传导；不同类粒子碰撞引起的热能不同类粒子碰撞引起的热能交换。如果，交换。如果，u=0则表明流体元的温度变化仅来则表明流体元的温度变化仅来源于热传导和碰撞引起的热能交换。源于热传导和碰撞引起的热能交换。n上面方程的简化计算并不难，但比

10、较冗长。上面方程的简化计算并不难，但比较冗长。令令 直接进行计算可能更简便些直接进行计算可能更简便些。但在计算中应当但在计算中应当注意注意：n各项计算结果如下：各项计算结果如下：第第1项项=0，因为，因为 第第2项项=0，因为，因为 出现两次：出现两次：n碰撞项碰撞项n将将以以上上各各项项计计算算结结果果代代入入矩矩方方程程就就可可以以得得到到热热能能形式的平衡方程形式的平衡方程 等离子体双流体方程组等离子体双流体方程组 (加上加上角标角标)n受的力场：受的力场：n其中其中 称称运流导数运流导数，表示跟随流体元运动的时间微商。，表示跟随流体元运动的时间微商。nE0和和B0是是外外场场，E1和和

11、B1为为等等离离子子体体本本身身的的电电荷荷、电电流流产产生生的的场场，称称为为波波场场。波波场场是是与与双双流流体体方方程程耦合的麦克斯韦方程组确定。耦合的麦克斯韦方程组确定。n波场满足波场满足麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组：n由动理学方程求速度矩得到的双流体力学方程组由动理学方程求速度矩得到的双流体力学方程组是是严格的、精确的，但是它不封闭严格的、精确的，但是它不封闭。在求每一阶。在求每一阶矩方程时，总含有更高一阶矩的分量，所以无论矩方程时，总含有更高一阶矩的分量，所以无论如何增加矩方程的阶数，方程组都不可能封闭。如何增加矩方程的阶数，方程组都不可能封闭。n如何获得封闭的矩方程组如何获得封

12、闭的矩方程组:在一定条件下，略去在一定条件下，略去高阶矩，或高阶矩用低阶矩表示。高阶矩，或高阶矩用低阶矩表示。例如，对于冷等离子体，因热能很小，压强张量例如，对于冷等离子体，因热能很小，压强张量和热流矢量都可以忽略，即和热流矢量都可以忽略，即 ，这样高，这样高阶矩被截断，方程组可以闭合。另一种情况，碰阶矩被截断，方程组可以闭合。另一种情况，碰撞频繁或占优势，流体接近平衡的麦克斯韦分布，撞频繁或占优势，流体接近平衡的麦克斯韦分布，和和 q 都是微小的量，可以用都是微小的量，可以用Chapman-Enskog展展开方法截断开方法截断,方程组就可封闭方程组就可封闭。封闭的双流体方程组封闭的双流体方程

13、组n上面方程组中含有独立未知函数：上面方程组中含有独立未知函数：n、u、T(=i,e)共共10个，个，不是独立的，正好方程数不是独立的，正好方程数目也目也10个个。n波波场场E1、B1的的麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组，再再加加上上电电荷荷连连续续性性方方程程，E1与与电电流流密密度度 j 的的欧欧姆姆定定律律，这这样样共共有有E1、B1、e（电电荷荷密密度度）、j（电电流流密密度度）共共10个个未未知知函函数数，而而相相应应的的也也有有确确定定这这些些函函数数的的10个个方方程程。因因此此双双流流体体方方程程组组及及与与电电磁磁场场的的耦耦合合共共有有20个方程，确定个方程，确定20个未知函数

14、。个未知函数。n在在双双流流体体方方程程组组中中，如如果果只只考考虑虑外外场场作作用用，而而忽忽略略波波场场E1、B1，这这样样就就不不需需要要与与之之耦耦合合的的麦麦克克斯斯韦方程组，于是就变成韦方程组，于是就变成输运方程组输运方程组。n如如果果忽忽略略碰碰撞撞项项，同同时时也也不不考考虑虑粘粘滞滞力力，而而且且取取 Ti=Te=常常量量,只只考考虑虑波波场场的的作作用用，这这样样需需保保留留波波场场的的麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组，于于是是就就得得到到描描述述等等离离子子体体波波的双流体方程组。的双流体方程组。4.3 磁（单）流体力学方程磁（单）流体力学方程 n当等离子体满足条件当等离子体

