第一章 数学起源与早期发展.doc

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1、为什么选数学史？有几种原因：(1) 听故事 (2)找思想 (3)解疑惑 (4)补遗憾 (5)猎奇 (6)无奈（为学分）本课程或多或少能满足以上需求对多数人而言，数学恐怕是花力气最多而收效甚少的一门学科。原因固然是多方面的，但僵化呆板的教科书和多年来因急功近利而形成的应试教育无疑是罪魁祸首。将定义、定理、推论一古脑地堆砌在一起是国内数学教科书一成不变的模式，似乎只有这样才能体现数学的严谨。数学家的智慧之光不见了，我们看到的只是些既不知出自谁手，又不知有何用途的空洞理论。同学们对数学的那种与生俱来的好奇心也不见了，我们看到的只是些在那无边的题海中苦苦挣扎的身影。不少同学视数学为畏途已是不争的事实，

2、这为我们的教育工作者敲响了警钟。如何使同学们对数学有兴趣呢？捷径只有一条，那就是要让同学们了解数学的历史。俗话说：内行看门道，外行看热闹。你可能因抽象的符号或概念而一时感到困惑，但这不能成为你拒绝这门课的理由，因为这对我们来说或许不是最重要的，重要的是历代数学家的工作和生活能给我们以什么样的启示。你或许为数学家们为克服困难而表现出的睿智而惊讶，或许为他们身处逆境但仍对事业孜孜以求的精神而感动，或许为他们因触犯传统势力而受到不公正的待遇而愤怒，或许为他们正值事业顶峰时英年早逝而唏嘘。不管你出于什么目的来到了这个课堂，相信在听完这门课之后都会重新认识数学、感悟数学。到那时，你可能会对没有选这门课的

3、同学说：你该去听听数学史，那课听起来还有点儿意思。第一章 数学起源与早期发展1.1 数与形概念的形成数的概念和计数远在有文字记载以前就发展起来了，因而对其发展方式大都只能揣测。我们有理由相信，人类在最原始的时代就有了数的意识，至少在为数不多的东西中增加或取出几个时，能够辨认其多寡。随着社会的逐步进化，必然要涉及简单的计算。一个部落必须知道它有多少成员、有多少敌人；一个人也需要知道他羊群里的羊是否少了。或许最早的计数方法是使用简单的算筹以一一对应的原则来进行的。例如，当数羊的时候，每有一只羊就扳一个手指头。数的概念的形成大约是在30万年以前，它与火的使用一样古老，但对于人类文明的意义绝不亚于火的

4、使用。当对数的认识越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是就导致了记数，而记数是伴随着计数发展起来的。最早可能是手指计数，以至一只手上的五个手指可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。两只手的手指和在一起，可以用来表示不超过10个事物的集合。亚里士多得由此得出结论：今天十进制的广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学事实的结果。当指头不够用时，就出现了石子记数等，以便表示同更多的集合元素的对应。但记数的石子堆很难长久保存信息，于是又有了结绳记数和刻痕记数。中国古代文献周易系辞下有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”之说。“结绳而治”，即结绳记事

5、或结绳记数，“书契”就是刻划符号。结绳方法不仅在中国而且在世界其他许多地方都曾使用过，有些结绳实物甚至保存下来。如美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当事人称之为基普（quipu）：在一根较粗的绳上拴系有颜色的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜色和结的位置、形状表示不同的事物或数目。右图是一个基普的实物照。这种记事方法在秘鲁高原一直盛行到19世纪，而世界上有些地方如日本的琉球岛居民至今还保持着结绳记事的传统。迄今发现的人类刻痕记数的最早证据，是1937年在捷克的摩拉维亚(Moravia)出土的一块幼狼胫骨，如图，其上有55道刻痕。这块狼骨的年代，据考大约在3万年前。又经

