第六章 定积分及其应用.pdf

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1、第六章 定积分及其应用第一节 定积分的计算一、定积分的概念与性质1.定积分的定义$()=lim.01(3)3,其中=max8939:3:3=8?2.函数可积的充分条件（1）设()在,上连续，则定积分()存在?（2）设()在,上只有有限个第一类间断点，则定积分()存在?（3）设()在,上有界，且只有有限个间断点，则定积分()存在?（4）设()在,上单调有界，则定积分()存在?3.函数可积的必要条件若()在,上可积，则()在,上有界4.变上限积分的性质设 F()=$(),则K?（1）当()在,上可积时，F()在,上连续（2）当()在,上连续时，F()在,上可导（3）当()在,上阶可导时，F()在,

2、上+1 阶可导5.定积分的性质（1）8()P()?=8()?+P()?（2）()?=()R?+()R（3）设()(),则()?()?（4）T()?T|()|?韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

3、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化更多考研押题资料视频，【公众号：小盆考研】免费提供无水印版由【公众号：小盆考研】免费提供无水印版由【公众号：小盆考研】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆考研】，回复【数学预测】免费获取更多考研数学预测卷，【公众号：小盆考研】，回复【数学预测】

4、免费获取更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆考研】，回复【数学】免费获取（5）设()在,上的最大值和最小值分别为 M 和，则()$()?()（6）积分中值定理：设()在,上连续,则$()?=()(),(,)6.牛顿莱布尼兹公式设()在,上可积且存在原函数 F()，则$()?=()()二、定积分的换元法$()K=()_a?$()cd()其中=()在,(或,上有连续导数,且()=,()=,()b.三、定积分的分部积分法$=|?$?四、对称区间上的定积分（1）设()连续，则()=8P?k?()+()?k?=()+()?0（2）()=?k?l2(),()为偶函数?00，()为奇函数五、常用的定积分

5、计算公式1.:=:=s:k8:ku:kP 8PwP，为正偶数:k8:ku:kP xyPu，为大于 1 的正奇数z0z0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

6、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化2.设()在0,2上连续，则（1）:=2:z0w0（2）:=w0s2:z0,为正偶数0，为正奇数（3）()=2()z0w0（4）(|)=2()z0w0（5）(|)=(|)=Pw0Pw04()=4()z0z0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林

7、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林

8、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化典型例题分析类型题一 定积分的性质例 1证明：不等式8P 3:KK=0z080韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文

9、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题五 对称区间上的定积分例 10计算 I=PKKRK88kK8k8韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

10、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

11、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 11计算 I=RK8“”zkz韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文

12、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 12设()为连续的奇函数,()=()+.8K0K0,且 F(1)=,求 F(-1)韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

13、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 13设(),()在,(0)上连续，()为偶函数，且(

14、)+()=(为常数）（1）证明：()()=()?0?k?（2）利用(1)的结论计算 I=|Kzkz韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文

15、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题六 分段函数带绝对值符号的函数的定积分例 14求 I=(1),其中()=s88K,088“,0),求()的表达式和()的最小值韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

16、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

17、林文化韦林文化类型题七 周期函数的定积分设(+)=(),则（1）()=()0:0（2）()=()0?例 17求=T.Kcos(8K)T,为正整数8“”z韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

18、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化第二节 积分变限函数的求导问题积分变限函数的求导可分为以下几种类型1.公式型$()(K)(K)=P(P()8(8()2.乘积型$(P P)()K0=P()P()K0K0=2 ()+P()P()K0=2()K03.换元型（1）(P P)K0令P P=,=8P

19、(P P)则(P P)K0=8P()K0从而(P P)K0=8P(P)2=(P)（2）()80令=,则()80=()8K(0)K0所以()80=8K()+8K()K0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

20、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化典型例题分析例 1设()=3:,()=(1+),求limK0d(K)c(K)3:K0yK0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

21、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

22、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 2求limK0-(8).K(8kRK)韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文

23、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 3设 F()=(P P),其中()在=0 的某邻域内连续，且(0)=K00,(0)=1,求limK0()x韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

24、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 4设()连续，且(0

25、)0,求limK0(Kk)().K (Kk).韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

26、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 5设()连续，()=(),且limK0(K)K=,求F(),并讨论F()在80=0 处的连续性韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

27、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 6求limK0.ku(k).K韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文

28、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文

29、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 7求 lim088k“”k(Kk)K0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林

30、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化第三节 积分不等式与积分等式典型例题分析类型题一 积分不等式例 1设()在0,+)上连续且单调减少,证明：当 0 0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

31、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

32、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 2设()和()在0,1上有连续导数，且(0)=0,()0,()0证明：对任意 0,1，有$()()+$()()()(1)80?0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林

33、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 3设(),()在,上连续，()单调增加，且 0 ()1,证明：（1）0 (),K?（2）()()()?().?韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

34、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

35、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 4设=ln(),=ln(),=ln(),则,的z0z0z0大小关系为（）A.B.C.D.韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文

36、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 5设=K(=1,2,3),则（）w0A.8 P uB.u P 8C.P u 8D.P 8 0)上有二阶连续导数，且(0)=0（1）写出()带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式（2）证明:至少

37、存在一点 ,使得u()=3()?k?韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林

38、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 8设()在0,上连续，且()=()=0,证明：在w0w0(0,)内至少寻在两个不同的点8,P,使得(8)=(P)=0韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林

39、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 9设()在0,1上连续，且(0)=(1)=0,证明：（1

40、）()=8P(1)()8080（2）T()80T 88Pmax09K98|()|韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化

41、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化第四节 反常积分一、无穷区间上的反常积分1.定义设 F()为()的一个原函数，则$()=lim$()=()|?$()=klim?k$()=()|k?$()=$()+$()0k=()|0+()|k00k2.敛散性判别法比较判别法：设(),()在,+)上连续，且存在 ,使得当 时有0 ()()（1）若()收敛,则()收敛?（2）若

42、()发散,则()发散?比较判别法的极限形式：设()在,+)上非负连续，且limK()=（1）当 0 1 时，()收敛?（2）当 0?设()在点=的任一邻域内都无界，则韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

43、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化$()=lim0$()k?2.敛散性判别法比较判别法的极限形式：设()在(,上非负连续，=为瑕点，limK?()()=(1)当 0 +,且 1 时，$()收敛?(2)当 0 RR?()在=,=的任一邻域内都无界四、伽马函数()=$dk8kK(

44、0)0伽马函数的性质如下：(+1)=(),(+1)=!,12=,(1)=1韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文

45、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化典型例题分析例 1设 limK8KK?K=,则=?k韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

46、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 2判断下列反常积分的敛散性（1）.KK8K8韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

47、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

48、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化（2）.K(8K)80韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林

49、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 3下列反常积分收敛的是（）A.K8Kk B.:KKPC.KK:KP D.K“P韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦

50、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