15、满足条件:电子和离子之间有很电子和离子之间有很强的耦合强的耦合，电中性电中性;研究的问题研究的问题随时间变化很缓慢随时间变化很缓慢，离子、电，离子、电子的流动速度都小于离子热运动的速度，子的流动速度都小于离子热运动的速度，n这样可以把电子、离子看成这样可以把电子、离子看成一种流体，即一种流体，即单流体模型单流体模型，它所满足的运动方程组称单，它所满足的运动方程组称单流体方程，或称流体方程，或称磁流体力学方程磁流体力学方程。n(单单)磁流体力学方程但可以从磁流体力学方程但可以从两种流体的两种流体的方程组、通过其中相应方程的求和得到。方程组、通过其中相应方程的求和得到。n描写单流体的宏观物理量定义

16、：描写单流体的宏观物理量定义：粒子数密度粒子数密度 质量密度质量密度 电荷密度电荷密度 质心速度质心速度 热运动速度热运动速度n注意：注意：热运动速度是热运动速度是以质心运动速度以质心运动速度 u作参考的作参考的 n注意：注意：n压强张量压强张量 对角项分量对角项分量n总压强张量总压强张量 其中其中 （两种粒子温度相同）（两种粒子温度相同）n热流矢量热流矢量n总热流矢量总热流矢量 n单流体速度矩的表示式单流体速度矩的表示式(用用 定义定义)（1）（2）（3）n根据以上定义和速度矩的计算结果，求不同种类根据以上定义和速度矩的计算结果，求不同种类粒子粒子速度矩方程速度矩方程，然后相应的，然后相应的

17、矩方程矩方程求和求和,得到得到单流体方程。单流体方程。n取取 代入矩方程代入矩方程,得得(前面已计算过前面已计算过)方程方程(1)(1)对对=i,e两式相加得两式相加得n单流体的单流体的连续性方程连续性方程 n类似方法，由第类似方法，由第2方程求和并应用有关定义方程求和并应用有关定义n得得n总动量守恒总动量守恒n电中性电中性n方程变为方程变为n最后最后得得运动方程运动方程 由方程由方程(3)求和得求和得单流体能量平衡方程单流体能量平衡方程碰撞项（总动能守恒）碰撞项（总动能守恒）方方程程左左方方第第1项项为为流流体体元元总总能能量量的的变变化化率率；第第2项项 经经流流体体元元表表面面流流出出去

18、去的的净净能能流流，它它分分三三个个部部分分：热热传传导导流流出出的的能能量量、流流出出的的总总能能流流和和压压强强张张量量做做的功率，在右方为电场做的功率（欧姆加热）的功率，在右方为电场做的功率（欧姆加热）n现在求得的现在求得的3个单个单流体方程，仍存在速度矩不封流体方程，仍存在速度矩不封闭问题。闭问题。n对对于于单单流流体体模模型型，等等离离子子体体行行为为变变化化更更为为缓缓慢慢，其其特特征征时时间间远远大大于于粒粒子子间间平平均均碰碰撞撞时时间间，因因而而碰碰撞撞更更加加充充分分，使使不不同同成成分分的的流流体体元元都都处处在在以以质质心心运运动动速速度度为为u的的局局部部热热平平衡衡

19、状状态态。因因此此可可以以应应用用局域性平衡的麦克斯韦速度分布局域性平衡的麦克斯韦速度分布零级近似得零级近似得n如如果果实实际际分分布布函函数数与与平平衡衡态态偏偏离离不不远远，结结果果仍仍近近似成立，这样单流体方程组就是封闭的。似成立，这样单流体方程组就是封闭的。n能量方程简化，计算是繁琐的，这里省略，其结能量方程简化，计算是繁琐的，这里省略，其结果为（取近似果为（取近似 ）n两边再乘以两边再乘以 后得后得单流体能量方程单流体能量方程n运动导体的欧姆定律运动导体的欧姆定律为为n再再加加上上电电磁磁场场中中麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组，最最后后得得磁磁（单单）流体力学方程组流体力学方程组 磁（