6、历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统。以下按时代顺序列举世界上几种古老文明的早期记数系统： 其中除了巴比伦契形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数系。记数系的出现使数与数之间的书写运算成为可能，在此基础上初等算术便在几个古老的文明地区发展起来。与算术的产生相仿，最初的几何知识则从人们对形的直觉中萌发出来。史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以再现。下图显示了早期人类的几何兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形式的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的运用。经验的几何知识随着

7、人们的实践活动而不断扩展，不过在不同的地区，几何学的这种实践来源方向不尽相同。据考证，古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。“几何学”一词的希腊文意为“测地”。古代印度几何学则起源于宗教实践，公元前8世纪至5世纪形成的所谓“绳法经”，就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载。在古代中国，几何学起源更多的与天文观测相联系。中国最早的数学经典周髀算经事实上是一部讨论西周初年（公元前1100左右）天文测量中所用数学方法（“测日法”）的著作。1.2河谷文明与早期数学历史学家往往把起源于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与

8、幼发拉底河，黄河与长江，印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。从可以考证的史料看，古埃及与美索不达米亚的数学在年代上更为久远，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚的中国与印度数学则延续到纪元之后并在中世纪臻于高潮。因此为叙述连贯起见，我们在本章中主要介绍古埃及与美索不达米亚的数学，而将古代中国与印度数学放到中世纪的章节中一并讲述。1.2.1埃及数学肥沃的尼罗河谷，素称“世界最大沙漠中的最大绿洲”，那里的人民依靠广阔的地理屏障在不受外来侵扰的环境下独立地创造了灿烂的文明，这种文明以古老的象形文字和巨大的金字塔为象征，从公元前3100年左右美尼斯(Menes)统一上、下埃及及建立第一王朝起，到公元前33

9、2年亚历山大大帝(Alexander the Great)灭最后一个埃及（波斯）王朝（第三十一王朝）止，前后绵延约三千年。埃及象形文字（hieroglyphic，意为“圣刻”神圣的雕刻）产生于公元前3500年左右，约公元前2500年被简化为一种更易书写的“僧侣文(hieratic，僧侣用来记事)”，后又发展为所谓“通俗文(domotic)”。长期以来，这些神秘的文字始终是不解之谜，直到1799年拿破仑远征军的士兵在距离亚历山大城不远的古港口罗赛塔发现一块石碑，碑上刻有用三种文字希腊文、埃及僧侣文和象形文记述的同一铭文（这块石碑后来就叫“罗赛塔石碑”），才使精通希腊文的学者找到了解读埃及古文字的

10、钥匙。19世纪初，法国文字学家商博良(J-F.Champollion,1790-1832)和英国物理学家杨(Thomas Young,1773-1829)在这方面取得了突破，为人们通过阅读象形文或僧侣文文献认识、理解包括数学在内的埃及古代文明打开了大门。古埃及人在一种用纸莎草（paperus）压制成的草片上书写，这些纸草书有些幸存至今。我们关于古埃及数学的知识，主要就是依据了两部纸草书莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。莱茵德纸草书最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱茵德(H.Rhind)购得，因名。该纸草书现存伦敦大英博物馆,见图。有时人们也称这部纸草书为阿姆士纸草书，以纪念一位

11、叫阿姆士的人，他在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书。而根据阿姆士所加的前言可知，他抄录的是一部已经流传了两个多世纪的更古老的著作，其中涉及的数学知识一部分可能得传于英霍特普(Imhotep)。此人是法老卓塞尔的御医，同时也是一位传奇式的建筑师，曾督造过这位法老的金字塔。莫斯科纸草书又叫戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆。据研究，这部纸草数是出自第十二王朝一位佚名作者的手笔（约公元前1890年），也是用僧侣文写成。这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集。莱茵德纸草书的主体部分由48个问题组成，莫斯科纸草书则包含了25个问题。

