立体几何中的向量法--夹角问题讲课教案.ppt

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1、立体几何中的向量法立体几何中的向量法-夹角角问题http:/ 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题.用空间向量解决立体几何问题的三步曲：用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题.2.（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题.3

2、.（回到图形问题）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.O OA AB B.异面直线所成的角异面直线所成的角lmlm若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 ,则则线面角线面角llDClBA 二面角二面角注意法向量的方向：同进同出，注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量一进一出，二面角等于法向量夹角夹角l二面角的范围：二面角的范围：题型一求异面直线的夹角题型一求异面直线的夹角 正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分分别别是是A1D1、A1C1的中点，求异面直的中点，求异面直线线AE与与CF所成角的余弦所成角

3、的余弦值值【例例1】解解不妨设正方体棱长为不妨设正方体棱长为2，分别取，分别取DA、DC、DD1所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，轴建立如图所示空间直角坐标系，则则规律方法规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线求解但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别所成角的区别例例2、在直三棱柱、在直三棱柱ABCA1B1C1中中,AC=3,

4、BC=AA1=4,AB=5,D是是AB的中点。的中点。(1)求证：求证：AC1/面面CB1D(2)求求AC1与与B1C所成角的余弦值。所成角的余弦值。c1ABCA1B1D 四棱四棱锥锥PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA与平面与平面ABCD所成的角所成的角为为60，在四，在四边边形形ABCD中，中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐建立适当的坐标标系，并写出点系，并写出点B、P的坐的坐标标；(2)求异面直求异面直线线PA与与BC所成的角的余弦所成的角的余弦值值【变式变式1】解解(1)如如图图，建立空，建立空间间直角坐直角坐标标系系ADCDAB90，AB4，CD

5、1，AD2.A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)由由PD平面平面ABCD，得，得题型二求线面角题型二求线面角【变式变式2】(12分分)如如图图所示，正三棱柱所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱的所有棱长长都都为为2，D为为CC1的中的中点，求二面角点，求二面角AA1DB的余弦的余弦值值题型三二面角的求法题型三二面角的求法【例例3】规范解答规范解答如图所示，取如图所示，取BC中点中点O，连，连结结AO.因为因为ABC是正三角形，所以是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱，因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面中，平面ABC平面平面BCC1B1，所，所以以AO平面平面BC

6、C1B1.【题后反思题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性的巨大优越性(1)证证明：直明：直线线MN平面平面OCD；(2)求异面直求异面直线线AB与与MD所成角的大小所成角的大小思路分析思路分析 建系建系求相关点

7、坐标求相关点坐标求相关向量坐标求相关向量坐标向量运向量运算算结论结论解解作作APCD于点于点P，分，分别别以以AB，AP，AO所在的直所在的直线为线为x，y，z轴轴建立空建立空间间直角坐直角坐标标系系Axyz，如，如图图所示，所示，【示示例例】例例3.3.长方体中，长方体中，AB=2AB=2，BC=BBBC=BB1 1=1=1，E E为中点为中点（1 1）求证：面）求证：面EBDEBD面面EBCEBC；（2 2）求）求DCDC与面与面EBCEBC所成的角；所成的角；（3 3）求二面角）求二面角C-DE-BC-DE-B。A1C1B1BCD1EAD例例6.6.正方体中，正方体中，P P为为A A1

8、 1B B1 1中点中点（1 1）求二面角）求二面角A A1 1-AC-AC1 1-B-B1 1（2 2）求二面角）求二面角P-ACP-AC1 1-B-B1 1（3 3）求面）求面PACPAC1 1与面与面ABCDABCD所成的锐二面角。所成的锐二面角。A1C1B1BCD1ADP 例例1 1：如如图图，甲站在水，甲站在水库库底面上的点底面上的点A A处处，乙站在水，乙站在水坝坝斜面上的点斜面上的点B B处处。从从A A，B B到直到直线线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 ,AB,AB的长为的长为 。求库底与水

9、坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：解：如图，如图，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则进行向量运算进行向量运算ABCD例例1图图典例展示典例展示所以所以回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为于是，得于是，得设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。因此因此例例2 2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PCP

10、C的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：PA/PA/平面平面EDB.EDB.(2)(2)求证：求证：PBPB平面平面EFD.EFD.A AB BC CD DP PE EF F(3)(3)求二面角求二面角C-PB-DC-PB-D的大小的大小.ABCDP PE EF FxyzG解：解：如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立空间直角坐标系，点D D为坐标为坐标原点，设原点，设DC=1.DC=1.(1)(1)证明：连接证明：连接AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连接连接EG.EG.(3)(3)(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异

11、面直线AB与MD所成角的大小 例例3.3.分析：分析：建系建系求相关点坐标求相关点坐标求相关向量坐标求相关向量坐标向量运向量运算算结论结论解解作作APAPCDCD于点于点P P，分，分别别以以ABAB，APAP，AOAO所在的直所在的直线为线为x x，y y，z z轴轴建立空建立空间间直角坐直角坐标标系系A Axyzxyz，如，如图图所示，所示，A AA AD D 面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形二、利用向量求空间角二、利用向量求空间角一、用空间向量解决立体几何问题的一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”课后练习课后练习课后习题课后习题此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