20、单）流体力学方程组磁（单）流体力学方程组 n共共有有14个个方方程程和和需需要要由由方方程程确确定定的的，u，p，j，E，B等等14个未知物理量，所以方程组是闭合的。个未知物理量，所以方程组是闭合的。n在运动方程和能量方程中在运动方程和能量方程中 跟随流体元运动的时间微分算符跟随流体元运动的时间微分算符n在麦克斯韦方程组中在麦克斯韦方程组中忽略了位移电流项忽略了位移电流项 因因为为在在磁磁流流体体中中场场的的变变化化比比较较缓缓慢慢，如如果果场场的的变变化较快，则位移电流项要保留。化较快，则位移电流项要保留。n两两个个散散度度方方程程只只作作为为初初始始条条件件，在在这这里里没没有有被被列列入

21、入。在在有有些些问问题题中中，由由于于正正负负电电荷荷分分离离，存存在在空空间电荷密度，则应间电荷密度，则应保留保留方程方程 这这样样增增加加了了一一个个方方程程，相相应应地地也也增增加加了了一一个个未未知知量电荷密度。量电荷密度。理想磁流体力学方程组理想磁流体力学方程组 n无粘滞性、绝热、理想导体无粘滞性、绝热、理想导体（）4.4 磁压强与磁应力磁压强与磁应力n运动方程运动方程n单位体积导电流体所受的磁力单位体积导电流体所受的磁力 其中其中 称麦克斯韦应力张量（磁场部分），在等离称麦克斯韦应力张量（磁场部分），在等离子体物理中称子体物理中称磁应力张量磁应力张量n磁力的一种新解释。取一体积磁力

22、的一种新解释。取一体积Vn式中式中 为法向矢量为法向矢量n的单位面元上的应力，称的单位面元上的应力，称磁应力磁应力 第第1项表示沿磁力线方向、大小项表示沿磁力线方向、大小B2/0为的张力，为的张力，第第2项项是是大大小小为为B2/20压压强强、方方向向与与n相相反反的的各各向向同同性的磁压强。性的磁压强。n流流体体所所受受的的磁磁力力等等效效于于各各向向同同性性的的磁磁压压强强（B2/20）和沿磁力线方向张力（）和沿磁力线方向张力（B2/0）之和。）之和。n磁磁力力线线好好像像拉拉紧紧的的橡橡皮皮筋筋，沿沿力力线线方方向向是是张张力力，磁磁场场增增强强张张力力也也增增大大。如如果果磁磁力力线线

23、是是弯弯曲曲的的，这这个个张张力就可产生一指向磁力线曲率中心的恢复力。力就可产生一指向磁力线曲率中心的恢复力。n在运动方程中考虑动力压强作用，流体总的受力在运动方程中考虑动力压强作用，流体总的受力n新定义的新定义的 为流体所受的为流体所受的总的应力张量总的应力张量。n如果如果B沿沿z轴方向，则总应力张量可以表示为轴方向，则总应力张量可以表示为n磁流体所受的总应力为各向同性的总压强磁流体所受的总应力为各向同性的总压强p*和沿和沿磁力线方向的张力磁力线方向的张力 n流体热压强与磁压强之比流体热压强与磁压强之比是磁流体力学一个重是磁流体力学一个重要无量纲参量，称要无量纲参量，称值值n值反映了磁约束的

24、性能，值反映了磁约束的性能，值越高，实现约束的代值越高，实现约束的代 价就越低，同时值也反映价就越低，同时值也反映 等离子体物理状况。等离子体物理状况。4.5 磁场的冻结与扩散磁场的冻结与扩散 n磁场的冻结与扩散是导电流体与磁场相互作用的磁场的冻结与扩散是导电流体与磁场相互作用的重要性质重要性质 由麦克斯韦方程组由麦克斯韦方程组 欧姆定律欧姆定律 消去消去 j，得，得n两边求旋度，并假设两边求旋度，并假设 为常数，得为常数，得 感应方程感应方程 量纲与流体力学中的粘滞系数相同，所以称为量纲与流体力学中的粘滞系数相同，所以称为磁粘滞系数。磁粘滞系数。n下面分两种极端情况，分别讨论感应方程右方两下