12、这些问题大部分来自于现实生活，但纸草书作者将它们作为示范性例子编集在一起。这两部纸草书无疑是古埃及最重要的传世数学文献。除此之外还发现了一些零星的资料，它们也提供了关于埃及数学的一些补充信息。如前所述，埃及人很早就发明了象形数字记号，这是一种以十进制为基础的系统，但却没有位值概念。这种记数制以不同的特殊记号分别表示10的前六次幂：简单的一道竖线表示1，倒置的窗或骨（）表示10，一根套索表示100，一多莲花表示1000，弯曲的手指表示10 000，一条江鳕鱼表示100 000，而跪着的人像（可能指永恒之神）则表示1 000 000.其他数目是通过这些数目的简单累积来表示的，如数12 345则被记

13、作 100 1 000 10 000 100 000 1000 000 12345在两部纸草书中，象形文字被简化为僧侣文数字: 冗长的重复记号被抛弃了，引进了一些表示数字与10的乘幂的倍数的特殊记号，如4不再记成4竖线，而代之于一条横线；7也不再记成7条竖线，二是用一镰刀形符号来表示。28在象形文字中被表示为，而在僧侣文中却被简单地写成，值得注意的是这里把代表较小数字的8（即二个4）的符号（=）置于左边而不是右边。石器时代的人还用不到分数，但随着更先进的青铜文化的崛起，分数概念与分数记号也应运而生。埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数（即分子为一的分数），在整数上方简单地画一个长椭圆，就

14、表示该整数的倒数。这样记作，则写成，而在纸草书中采用的僧侣文，则用一点来代替长椭圆号，例如记作，则写成。在多位数的情形，则点号置于最右边的数码之上。单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。埃及人将所有的真分数都表示成一些单位分数的和。为了使这种分解过程做起来更为容易，莱茵德纸草书在阿姆士的前言之后给出了一张形如（为从5到101的奇数）的分数分解为单位分数之和的表。利用这张表，可以把例如这样的分数表成单位分数之和：埃及人为什么对单位分数情有独钟，原因尚不清楚。但无论如何，利用单位分数，分数的四则运算就可以进行，尽管做起来十分麻烦。埃及人最基本的算术运算是加法。乘法运算是通过逐次加倍的

15、程序来实现的。如69乘以19是这样来进行的：将69加倍到138，又将这个结果加倍到276，再加倍到552，再加倍到1104，此即69的16倍。因为19=16+2+1，所以69乘以19的答数应为1104+138+69=1311。在除法运算中，加倍程序被倒过来执行，除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍。纸草书中有些问题可以被归之为我们今天所说的代数学范畴，它们相当于求解形如或的一次方程。埃及人称未知数为“堆”(aha,读作“何”)。如莱茵德纸草书第24题：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值。该问题相当于求解方程。纸草书作者所用的解法实质是一种算术方法，即现在所谓的“假位法”：先假

16、设一个特殊的数作为“堆”值（多半是假值），将其代入等号左边去运算，然后比较得数与应得结果，再通过比例方法算出正确答数。在上例中，数7作为未知数的试验值，于是，而应得结果是19，这两个结果之比为（即与7之比）等于，将7乘以（）即得正确的“堆”值为。这种假位法是莱茵德纸草书中普遍使用的方法。埃及几何学是尼罗河的赠礼。古希腊历史学家希罗多德在公元5世纪曾访问考察过埃及，并在其著作历史一书中写道：“西索斯特里斯在埃及居民中进行了一次土地划分。假如河水冲毁了一个人所得的任何一部分土地，国王就会派人去调查，并通过测量来确定损失地段的确切面积。我认为，正是由于这类活动，埃及人首先懂得了几何学，后来又把它传给

17、了希腊人。”莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。现存的纸草书中可以找到正方形、矩形、等腰梯形等图形面积的正确公式，例如莱茵德纸草书中的第52题，通过将等腰梯形转化为矩形的图形变换，得出了等腰梯形面积的正确公式。埃及人是否知道任意三角形的面积公式，这一点尚不能确定，因为它们的三角形面积算法虽然总是涉及一数与另一数的一半的相乘，但由于文字与图形的模糊不清，使人不能判明相乘的两个长度究竟是表示高与底还是代表两条边。埃及人对圆面积给出了很好的近似。莱茵德纸草书第50题假设一直径为9的圆形土地，其面积等于边长为8的正方形面积。如果与现代公式相

