2022年高三数学一轮复习学案空间向量.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2022 版高三数学一轮精品复习学案：第七章立体几何7.3空间向量【高考目标导航】一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示1、考纲点击（ 1）懂得直线的方向向量与平面的法向量.（ 2）能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.（ 3）能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理（包括三垂线定理） 2、热点提示（ 1）用直线的方向向量和平面的法向量证明线线、线面的平行关系及垂直关系是本节的重点.（ 2）多以解答题的形式显现,综合考查空间想象才能、运算才能及数形结合思想.二、空

2、间直角坐标系1、考纲点击（ 1）明白空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.（ 2）会推导空间两点间的距离公式. 2、热点提示（ 1）通过求点的坐标考查空间想象才能.（ 2）通过求两点距离考查运算才能.（ 3）渗透在空间向量的坐标法应用中位进行考查.（ 4）多以挑选、填空的形式考查.三、空间向量用其运算1、考纲点击（ 1）明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解及其坐标表示.（ 2）把握空间向量的线性运算及其坐标表示.（ 3）把握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直.2、热点提示1、利用向量法证明点共线、线共面、平行、垂直

3、等.2、数量积的运算及应用是考查热点.3、多以挑选题、填空题的形式考查,有时也显现在解答题中.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -四、立体几何中的向量方法1、考纲点击（ 1）懂得直线的方向向量与平面的法向量.（ 2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.（ 3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包

4、括三垂线定理）.（ 4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的运算问题,明白向量方法在讨论立体几何问题中的应用.2、热点提示（ 1）考查向量法判定线面位置关系.（ 2）利用向量法求空间角与距离.（ 3）在解答题中综合考查空间想象才能,运算才能及数形结合思想.【考纲学问梳理】一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示1、直线的方向向量与直线的参数方程2、用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 36 页 - - -

5、- - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角uruururuururuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线l1 和 l2 所成的角为 ,方向向量分别为v1 ,v2 ,就有l1 l2v1v2,cos| cosv1 , v2| .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、平面的法向量与平面的向量表示（ 1）平面的法向量rrr已知平面,假如向量n 的基线与平面垂直,就向

6、量n 叫做平面的法向量或说向量n 与平面正交.（ 2）平面的向量表示r设 A 是空间任一点,n 为空间内任一非零向量,任取两点,且,就适合条件的点 M都在平面内.式通常称为一个平面的向量表示式.（ 3）平面的平行或垂直设分别是平面,的法向量, 或与重合,.（ 4）三垂线定理与逆定理三垂线定理假如在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,就它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

7、_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -假如平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,就它也和这条斜线在平面内的射影垂直.方法提示：平面的法向量的求法设出平面的一个法向量,利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.留意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯独.二、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系及有关概念（ 1）空间直角坐标系：以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴：x 轴, y 轴, z 轴.这时建立了空间直

8、角坐标系Oxyz,其中点O 叫做坐标原点.X 轴, y 轴, z 轴统称坐标轴.由坐标轴确定的平面 叫做坐标平面.（ 2）右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x 轴正方向,食指指向y 轴方向时,中指肯定指向z轴的正方向.（ 3）空间一点M的坐标为有序实数组（x,y,z） , 记作 M（ x,y,z）,其中 x 叫做 M的横坐标, y 叫做点M的纵坐标, z 叫做点 M的竖坐标. 2、空间两点间的距离公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Ax 1,y 1,z 1,Bx2,y 2,z 2, 就 |AB|=xx 2 yy 2zz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

9、22121212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2注：在空间直角坐标系中,点M（ x,y,z）的坐标满意x+y +z=1, 就点 M的轨迹是一个以原点为球心,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 1 为半径的球面.三、空间向量及其运算1、空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面对量基本相同.加减运算遵循三角形或平行四边形法就.数乘运算和数量积运算与平面对量的数乘运算和数量积运算相同.坐标运算与平面对量的坐标运算类似,仅多出了一个竖坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、空间向量的有关定理rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