25、面分两种极端情况，分别讨论感应方程右方两项的物理意义：项的物理意义：第第1 1项：项：磁场冻结磁场冻结 第第2 2项：项：磁场扩散磁场扩散1.磁场的冻结磁场的冻结 n假设等离子体是理想导体假设等离子体是理想导体，则则感应方程感应方程变为变为称为称为冻结方程冻结方程。由这个方程可以证明如下两条定理：。由这个方程可以证明如下两条定理：n定理定理1 1 通过和理想导电流体一起运动的任何封闭回通过和理想导电流体一起运动的任何封闭回路所围曲面的磁通量是不变的。路所围曲面的磁通量是不变的。n定理定理2 2 在理想导电流体中，起始位于一根磁力线上在理想导电流体中，起始位于一根磁力线上的流体元，以后也一直处在

26、这根磁力线上。的流体元，以后也一直处在这根磁力线上。n定定理理1 1 证证明明：任任意意取取一一与与流流体体一一起起运运动动的的回回路路C，回回路路上上的的线线元元dl与与流流体体一一起起运运动动时时，单单位位时时间间切割磁力线引起的磁通变化为切割磁力线引起的磁通变化为 随流体一起运动时，闭合回路随流体一起运动时，闭合回路 C所围面积的磁通量变化率所围面积的磁通量变化率n利用冻结方程利用冻结方程n定定理理1意意义义：不不管管外外界界磁磁场场如如何何变变化化，随随着着理理想想导导电电流流体体一一起起运运动动的的任任何何闭闭合合回回路路所所围围的的磁磁力力线线数目是不变的。数目是不变的。n定理定理

27、2 证明：证明：由冻结方程由冻结方程n应用连续性方程应用连续性方程 得得 改写为改写为 上上式式冻冻结结方方程程和和连连续续性性方方程程的的结结果果,其其意意义义实实际际上证明了定理上证明了定理2 2。下面进行说明：下面进行说明：设设在在一一根根磁磁力力线线上上取取一一流流体体物物质质线线元元 ，线线元元一一端端流流速速为为u，另另一一端端为为 ，因因此此单单位位时时间间流流体体线元的变化率线元的变化率 两两方方程程相相比比，与与 B/满满足足相相同同的的时时间间演演化化方方程程。这这表表明明，如如果果初初始始时时矢矢量量 与与B/平平行行，则则以以后后也也保保持持平平行行，而而且且它它们们的

28、的长长度度也也成成比比例例地地变变化化。也也就就是是说说，开开始始时时如如果果 在在一一根根磁磁力力线线上上（与与B/平平行行），以后任何刻也都处在这根磁力线上。，以后任何刻也都处在这根磁力线上。以以上上两两个个定定理理说说明明：在在理理想想导导电电流流体体中中，不不仅仅与与流流体体一一起起运运动动的的回回路路所所包包围围的的磁磁力力线线数数目目不不变变，而而且且物物质线元只能沿同一根磁力线运动。质线元只能沿同一根磁力线运动。n磁磁场场冻冻结结现现象象：流流体体沿沿磁磁力力线线方方向向运运动动是是自自由由的的，如如果果流流体体有有垂垂直直于于磁磁力力线线方方向向的的运运动动，则则磁磁力力线线也

29、也要要随随着着流流体体物物质质一一起起运运动动。就就好好像像磁磁力力线线被被“冻冻结结”在在理理想想导导电电流流体体中中，或或者者是是理理想想导导电电流流体体物物质质粘粘在磁力线上。在磁力线上。n物物理理上上理理解解：当当导导体体有有切切割割磁磁力力线线的的相相对对运运动动时时就就产产生生感感应应电电场场和和感感应应电电流流，感感应应电电流流的的方方向向使使它它产产生生的的磁磁场场来来对对抗抗原原来来磁磁场场的的变变化化。对对于于理理想想导导体体，因因为为电电导导率率趋趋于于，只只要要有有感感应应电电场场，引引起起的的感感应应电电流流就就无无限限大大。因因此此在在理理想想导导体体中中就就不不允

30、允许许存存在在感感应应电电场场，即即不不允允许许导导电电流流体体有有切切割割磁磁力力线线的的相相对对运运动动，所以磁力线被冻结在理想导电的流体中。所以磁力线被冻结在理想导电的流体中。n高高温温等等离离子子体体是是电电导导率率很很大大的的流流体体，在在其其中中的的磁磁场场就就有有“冻冻结结”现现象象。原原来来在在等等离离子子体体外外的的磁磁场场，也也就难以进入等离子体内。就难以进入等离子体内。2.磁场的扩散磁场的扩散 n电导率有限，并假定流体电导率有限，并假定流体静止静止不动不动(u=0)=0)，感应感应方程变为方程变为 即即 这这是是磁磁场场的的扩扩散散方方程程，说说明明当当电电导导率率有有限

