2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）.doc

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1、2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）2019年全国统一高考数学试卷理科新课标含解析版未经允许 请勿转载 绝密启用前019年全国统一高考数学试卷理科新课标一、选取题:此题共1小题，每题5分，共60分。在每题给的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。未经许可 请勿转载1.已经知道集合,则.B.CD.若，则z=A.BC.D3.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有9位,阅读过红楼梦的学生共有0位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有6位,

2、则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为未经许可 请勿转载A.0. B0. C.0.D.84+2x2 1+x4的展开式中3的系数为A12B.16C.20 D.245.已经知道各项均为正数的等比数列a的前4项为和为15,且5=3+a1,则3=A. 6B C.4 26.已经知道曲线在点1，处的切线方程为=2x+b,则A.B.a=e,b=1C D ，函数在的图象大致为A.BC.8如此图,点N为正方形AB的中心,ECD为正三角形，平面E平面CD,是线段D的中点，则未经许可 请勿转载ABME,且直线BM、N 是相交直线BBME，且直线M，E 是相交直线M=EN，且直线BM、EN 是异面直

3、线未经许可 请勿转载.ME，且直线BM， 是异面直线执行下边的程序框图,如果输入的为0.01，则输出的值等于A.B. .D. .双曲线C:=的右焦点为F，点在C的一条渐进线上,为坐标原点，若,则PF的面积为AB.C.设是定义域为R的偶函数，且在单调递减,则A.o3 .lg3Clog3 Dlg31设函数=in0,已经知道在有且仅有5个零点,下述四个结论：在有且仅有3个极大值点在有且仅有2个极小值点在单调递增的取值范围是其中所有正确结论的编号是 C. D. 二、填空题：此题共4小题,每题5分，共20分。13.已经知道，b为单位向量，且a=，若,则_.记Sn为等差数列an的前n项和，则_.15.设为

4、椭圆C：的两个焦点，为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形,则M的坐标为_.未经许可 请勿转载16学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如此图，该模型为长方体挖去四棱锥OFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心,E，F,G，H分别为所在棱的中点,3打印所用原料密度为0.9 gm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_未经许可 请勿转载三、解答题:共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第172题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。未经许可 请勿转载一必考题:共60分。112分为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将

5、00只小鼠随机分成A、B两组，每组0只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:未经许可 请勿转载记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5，根据直方图得到PC的估计值为00.求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;2分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表.18.2分AB的内角A、的对边分别为a、b、c,已经知道.1求B;2若BC为锐角三角形，且c=，求ABC面积的取值范围112分图是由矩形ADB、RtABC

6、和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BEF=,FBC60,将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结D,如此图2.未经许可 请勿转载1证明:图中的A，C，G,四点共面，且平面ABC平面BCGE;2求图2中的二面角B-CG-A的大小.20.12分已经知道函数.讨论的单调性;2是否存在,使得在区间的最小值为且最大值为?若存在，求出的所有值;若不存在,说明理由21.已经知道曲线C:y，D为直线上的动点,过D作的两条切线,切点分别为A,.1证明：直线AB过定点:2若以E,为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.二选考题:共0分。请考生在第22、23题中任

7、选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。2选修44:坐标系与参数方程10分如此图,在极坐标系O中，,，,弧,所在圆的圆心分别是，,曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.1分别写出,，的极坐标方程；2曲线由,，构成，若点在M上，且，求的极坐标.3.选修45：不等式选讲10分设,且.1求的最小值；若成立,证明：或.19年全国统一高考数学试卷理科新课标参考答案:：:一、选取题12.D3.C45C.D78B9C01.C未经许可 请勿转载二、填空题13.1.4151618.8三、解答题7解:由已经知道得.70a+0.0+.，故a=.3.=10.050.157=00.2甲离子残留百分比的平均值的估计值为2.5

8、0.0+4005.20+0.17.05=.5乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.150156.357.20+801=6.00.18解：1由题设及正弦定理得.因为snA0,所以由,可得，故因为，故,因此B=60.由题设及知ABC的面积由正弦定理得.由于C为锐角三角形,故A90,0C9,由1知AC=20,所以300，则当时,;当时，.故在单调递增,在单调递减;若a=0，在单调递增；若0,则当时,;当时，.故在单调递增,在单调递减.满足题设条件的,b存在i当a0时，由1知,在,1单调递增,所以在区间，l的最小值为,最大值为此时a，b满足题设条件当且仅当,，即a0,.未经许可 请勿转载