10、品资料_（ 1）共线向量定理：对空间任意两个向量a , b b0 , a b 的充要条件是存在实数,使得a =r b .rrrrr（ 2）共面对量定理：假如两个向量a , b 不共线,那么向量c 与向量 a , b 共面的充要条件是存在唯可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一的有序实数对 x,ry ,使 crrxayb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

11、_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -rrr注：如 a 与 b 确定平面为,就表示c 的有向线段与的关系是可能与平行,也可能在内.rrrur（ 3）空间向量基本定理：假如三个向量a , b , c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数urrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_组x,y, z ,使得 p = xaybzc .其中,a, b, c叫做空间的一个基底.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、空间向量的数量积及运算律（ 1）数量积及相关概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两向量的夹角rr已知

12、两个非零向量a , b ,在空间任取一点O,作uuurruuurrrrOAa, OBb ,就 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrrrrrrrr记作 , 其范畴是0 , 如= /2, 就称 a 与 b 相互垂直 , 记为 a b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两向量的数量积rrrrrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a , b , 就a b cosa, b叫 做 a , b的 数 量 积 , 记 作 a b , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

13、料_rrrrrra b = a b cosa ,b（ 2）数量积的运算律四、立体几何中的向量方法1、直线的方向向量与平面的法向量的确定（ 1）直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.rrr（ 2）平面的法向量可利用方程组求出：设a , b 是平面内两不共线向量,n 为平面的法向量,就rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求法向量的方程组为nga0rr.ngb0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：所列方程组中有三个变量,但只有两个方程,如何求法向量？（给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一组非零解,即可作为法向量的坐标.）可编辑资料 - - - 欢

14、迎下载精品_精品资料_2、空间向量与空间角的关系uuruuruur uur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）设异面直线l1, l2 的方向向量分别为m1, m2 , 就 l1与l 2 所成的角满意cos =|cos|;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_urr（ 2）设直线l 的方向向量和平面的法向量分别为m , n ,就直线 l 与平面所成角满意sin urr=|cos|;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

15、 - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）求二面角的大小uuuruuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图, AB,CD是二面角 - l - 的两个面内与棱l 垂直的直线,就二面角的大小=如图,分别是二面角- l - 的两个半平面,的法向量,就二面角的大小满意cos =cos或-cos3、点面距的求法r如图,设AB为平面的一条斜线段,n 为平面的法向量,就B 到平面的距离【要点名师透析】一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示（一）用向

16、量法证明平行、垂直相关链接1. 用向量证明线面平行的方法有：(1) 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直.(2) 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3) 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.2. 用向量法证垂直问题(1) 证明线线垂直 , 只需证明两直线的方向向量数量积为0;(2) 证明线面垂直, 只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线, 或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;(3) 证明面面垂直, 只需证明两平面的法向量的数量积为0, 或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料

17、 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3利用直线的方向向量和平面的法向量,可以判定直线与直线, 直线与平面,平面与平面的平行和垂直.（ 1）设直线的方向向量为直线的方向向量为就（ 2）设直线l 的方向向量为平面的法向量为就（ 3）设平面的法向量为平面的法向量就例题解析 例 如 图 所 示 , 在 四 棱 锥P-ABCD 中 ,PC 平 面ABCD,PC=2,在 四 边 形ABCD 中 , B=C=9

18、0 ,AB=4,CD=1, 点 M在 PB上,PB=4PM,PB与平面 ABCD成 30的角 .(1) 求证 :CM平面 PAD;(2) 求证 : 平面 PAB平面 PAD.思路解析：题目中存在从点C 动身的三条两两垂直的直线, 故可建立空间直角坐标系, 用向量的坐标运算证明线面平行, 线线垂直 , 面面垂直 .解答： 以 C为坐标原点 ,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP所在直线为z 轴建立如下列图的空间直角坐标系Cxyz.PC平面 ABCD, PBC为 PB 与平面 ABCD所成的角, PBC=30 .PC=2, BC=23 ,PB=4.D0,1,0,B23 ,0,0,可