18、比较，就相当于取值为。但没有证据表明纸草书的作者是否意识到这里的圆面积与正方形面积并非精确的相等，以及是否已经有明确的圆周率的概念。埃及人在体积计算中达到了很高的水平，代表性例子是莫斯科纸草书中的14题。这道题给出了计算平截头方锥体积的公式，用现代符号表示相当于：这里是高，是底面正方形的边长。这个公式是精确的，并且具有对称的形式。在距今四千年前能够达到这样的成就是令人惊讶的，因此数学史家贝尔称莫斯科纸草书中的这个截棱锥体为“最伟大的埃及金字塔”，虽然对这一公式的来源尚存在着争议。说到真实的金字塔，它们在建筑与定向方面的精确性也曾引起人们对埃及几何学的高度赞美。然而我们在现有的纸草书中，竟找不到

19、任何证据说明古埃及人已经了解勾股定理，哪怕是其特例。尽管如此，莱茵德纸草书中关于金字塔的一些问题具有特殊的意义，它们包括了初等三角的萌芽。在金字塔的建造中，保持斜面坡度的均匀性十分重要，这促使埃及人引进了相当于角的正切的概念。埃及数学是实用数学。古埃及人没有命题证明的思想，不过他们常常对问题的数值结果加以验证。另外，虽然纸草书中的问题绝大部分是实用性质，但也有个别例外，例如莱茵德纸草书第79题：“7座房，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特”。有人认为这是当时的一个数谜：有7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子、猫

20、、老鼠、麦穗和粮食各数值总和。也有将房子、猫等解释为纸草书作者赋予不同幂次的名称，即房子表示一次幂，猫表示二次幂，等等。无论如何，这是一个没有任何实际意义的几何级数求和问题，带有虚构的数学游戏性质。埃及文明在历代王朝的更迭中表现出一种静止的特性，这种静止特性也反映在埃及数学的发展中。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似公式往往不作明确区分，这又使它们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊

21、人征服埃及之后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。1.2.2美索不达米亚数学汹涌湍急的底格里斯河与幼发拉底河索灌溉的美索不达米亚平原，也是人类文明的发祥地之一。早在公元前四千年，苏美尔人就在这里建立起城邦国家并创造了文字。与尼罗河不同的是，两河流域这片四面开放的新月沃土带，长期以来成为许多不同民族争霸称雄的战场。自公元前4世纪中叶阿卡德人第一次入侵建立阿卡德王国（约公元前2371-前2230），以后又有阿摩利人、加喜特人、伊兰人、赫梯人、亚述人、伽勒底人和波斯人等相继登上统治舞台。令人惊讶的是，两河流域在这种错综复杂的民族战乱中却维系着高度统一的文化，史称“美索不达米亚文明”，

22、楔形文字的使用可能是这种文化统一的粘合剂。两河流域的居民用尖芦管在湿泥板上刻写楔形文字，然后将泥板晒干或烘干，这样制成的泥板文书比埃及的纸草书易于保存。迄今已有约50万块泥板文书出土，它们成为我们了解古代美索不达米亚文明的主要文献。对楔形文字的释读比埃及文字要晚，关键的一步是在19世纪70年代迈出的，当时发现的贝希斯敦石崖，上面用三种文字记载着波斯王大流士一世的战功，这三种文字是波斯文、埃及文和巴比伦文。对波斯文的知识使人们得以揭开古巴比伦文字的奥秘。对泥板文书中数学内容的释读则一直到1926-1950年才取得突破，这主要是靠了法国人娣罗-丹金夫人和美籍德国学者诺依格包尔的开创性工作。现存泥板

23、文书中大约有300块是数学文献。奇怪的是它们主要分属两个相隔遥远的时期：有一大批是公元前两千纪头几个世纪（古巴比伦王国时代）的遗物，还有许多泥板文书则来自公元前一千纪的后半期（新巴比伦王国和波斯塞琉古时代），对这些泥板文书的研究揭示了一个远比古埃及人先进的美索不达米亚早期数学文化。大多数文明普遍采用十进制，但美索不达米亚人却创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统。这种记数制对60以内的整数采用简单十进累记法，例如59记作。对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位制记法。同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值，这种位值原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。位置的区分是