31、限时时，磁磁力力线线不不完完全全冻冻结结在在等等离离子子体体中中，等等离离子子体体中中的的磁磁场场会会随随时时间间衰衰减减，即即磁磁场场从从强强的的区区域域向向弱弱的的区区域域扩散。扩散。n估算磁场从等离子体中扩散出去的特征时间（磁估算磁场从等离子体中扩散出去的特征时间（磁扩散时间或磁衰减时间）扩散时间或磁衰减时间）n设原来磁场集中在线度为设原来磁场集中在线度为L的等离子体区域的等离子体区域n扩散方程扩散方程n方程的解方程的解n磁扩散时间或衰减时间磁扩散时间或衰减时间n电导率越大，磁场衰减越慢，如果电导率为无穷电导率越大，磁场衰减越慢，如果电导率为无穷大，则磁场不衰减（冻结）。对于有限电导率的

32、大，则磁场不衰减（冻结）。对于有限电导率的流体，如果它的特征长度流体，如果它的特征长度L越大，则磁场衰减也越大，则磁场衰减也越慢。对于宇宙等离子体，因为它的线度越慢。对于宇宙等离子体，因为它的线度L很大，很大，所以衰减时间就特别长。（见表所以衰减时间就特别长。（见表4.5.1）3.横越磁场扩散与玻姆扩散横越磁场扩散与玻姆扩散 n前面研究了两种极端情况效应，即磁场冻结与磁场前面研究了两种极端情况效应，即磁场冻结与磁场扩散，实际上两项效应都存在。扩散，实际上两项效应都存在。n现在研究稳态情况下，现在研究稳态情况下，垂直磁场方向等离子体的定垂直磁场方向等离子体的定向流动，即横越磁场扩散向流动，即横越

33、磁场扩散。感应感应方程为方程为 因为因为 ，近似常量，则得（不是唯一近似常量，则得（不是唯一!）n上式两边同上式两边同B，得得稳态时稳态时 流体运动方程流体运动方程假定电子、离子密度相同，假定电子、离子密度相同，电子温度与离子温度不同，电子温度与离子温度不同，则则 n以后可以证明，等离子体电导率以后可以证明，等离子体电导率 式中式中 为电子与离子碰撞频率为电子与离子碰撞频率 这是这是典型的扩散方程典型的扩散方程 u为横向扩散流速度，为横向扩散流速度，D为横向扩散系数。为横向扩散系数。n结结果果表表明明，要要维维持持稳稳态态磁磁场场，一一定定要要存存在在横横越越磁磁场的稳定扩散流。场的稳定扩散流

34、。n横横向向扩扩散散系系数数与与磁磁场场强强度度的的平平方方成成反反比比，通通常常称称这这种种扩扩散散为为经经典典扩扩散散。只只要要磁磁场场B足足够够大大，则则扩扩散系数就很小。散系数就很小。n实实验验发发现现，横横向向扩扩散散系系数数比比经经典典扩扩散散高高得得多多。在在20世世纪纪40年年代代，Bohm等等人人就就注注意意到到磁磁约约束束等等离离子子体体中中反反常常扩扩散散现现象象。他他发发现现横横向向扩扩散散系系数数是是与与磁磁场场强强度度成成反反比比。Bohm给给出出一一个个半半经经验验的的扩扩散散系系数数公式：公式：DB称称玻玻姆姆扩扩散散系系数数，后后来来许许多多实实验验结结果果都

35、都相相符符合合，因此就把这种因此就把这种反常扩散称为反常扩散称为Bohm扩散扩散。n玻玻姆姆扩扩散散系系数数比比经经典典扩扩散散系系数数大大几几个个量量级级。后后来来对对玻玻姆姆扩扩散散机机制制有有许许多多研研究究，也也有有几几种种不不同同解解释释，如如湍湍流流电电场场的的存存在在、粒粒子子和和电电场场涨涨落落、存存在在不不对对称称电电场场导导致致指指向向器器壁壁的的电电漂漂移移流流等等。目目前前，很很多多实实验验的的扩扩散散系系数数已已经经比比Bohm扩扩散散系系数数低低得得多多。现现在都把玻姆扩散系数作为估计反常扩散的上限。在都把玻姆扩散系数作为估计反常扩散的上限。4.6 磁流体平衡与箍缩