9、ii当a时，由知，在0,单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最小值为此时a,b满足题设条件当且仅当,b=1，即a=4，b=1未经许可 请勿转载ii当03时，由知,在0，1的最小值为,最大值为b或.若，b=1，则,与03矛盾.若,，则或或a，与03矛盾.综上，当且仅当a=0，或a=，=时,在0,1的最小值为1,最大值为1.21解:1设，则.由于,所以切线D的斜率为，故 .整理得 设,同理可得.故直线B的方程为所以直线AB过定点.2由1得直线B的方程为.由,可得.于是，.设分别为点，到直线AB的距离,则.因此，四边形E的面积.设为线段A的中点,则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当0时

10、,S=3;当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或2.解：1由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，.所以的极坐标方程为，的极坐标方程为,的极坐标方程为2设，由题设及1知若,则，解得;若，则，解得或;若，则，解得综上，P的极坐标为或或或.23.解：1由于,故由已经知道得，当且仅当x,=,时等号成立.所以的最小值为.2由于，故由已经知道，当且仅当,时等号成立.因此的最小值为.由题设知,解得或.绝密启用前209年全国统一高考数学试卷理科新课标答案:解析版一、选取题:此题共1小题,每题5分，共60分。在每题给的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。未经许可 请勿转载1.已经知道集合，则 A B

11、. C.D. 【答案:：】【解析】【分析】先求出集合再求出交集.【详解】由题意得，,则故选A【点睛】此题考查了集合交集的求法，是基础题.2.若,则 . B.C D. 【答案:】【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】.故选D.【点睛】此题考查复数的商的运算,渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题.3.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位,阅读过红楼梦的学生共有80位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位,则该校阅读过西游记的学

12、生人数与该校学生总数比值的估计值为 未经许可 请勿转载A. B. . D 【答案:】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数,进而得解.【详解】由题意得,阅读过西游记的学生人数为90800=70，则其与该校学生人数之比为010=7故选C未经许可 请勿转载【点睛】此题考查抽样数据的统计,渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法,利用转化与化归思想解题.4.1+2x2 1x4的展开式中x3的系数为A2B. 6C. 0 2【答案:：】A【解析】【分析】此题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得x的系数为，故选A【点睛】此题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定

13、项的系数.已经知道各项均为正数的等比数列的前4项和为1,且,则 A. 16B. 8C. 4.2【答案:：】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于的方程组,求出,再利用通项公式即可求得的值.【详解】设正数的等比数列an的公比为,则，解得,，故选C.【点睛】应用等比数列前项和公式解题时,要注意公比是否等于1,防止出错已经知道曲线在点处的切线方程为,则 A.C. . 【答案:】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式,求得，将点的坐标代入直线方程,求得.【详解】详解:将代入得，故选D【点睛】准确求导数是进一步计算的基础,此题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢，计算要

14、准,是解答此类问题的基本要求未经许可 请勿转载7.函数在的图像大致为A. B. C D 【答案:：】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果.【详解】设,则，所以是奇函数,图象关于原点成中心对称,排除选项C又排除选项D；,排除选项A，故选B.未经许可 请勿转载【点睛】此题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.此题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查未经许可 请勿转载8.如此图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则 A. ，且直线是相交直线.，且直线是相交直线C. ,且直线是异面直线D. ，且直线是

15、异面直线【答案:】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】,为中点为中点，,共面相交，选项，D为错.作于，连接，过作于.连，平面平面.平面，平面,平面,与均为直角三角形.设正方形边长2，易知,.,故选【点睛】此题为立体几何中等问题，考查垂直关系,线面、线线位置关系.9.执行如以以下图的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于 . B. C. D. 【答案:：】【解析】分析】根据程序框图,结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】不成立不成立成立输出，故选D【点睛】循环运算，何时满足精确度成为关键,加大了运算量,输出前项数需准确，此为易错点10.双曲线C：1的右焦点为F,点