19、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 23 ,4,0,P0,0,2,M33,0,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuuruuuruuuur33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ DP =0,-1,2,DA= 23

20、,3,0,CM =,0,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）令为平面 PAD的一个法向量,就即令 y=2, 得（2）取 AP的中点 E,就（二） 异面直线所成的角相关链接高考中对异面直线所成的角的考查, 一般显现在综合题的某一步, 一般步骤为 :(1) 平移：要充分挖掘图形的性质, 查找平行关系, 如利用“中点”特点等.(2) 证明：证明所作的角是异面直线所成的角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

21、品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -查找：在立体图形中,查找或作出含有此角的三角形,并解之.4 取舍： 由于异面直线所成的角的取值范畴是0 0 ）,就 C0,0,0,A3 ,0, a , B3 , 0,0）, E3 , 3, 0）, F（ 0, 4,0）uuuruuur从而 EF3,1,0, AE0,3,a,9 分ruuurruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设平面 AEF的法向量为n x, y, z ,由 EFn0, AEn0 得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

22、料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3xy3 yaz00 ,取 x=1,就 y3, z33 ,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n即 r1,3, 33 ,11分a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨设平面EFCB的法向量为ruuuruuur BA0,0,ruuurnBAa ,33a1可编辑资料 - - -

23、欢迎下载精品_精品资料_由条件,得| cosn, BA|ruuur| n | BA |a4 a 2272可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 a9 所以当 AB29 时,二面角A-EF-C 的大小为602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）利用向量法解决开放性问题相关链接1. 开放性问题是近几年高考的一种常见题型,这类问题具有肯定的思维深度,用向量法较简洁解决.2. 对于探干脆问题,一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,如有解且满意题意就存在,如有解但不满意题意或无解就不存在.例题解析例 如图,已知正方形OBCD所在平面与等腰直角三角

24、形AOD所在平面相互垂直,OA=OD=,4 点 E、F 分别为 CD、 OA的中点 .(1) 求证： DF平面 AEB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 线段 AD上是否存在一点M,使 BM与平面 AEB所成角的正弦值为6 ？如存在, 恳求出 DM的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18MA如不存在,请说明理由.思路解析： 第1 问用传统方法证明,即利用中位线定理在平面AEB内找一条直线与DF平行.第 2问用向量法解答比较简洁入手.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共

25、36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解答： 1 如图,取AB中点 G,连结 FG, EG.FG OB,FG DE,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 FG=121OB,DE=2OB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FG=DE,四边形 EDFG为平行四边形,DF EG,又 EG平面 AEB, DF平面 AEB,DF平面 AEB.2 依题意知平面OBCD平面 AOD, OBOD,OB平面 AOD,得 OB OA,又 AO OD, OB

26、 OD.如图,以 O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,AO=OD=,4 可得 A0 , 4, 0 、E4 , 0,2 、B0 , 0, 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uuur AEuuur=4 , -4 ,2 , AB=0 ,-4 , 4.r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设平面 AEB的一个法向量为n =1 , b, c ,ruuurn AE=02-2b+c=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由ruuur得n AB=0,-b+c=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 b=2, c=2,r n =1 , 2,2.设线段

27、 AD上存在一点Mt , 4-t , 0 ,uuuur其中 0 t 4,就 BM =t,4-t,-4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可得 t 2+2t-8=0 ,解得 t=2 或 t=-4 舍去 .所以 AD上存在一点M2, 2, 0 ,它是 AD的中点,所以 DM =1.MA二、空间直角坐标系（一）求空间中点的坐标相关链接1、通过分

28、析几何体的特点,恰当的建立坐标系,可以便利的写出点的坐标,“恰当”的原就是：充分利用几何体的垂直关系.尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上.注：不同的建系方法,求出的点的坐标也不同.2、求空间点P 坐标的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一：（ 1）过点 P 作一个平面平行于坐标平面yOz, 这个平面与x 轴的交点记为Px ,它在 x 轴上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标为 x, 这个数 x 叫做点 P 的横坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）过点 P 作一个平面平行于坐标平面xOz,这个平面与y 轴的交点记为Py ,它在 y