36、效应磁流体平衡与箍缩效应 1.磁流体平衡磁流体平衡n要实现等离子体的磁约束，要实现等离子体的磁约束，首先要实现平衡首先要实现平衡。当当磁磁流流体体的的每每一一小小体体积积元元所所受受的的合合力力为为0 0时时，则则可实现平衡。因此，运动方程可实现平衡。因此，运动方程n等离子体等离子体平衡条件平衡条件n只只有有电电流流洛洛仑仑兹兹力力与与压压强强梯梯度度相相等等时时，等等离离子子体体才能达到平衡。才能达到平衡。n由平衡条件由平衡条件 平衡时磁力线和电流线都应在等压面上平衡时磁力线和电流线都应在等压面上。n一般等离子体都是中间密度大，到边缘密度减小直一般等离子体都是中间密度大，到边缘密度减小直到到

37、0.0.等离子体流体元受的压力等离子体流体元受的压力 是垂直等压面向外是垂直等压面向外 流体元上电流受洛仑兹力流体元上电流受洛仑兹力 垂直等压面向里，垂直等压面向里，这两种力相互抵消才能达到平衡这两种力相互抵消才能达到平衡.n 就是就是磁场对等离子体施加的约束力磁场对等离子体施加的约束力。n如果如果磁力线是直线而且互相平行磁力线是直线而且互相平行，平衡条件简化，平衡条件简化 n平衡条件平衡条件 磁力线平直线磁力线平直线,沿磁场方向沿磁场方向B无变化无变化 平衡条件为平衡条件为n平衡条件在整个区域都必须满足。平衡条件在整个区域都必须满足。一般动力压强中心区域最大、向边缘减小，实现平一般动力压强中

38、心区域最大、向边缘减小，实现平衡，磁场从中心区比较弱到边缘逐渐增强，压强与衡，磁场从中心区比较弱到边缘逐渐增强，压强与磁压强之和为常量。说明磁压强之和为常量。说明等离子体具有反磁性等离子体具有反磁性。2.箍缩效应箍缩效应n流过等离子体的强电流和这电流产生的磁场之间的相互作流过等离子体的强电流和这电流产生的磁场之间的相互作用，能引起等离子体向中心区域压缩，并使等离子体密度、用，能引起等离子体向中心区域压缩，并使等离子体密度、温度增加，这种效应称为箍缩（温度增加，这种效应称为箍缩（pinch）效应。）效应。（1）角向箍缩）角向箍缩(-pinch)圆柱形放电管内充有气体，圆柱形放电管内充有气体，在它

39、外面包围一同轴的在它外面包围一同轴的 柱形单匝线圈。当开关柱形单匝线圈。当开关K 接通，电容器接通，电容器C就快速给就快速给 线圈放电，流经线圈的线圈放电，流经线圈的 电流在放电管中产生与管电流在放电管中产生与管 轴同向的变化的磁场，从轴同向的变化的磁场，从 而在管内产生角向的感应电场。而在管内产生角向的感应电场。-Pinchn由法拉第电磁感应定律由法拉第电磁感应定律n得得n在初始阶段，在初始阶段，E方向与电流的方向相反，而且在管方向与电流的方向相反，而且在管壁附近壁附近E较大。如果较大。如果 上升很快，管壁附近气体上升很快，管壁附近气体先击穿，形成等离子体，同时有一薄层角向感应电先击穿，形成

40、等离子体，同时有一薄层角向感应电流。感应电流与沿轴向的磁场流。感应电流与沿轴向的磁场B形成的洛仑兹力，形成的洛仑兹力，使等离子体脱离管壁并向轴线压缩，提高等离子体使等离子体脱离管壁并向轴线压缩，提高等离子体密度并增加动能，经粒子间碰撞提高等离子体温度，密度并增加动能，经粒子间碰撞提高等离子体温度，最后磁压强与热压强达到平衡，形成等离子体柱，最后磁压强与热压强达到平衡，形成等离子体柱，获得磁约束的高温等离子体。角向感应电流与外线获得磁约束的高温等离子体。角向感应电流与外线圈中电流产生的轴向磁场相互作用，在径向引起箍圈中电流产生的轴向磁场相互作用，在径向引起箍缩（或压缩）称为角向箍缩（缩（或压缩）