16、P在C的一条渐近线上,为坐标原点,若,则PFO的面积为. B. C.【答案:】A【解析】【分析】此题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题未经许可 请勿转载【详解】由.,又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上,，故选【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积未经许可 请勿转载11.设是定义域为的偶函数，且在单调递减,则 B. C. D【答案:】C【解析】【分析】由已经知道函数为偶函数,把,转化为同一个单调区间上，再比较大小【详解】是R的偶函

17、数,又在0，+单调递减,，故选C【点睛】此题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力12.设函数=sn，已经知道在有且仅有5个零点,下述四个结论：在有且仅有3个极大值点在有且仅有2个极小值点在单调递增的取值范围是其中所有正确结论的编号是A B. C. D 【答案:】D【解析】【分析】此题为三角函数与零点结合问题,难度大，可数形结合,分析得出答案:：:,要求大,理解深度高,考查数形结合思想未经许可 请勿转载【详解】，在有且仅有5个零点,，正确如此图为极大值点为个,正确；极小值点为2个或3个不正确未经许可 请勿转载当时,当时,.正确,故选D【点睛】极小值点个数动态的

18、，易错,正确性考查需认真计算,易出错二、填空题：此题共小题，每题5分，共2分。1.已经知道a,为单位向量，且a=0,若,则_【答案:：】.【解析】【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果【详解】因为,，所以,，所以，所以【点睛】此题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案:.未经许可 请勿转载4.记Sn为等差数列n的前n项和，则_.【答案:】4.【解析】【分析】根据已经知道求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果【详解】因,所以，即，所以.【点睛】此题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案:15.

19、设为椭圆的两个焦点,为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_【答案:】【解析】【分析】根据椭圆定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.【详解】由已经知道可得，设点的坐标为,则，又，解得，解得舍去,的坐标为.【点睛】此题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.未经许可 请勿转载16.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如此图,该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体,其中为长方体的中心,分别为所在棱的中点,，打印所用原料密度为,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_.未经许可 请勿转载【答案:：

20、:】118【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积,再求出模型的质量.【详解】由题意得，四棱锥-E的底面积为,其高为点O到底面的距离为3cm，则此四棱锥的体积为.又长方体的体积为,所以该模型体积为，其质量为.未经许可 请勿转载【点睛】此题牵涉到的是D打印新时代背景下的几何体质量,忽略问题易致误,理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解未经许可 请勿转载三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2、23题为选考题,考生根据要求作答。未经许可 请勿转载一必考题:共0分。17.为

21、了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组10只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：未经许可 请勿转载记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于,根据直方图得到的估计值为.1求乙离子残留百分比直方图中的值;2分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表.【答案:】1 ，; ,【解析】【分析】1由可解得和的值；2根据公式求平均数.【详解】1由题得,解得,由,解得.2由甲离子的直

22、方图可得，甲离子残留百分比的平均值为,乙离子残留百分比的平均值为【点睛】此题考查频率分布直方图和平均数,属于基础题.18的内角的对边分别为，已经知道求;2若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.【答案:】 ;2【解析】分析】1利用正弦定理化简题中等式,得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.2根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域,最后求解的值域未经许可 请勿转载【详解】1根据题意由正弦定理得，因为,故，消去得。，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以,又因为，代入得，所以.2因为是锐角三角形,又由前问,，得

23、到,故又应用正弦定理,由三角形面积公式有.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用此题也可以用余弦定理求解，最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.未经许可 请勿转载19图1是由矩形AE,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中B1，BE=BF=2,BC60，将其沿AB，B折起使得E与B重合,连结G,如此图2.未经许可 请勿转载1证明:图2中的,C，,D四点共面，且平面ABC平面BCGE;求图中的二面角BCG的大小.【答案:：】1见详解；2 .【解析】【分析】1因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角

24、，所以，依然成立，又因和粘在一起,所以得证因为是平面垂线，所以易证.2在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线,发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.未经许可 请勿转载【详解】1证：,又因为和粘在一起.,A,G，D四点共面.又平面BCGE，平面C,平面AB平面BE,得证过B作延长线于,连结AH,因为B平面BCGE,所以而又,故平面,所以.又因为所以是二面角的平面角,而在中,又因为故，所以.而在中,即二面角的度数为.【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题,考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱,建系的向量解法在此题中略显麻烦，突出考