29、 轴上的坐标为y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个数 y 叫做点 P 的纵坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）过点 P 作一个平面平行于坐标平面xOy, 这个平面与z 轴的交点记为Pz ,它在 z 轴上的坐标为z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个数 z 叫做点 P 的竖坐标.明显x 轴上点的坐标形如x,0,0,xOy平面上点的坐标形如x,y,0.方法二：从点P 向三个坐标平面作垂线,所得点P 到三个平面的距离等于点P 的对应坐标的肯定值,进而可求点P 的坐标.例题解析例 已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2, M

30、为 A1C1 中点, N 为 AB1中点,建立适当的坐标系,写出M, N 两点的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -思路解析：利用正方体的共顶点的三棱两两垂直建系,然后用求空间中点的坐标的方法来求.解答：如图,以 A 为原点,AB,AD,AA1分别为 x,y,z轴的正半轴建立空间坐标系.从 M点分别向平面yAz, 平面 xAz,平面

31、xAy 作垂线.正方体的棱长为2, M点的坐标为 1,1,2.同理, N 点坐标为 1,0,1.（二）空间中点的对称问题相关链接1、常见对称点的坐标规律在空间直角坐标系中,已知点Px,y,z,就点 P（ 1）关于原点的对称点是-x,-y,-z;（ 2）关于 x 轴的对称点是 x,-y,-z;（ 3）关于 y 轴的对称点是 -x,y,-z;（ 4）关于 z 轴的对称点是 -x,-y,z;（ 5）关于 xOy 坐标面的对称点是x,y,-z;（ 6）关于 yOz 坐标面的对称点是-x,y,z;（ 7）关于 zOx 坐标面的对称点是x,-y,z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、中点

32、坐标公式如 Ax 1,y 1,z 1,Bx2,y 2,z 2, 就线段 AB的中点 P 的坐标为3、利用中点坐标公式也可求对称点的坐标.例题解析 x1x2 ,2y1y2 , z1 2z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 已知矩形ABCD中, A（ 4, 1, 3）, B（ 2, -5 , 1）, C（ 3,7, -5 ）,求顶点 D 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路解析： AC的中点即为BD中点,利用中点坐标公式可求解答： 矩形的对角线相互平分,AC的中点即为BD的中点.由已知,AC中点 M为 72, 4,-1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载

33、精品_精品资料_设 Dx,y,z,就 x=5,y=13,z=-3. D5,13,-3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（三）空间两点间距离公式的应用例已知直三棱柱ABC-A1B1C1 中, BAC=900,AB=AC=A1A=2,M为 BC1 的中点, N 为 A1B1 的中点, 求|MN|思路解析： 建立空间直角坐标系确定点 M、N

34、的坐标求|MN| .解答： 如图,以 A 为原点, AB,AC,AA1为 x 轴, y 轴, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系,就B（ 2,0,0）,C1（ 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,2）,A1（ 0,0,2）,B1（2,0,2）, N（ 1,0,2）,M（ 1,1,1）.|MN|=1120122122 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：利用空间中两点间的距离公式,可以求两点间的距离或某线段的长,只要建立恰当的坐标系,通过简洁的坐标运算即可解决.三、空间向量及其运算（一）空间向量的线性运算相关链接用已知向量表示未知向量,肯定要结合图形.可从以下角度入手.（ 1）要有基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来.（ 2）把要表示感谢向量标在封闭图形中,表示为其他向量的和差的形式,进而查找这些向量与基向量的关系.（ 3）用基向量表示一个向量时,假如此向量的起点是从基底的公共点动身的,一般考虑用加法,否就考虑用减法,假如此向量与一个易求的向量共线,可用数乘.可编辑资料 - - - 欢