41、称为角向箍缩（-pinch）。）。n角向箍缩的平衡条件角向箍缩的平衡条件 取柱坐标系（取柱坐标系（r,z）,等离子体电流等离子体电流 电流产生的磁场电流产生的磁场 ，由由 得得 平衡条件平衡条件取等离子体半径取等离子体半径 r=a 时时得得角向箍缩平衡条件角向箍缩平衡条件 角向箍缩平衡时各物理量的径向分布角向箍缩平衡时各物理量的径向分布 n在在等等离离子子体体柱柱界界面面上上压压强强为为0，根根据据平平衡衡条条件件，在在柱柱界界面面上上磁磁场场最最强强，沿沿半半径径向向里里（轴轴心心）等等离离子子体体压压强强增增大大，则则磁磁场场减减小小，但但热热压压强强与与磁磁压压强强之之和和保保持不变。持

42、不变。n实实际际上上，由由于于放放电电管管两两端端是是开开口口的的，不不受受磁磁场场约约束束，等等离离子子体体会会从从两两端端逃逃逸逸，因因此此这这种种平平衡衡维维持持时时间间很很短，约微秒量级。短，约微秒量级。（2）z箍缩（箍缩（z-pinch）n沿沿z轴的直圆柱形放电管，轴的直圆柱形放电管，脉冲放电时形成等离子体。脉冲放电时形成等离子体。设沿轴向流过轴对称的电设沿轴向流过轴对称的电流，电流产生的磁场，由流，电流产生的磁场，由于电流与自身磁场的相互于电流与自身磁场的相互作用作用 ，使等离子体受，使等离子体受到指向轴线方向的作用力，到指向轴线方向的作用力，把等离子体向轴线方向压把等离子体向轴线

43、方向压缩，这就是缩，这就是z箍缩效应。箍缩效应。Z-Pinchn设平衡时柱的半径为设平衡时柱的半径为a，柱内压强分布为，柱内压强分布为p(r)。麦克斯韦方程麦克斯韦方程 在柱坐标系中表示为在柱坐标系中表示为 解得磁场分布解得磁场分布总电流总电流 由由平衡条件平衡条件 n方程的解方程的解 因为因为 r=a，p(a)=0,p0为为r=0 时的动力压强时的动力压强 等离子体柱内平均压强（只能求平均！）等离子体柱内平均压强（只能求平均！）这这就就是是平平衡衡状状态态时时等等离离子子体体柱柱的的平平均均压压强强、总总电电流、柱半径之间的关系。流、柱半径之间的关系。n对于热核聚变，要求等离子体温度对于热核

44、聚变，要求等离子体温度10keV，密度，密度1021m-3，估计放电电流，估计放电电流9108aA，这个电流在柱，这个电流在柱面上产生的磁场。因此要约束高温等离子体需要面上产生的磁场。因此要约束高温等离子体需要很大的电流。很大的电流。n只有给出电流密度分布，以上相关的计算公式才只有给出电流密度分布，以上相关的计算公式才能给出各物理量的径向分布。能给出各物理量的径向分布。电流分布在柱面上很薄的一层内电流分布在柱面上很薄的一层内 电流密度在柱内为常量电流密度在柱内为常量 平衡的稳定性问题平衡的稳定性问题扭曲型不稳定性扭曲型不稳定性4.7 广义欧姆定律与等离子体电导率广义欧姆定律与等离子体电导率 n

45、如果等离子体中离子和电子的平均速度不同，则如果等离子体中离子和电子的平均速度不同，则它们之间的相对运动就会产生宏观电流。它们之间的相对运动就会产生宏观电流。应用双应用双流体模型来研究电流的规律。流体模型来研究电流的规律。1.1.广义欧姆定律广义欧姆定律设电子和离子的密度相同设电子和离子的密度相同 ne=ni=n，并保持电中性并保持电中性,摩擦阻力通常可写成前苏联布拉金斯基定义的形式摩擦阻力通常可写成前苏联布拉金斯基定义的形式同类粒子碰撞对摩擦阻力无贡献同类粒子碰撞对摩擦阻力无贡献 n双流体运动方程双流体运动方程 n用用e/mi乘乘以以第第1式式，e/me乘乘以以第第2式式，然然后后两两式式相相