24、靠在不同楔形记号组之间留空。例如这一写法中，右边的表示两个单位；中间的表示基数（60）的2倍；而左边的则表示基数（60）的平方的2倍，因此这个数字是指，用十进制写出来就是7322。这种位值制是不彻底的，因为其中没有零号。这样，美索不达米亚人表示122和7202的形式是相同的，人们只能根据上、下文来消除二义性。不过在公元前3世纪的泥板文书中开始出现一个专门的记号，用来表示没有数字的空位。这记号是由两个斜置的小楔形组成。有了这个空位记号，人们就很容易将数与区分开来了。当然，这样的“准”零号并未能彻底消除混乱，因为在现存的泥板文书中没有发现零号置于尾端的情形。因此，这个记号仍然可以表示形如为整数）的

25、无限多个数中的任何一个。美索不达米亚人从未实施过绝对的位值制。美索不达米亚人的记数制远远胜于埃及象形数字之处，还在于他们巧妙地将位值原理推广应用到整数以外的分数。这就是说不仅表示，同时也可以表示以及其他取相似形式的分数。因此，美索不达米亚人对分数能够跟对整数一样运算自如，而不像古埃及人那样受着单位分数的束缚。美索不达米亚人长于计算，这不只是与他们优良的记数系统有关。美索不达米亚的学者还表现出发展程序化算法的熟练技巧。他们创造了许多成熟的算法，开方根计算就是有代表性的例子之一。这种开方程序既简单又有效：设是所求平方根，并设是这根的首次近似；由方程求出第二次近似，若偏小，则偏大，反之亦然。取算术平

26、均值为下一步近似，它介于与之间，再下一步近似也介于与之间。再取算术平均值将得到更好的结果。这一程序实际上可以无限继续下去。耶鲁大学收藏的一块古巴比伦泥板（编号7289），其上载有的近似值，结果准确到六十进制三位小数，用现代符号写出来是1.414 213，是相当精确的逼近。美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行计算，使计算更加简捷。例如，他们做除法不是用埃及人那样的倒加倍方法，而是采用了将被除数乘以除数的倒数这一途径，倒数则通过查表而得。在现有的300多块数学泥板文书中，就有200多块是数学用表，包括乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，甚至还有指数（对数）表。美索不达米亚数学在代

27、数领域内达到了相当的高度。埃及代数主要是讨论线性方程，对于二次方程则只涉及到最简单的情形。而来自古巴比伦时代的一些泥板文书则表明，已能卓有成效地处理相当一般的三项二次方程。例如，耶鲁大学收藏的一块泥板文书中有这样的问题：“已知依几布姆(igibum)比依古姆(igum)大7。问依几布姆和依古姆各为多少？”这里igibum和igum是古巴比伦数学文献中表示互为倒数的两个数的专有术语，在十进制中则相当于乘积为六十之幂的两个数。若以表示igibum，表示igum，则该题相当于求解方程组这又相当于先求解一个一元二次方程题中给出的算法相当于也就是今天熟知的二次方程的求根公式由于正系数二次方程没有正根，因

28、此在古代与中世纪，甚至在近代早期，二次方程一直是被分成以下三类（其中）：(i) (ii) (iii) 来研究。所有这三类方程在古巴比伦泥板文书中都可以找到，并都给出了正确的解算程序。古埃及人没有留下解三次方程的纪录，美索不达米亚泥板文书中却不乏三次方程的例子。像这样的纯三次方程，主要是通过查立方表或立方根表来求解。形如的混合三次方程也是籍现成的表来求解。巴比伦人编有专门的的数值表（其中为整数）。对于更一般的三次方程如，巴比伦数学家运用了代换的方法去求解：用12乘方程两端，并设，方程就化为查表得，因此。在没有现代符号的情况下，能够认识到方程与方程本质上属于同一类型，这种初等的代换变换思想，在当时