25、查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。未经许可 请勿转载20.已经知道函数.讨论的单调性;2是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1?若存在，求出的所有值;若不存在，说明理由.【答案:】见详解；或【解析】【分析】1先求的导数,再根据的范围分情况讨论函数单调性;2 根据的各种范围,利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.未经许可 请勿转载【详解】对求导得所以有当时,区间上单调递增,区间上单调递减，区间上单调递增;当时，区间上单调递增;当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.2若在区间有最大值和最小值-1,所以若，区间上单调递增，

26、区间上单调递减，区间上单调递增;此时在区间上单调递增,所以，代入解得,，与矛盾,所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以,代入解得.若,区间上单调递增，区间上单调递减,区间上单调递增.即在区间单调递减,在区间单调递增，所以区间上最小值为而,故所以区间上最大值为. 即相减得，即,又因为，所以无解.若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为 即相减得，解得，又因为,所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减,所以区间上最大值为,最小值为即解得.综上得或【点睛】这是一道常规

27、的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。未经许可 请勿转载1.已经知道曲线C:y，D为直线y上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为,B.1证明:直线AB过定点:2若以E0,为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段B的中点，求四边形DBE的面积.【答案:：】1见详解;2 3或.【解析】【分析】可用解析法和几何法证明。解析法可设A，两点的坐标分别为,然后求出A,B两点处的切线,两条切线交于直线之上,所以交点的纵坐标为未经许可 请勿转载联立方程可解和的关系。之后用两点式求出直线方程，最后根据直线方程求出它所过的定

28、点.2应用四边形面积公式，代入化简出关于和的对称式。然后分情况讨论求解。如果不知道四面下面积公式则可以将四边形分成两个三角形求面积之后做和,但会稍微麻烦一些。此题若用向量积的概念则更为容易未经许可 请勿转载【详解】1证明：设，两点的坐标分别为,因为,所以，则切线为：-，切线D为：-，代入得,得,因为故消去得交点的纵坐标,因为A和B的交点D为直线上的动点，所以有，直线A为,点A，B在曲线上,则有，整理得,即.当，时无论，取何值时,此等式均成立。因此直线A过定点，得证。未经许可 请勿转载设AB的中点为，由题得G点坐标为，则,又.由题意知,即即.代入得整理得.因,故.所以或.由第一问中,为这里的为D

29、点坐标,然而，故,所以，又因为.所以。即坐标为.那么,.设为与的夹角,那么有代入进行化简有若，则若，则，代入有.所以四边形ADE的面积为3或.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型,按部就班的求解就可以。思路较为清晰,但计算量不小。未经许可 请勿转载二选考题：共10分。请考生在第2、2题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22如此图,在极坐标系中，,，,弧，所在圆的圆心分别是，,曲线是弧，曲线是弧,曲线是弧分别写出,，的极坐标方程;曲线由，,构成，若点在上，且，求的极坐标.【答案:：:】1,，,.【解析】【分析】1将三个过原点的圆方程列出，注意题

30、中要求的是弧,所以要注意的方程中的取值范围.2根据条件逐个方程代入求解,最后解出点的极坐标【详解】由题意得,这三个圆的直径都是2，并且都过原点.,.2解方程得，此时的极坐标为解方程得或,此时P的极坐标为或解方程得,此时P的极坐标为故P的极坐标为,.【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题.设，且.1求的最小值;2若成立，证明：或.【答案:：】1 ;2见详解.【解析】【分析】1根据条件，和柯西不等式得到,再讨论是否可以达到等号成立的条件.2恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式,便可得到参数的取值范围未经许可 请勿转载【详解】1故等号成立当且仅当而又因,解得时等号成立所以的最小值为2因为,所以.根据柯西不等式等号成立条件，当,即时有成立所以成立，所以有或. 另解：用反证法. 若或不成立,那么成立，则而左面等号成立当且仅当,又因为所以.故此时，即,与原命题矛盾放【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型. 未经允许 请勿转载