46、减减，得得n电流密度电流密度 n做近似做近似n前式左方第前式左方第1项项 忽略了二级小量项。忽略了二级小量项。左方第左方第2项为二级小量项，项为二级小量项，也可忽略。也可忽略。n前式右方第前式右方第2项中因子项中因子n最后得最后得 上式就是等离子体的上式就是等离子体的广义欧姆定律广义欧姆定律 n等离子体电导率等离子体电导率n对于稳恒情况，对于稳恒情况，广义欧姆定律为，广义欧姆定律为n这这就就是是宏宏观观描描述述等等离离子子体体的的导导电电性性质质。方方括括号号中中第第1项项就就是是通通常常磁磁流流体体运运动动时时欧欧姆姆定定律律，是是运运动动流流体体电电场场引引起起的的电电流流；方方括括号号中

47、中第第2、3项项是是双双流流体效应增加的项体效应增加的项:第第2项霍尔电流项霍尔电流 磁场对等离子体电子磁场对等离子体电子洛仑兹力洛仑兹力的影响的影响 第第3项是电子压强梯度引起的项是电子压强梯度引起的 等离子体温度或密度不均匀都会引起等离子体温度或密度不均匀都会引起 n如如果果洛洛仑仑兹兹力力与与热热压压力力同同一一量量级级，则则双双流流体体效效应应增增加加的的这这两两项项也也同同一一量量级级。现现在在可可以以估估计计这这两两项项的量级：的量级：当当 时时，双双流流体体效效应应的的两两项项可可以以忽忽略略，欧姆定律就是通常的磁流体形式。欧姆定律就是通常的磁流体形式。当当 时时，双双流流体体的

48、的两两项项引引起起的的电电流流就就很很大，可以大大超过大，可以大大超过j j。n一一般般情情况况，研研究究等等离离子子体体准准稳稳态态或或静静态态的的磁磁流流体体行行为为时时（如如平平衡衡），双双流流体体效效应应的的两两项项可可以以忽忽略略。但但是是，如如果果研研究究磁磁流流体体中中波波的的行行为为，则则这这两两项项不不能能忽忽略略。因因此此，广广义义欧欧姆姆定定律律中中的的各各项项大大小小及及取取捨，要视研究的具体问题而定。捨，要视研究的具体问题而定。2.等离子体电导率等离子体电导率n引入有效电场引入有效电场n广广义义欧欧姆姆定定律律可可以以表表示示为为（电电子子离离子子平平均均碰碰撞撞时时

49、间间 ）n选直角坐标系，选直角坐标系，x 轴沿轴沿B方向，则上式可以写为方向，则上式可以写为n由方程组，解得由方程组，解得n也可改写为也可改写为n 电导率张量，也可表示为电导率张量，也可表示为 结果讨论：结果讨论：n一般情况下，一般情况下，j 与与 方向不一致方向不一致!存在磁场时，等离子体是存在磁场时，等离子体是各向异性导电介质各向异性导电介质!但但 j 与与 各分量具有线性关系各分量具有线性关系,电导率是张量形式电导率是张量形式（i）如果）如果 与与 B平行平行 表明表明 j 与与 同方向，而且电导率为同方向，而且电导率为 并与磁场大小并与磁场大小无关无关:（ii）如果）如果 与与 B 垂

50、直垂直 设设 沿沿 z 轴方向，即轴方向，即磁场方向磁场方向霍尔电流霍尔电流电场方向电场方向n沿电场方向电导率多了因子沿电场方向电导率多了因子 如果磁场很强，则电导率降低很多；如果磁场很强，则电导率降低很多；n既既垂垂直直电电场场又又垂垂直直磁磁场场的的电电流流（jy），这这就就是是霍霍尔电流，尔电流，沿沿这这个个方方向向的的电电导导率率比比沿沿电电场场方方向向的的大大（）倍，但还是比倍，但还是比 小小,因为因为n无无磁磁场场情情况况：B=0，而而且且 （金金属属导导体体）则则简化为简化为n这这就就是是普普通通导导体体情情况况或或无无磁磁场场等等离离子子体体情情况况，这这时时 j 与与 E 同