29、是了不起的成就。美索不达米亚几何也是与测量等实际问题相联系的数值计算。美索不达米亚学者以掌握三角形、梯形等平面图形和棱柱、平截头方锥等一些立体图形体积的公式。他们还知道并利用图形的相似性概念。美索不达米亚几何与埃及几何有一个相同的缺陷，即对准确公式与近似公式混淆不分。一个有趣的巧合是：巴比伦人的四边形面积公式也是两组对边边长算术平均值之积。巴比伦人甚至对平截头体积计算有时也采用近似公式，如等于上、下面积的算术平均乘以高。不过对于上下底面积分别为和的平截头方锥，有的泥板文书上也记载了相当于下式的计算法则：，这是一个准确的公式，并可化为埃及人的形式。在美索不达米亚河谷地区，圆面积通常被取作半径平方

30、的三倍，也就是说取圆周率为3，其精确度自然在埃及人之下。但也有学者采用作为的近似值，与埃及人至少是旗鼓相当。即使是古巴比伦时代的泥板文书也都说明勾股定理在当时的美索不达米亚地区已广泛使用。有一些泥板文书上的数学问题说明美索不达米亚数学除了实用的动机外，有时也表现出理论兴趣。这方面最典型的例子是一块叫“普林顿322”的泥板文书。该泥板文书最初来源不明，因曾被一位叫普林顿(G.A.Plimpton)的人收藏而得名（322是普林顿的收藏编号），现存美国哥伦比亚大学图书馆，如图。普林顿322是一块更大的泥板文书的右半部分，其左边缘断裂处有现代胶水痕迹，说明缺损的左半部分是在出土后丢失的。现存部分，上面

31、记载的文字属古巴比伦语，因此其年代当在公元前1600年以前。普林顿322实际上是一张表格，由4列15行六十进制数字组成：（见表格）在相当长的时间内，普林顿322一直被认为是一张商业账目表而未受重视。1945年，诺依格包尔首先揭示了普林顿322的数论意义，从而引起了人们对它的极大兴趣。根据诺依格包尔等人的研究，普林顿322数表与所谓“整勾股数”有关。满足关系式的一组整数叫整勾股数，西方文献中也称“毕达哥拉斯数”。从几何上看，每组毕达哥拉斯数皆构成某个所谓“毕达哥拉斯三角形”（即具有整数边长的直角三角形）的三条边长。计算表明：普林顿322数表第、列的相应数字，恰好构成了毕达哥拉斯三角形中的斜边与直

32、角边。如第一行，在十进制下，易见只有四处例外，即第2，9，14，15行。诺依格包尔将它们解释为某种笔误，并将表中相应行中带*的数字(3,12,1)、(9,1)、(7,12,1)和53分别修正为（1,20,25）、（8,1）、（2,41）和（1,46）。至于第列数字（以下记作），诺依格包尔在恰当补出空缺数字后发现有如下关系：即相当于边所对应的正割平方。进一步计算还表明：第列数字实际上给出了一张从至的正割三角函数表，这可能是为了天文或工程计算的需要而设计的，但为什么用正割平方而不用正割本身，这一点仍然是一个疑案。普林顿322是古代巴比伦最异彩夺目却又相对孤立的一块数学泥板文书，对它的解释带有推测的成分并存在争议，对美索不达米亚数学的理论水平不易过分渲染。总的来说，古代美索不达米亚数学与埃及数学一样主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法积累时期。几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。埃及纸草书和巴比伦泥板文书中汇集的各种几何图形面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用。当然，古代实用算法积累到一定阶段，对他们进行系统整理与理论概括必然形成趋势，但这一任务并不是由早期河谷文明本身来担当的。向理论数学的过渡，是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，那里一个崭新的、更加开放的文明历史学家常称“海洋文明”，带来了初等数学的第一个黄金时代以论证几何为主的希腊数学时代。