2022年大学微积分知识点总结二.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【第五部分】不定积分1. 书本学问（包含一些补充学问）（ 1）原函数： F（x）=f（x）, xI,就称 F（x）是 f（x）的一个“原函数”.（ 2）如 F（x）是 f（x）在区间上的一个原函数,就f （x）在区间上的全体函数为 F（x） +c（其中 c 为常数）（ 3）基本积分表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dxxdxdxxc1x1c 1（1 ,为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dx xxlnc可编辑资料 -

2、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a xdxxac a0, a1, a为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_exdxln a exc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dx1x2arctan x 或arc cot xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dx1x2arcsin x 或arccos xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln x dxxln xxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dx1x2ln x1x2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dxa

3、2x21dxarcsin xca1 arctan xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2x21a 2x 2dxaa1ln axc 2aax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_shx dxchx dxchxcshxc可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d cosx cosxln cosxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xcosxdxdxcosxsin xcctan xdxln cosxccot xdxln sin xcsecxdxln secxtan xccscxdxln cscxcosxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sinx dxcos2 x dxx1 sin 2xc 24x 1 sin 2xc 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan2cot2 sec2 csc2x dx x dx x dx

5、x dxtanxxc cot xxc tan xccot xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_secx cscxtan xdx cot x dxsecxc cscxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1dxx 2a2lnx 2 a2xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）零函数的全部原函数都是c（ 5） C 代表全部的常数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）运算法就数乘运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_af x dxaf xdx线性运算可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品_精品资料_f xg xdxf xdxg xdx加减运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7） 复合函数的积分：f x xdxF xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

7、料_（ 8）一般的,f axbdx1 af axbd axb1F axbc a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xbdxF xbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 9）连续函数肯定有原函数,但是有原函数的函数不肯定连续,没有原函数的函数肯定不连续.（ 10）不定积分的运算方法 凑微分法 （第一换元法）,利用复合函数的求导法就 变量代换法 （其次换元法）,利用一阶微分形式不变性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2x2dxx 2a 2dxx 2a 2dxxa sin txa sectxa tan

8、t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 分部积分法 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如uu x, vv x均可导,且uxv xdx存在,就uxv xdx也存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并有： uxv x dxu xv xu xv x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简写为： udvu vv du【说明：一阶微分形式不变性】释义：函数对应： y=fu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_功能： dyy duf udu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明

9、：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数为 yf u, 此时假如 u是自变量,就函数 yf u的微分形式为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyy duf udu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如u是中间变量,即 ug x,函数即为复合函数.自变量为 x,即

10、 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y gx,复合函数求导得： yf g xg x.那么复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yfgx自变量为 x, g xu为中间变量的微分形式为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyy dxf g xg xdx.由于ug x, g xdxdu.带入得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyf udu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,无论u是自变量仍是中间变量,均有 dyf udu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这称为一阶微分形式不 变性.可编辑资料 - - -

11、 欢迎下载精品_精品资料_（ 11）1dx x2a 2lnx2 a 2xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 12）分段函数的积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题说明：max 1, x2dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：x（2x - 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_max 1, x2（1 -1x1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x（2x1）1 x332c（1 x - 1）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_max1, x2 dxxc（2

12、-1x1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x232c（3 x1）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_需要说明的一点,依据连续的原就,c1, c2 , c3需要调整可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 13）在做不定积分问题时,如遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其中的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次方处理到最终dx的部分.如sin 3 xdxsin2 xd cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（14）在做不定积分问题时,如遇到sinx与cosx同时显

13、现且指数不同的情形,就需可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要通过三角函数公式尽化简的目的.量将其转化成同一次方再进行运算或将二者合并以达到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（15）在运算不定积分过程中,假如单独遇到sinx 的问题,就sinx2sin x2cos x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 23 页 - - - - - - -

14、- - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 16）隐函数求不定积分例题说明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题：设y是由方程y xy 22t 3x确定的隐函数,试求t1dx x - 3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法1：令xyt,就x, y t1, 带入.2t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法2：y xy2xxy21x1yxy2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以1x ysin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

15、资料_所以： xsinsincos2; ysin cos,带入.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 17）三角有理函数积分的万能变换公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Rsin x, cosx1dx令t t 2tan x2R11t 22tt 2 , 1t 2 21t 2dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos x其中：sin x21t,t2ttan 2xtan x2t21t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1t 2（ 18）某些无理函数的不定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_无理函数中带有A（根号）,变形时将整个

16、根号变为t,即tA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：1xxx4t 22dx令t 2x2t 21x22t 22t118tdt2t 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 21 t 21dt222dtt1t1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_欧拉变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2含有axbxc的积分如a 0,令ax 2bxct -a x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如c0,令ax 2bxcxt -c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于可得：对于可

17、得：ax 2bxxb2t 2ct 2ct a2atxax 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 19）其他形式的不定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xf xdxx df xxf xf xdxxf xf xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品_精品资料_xx2esin xdxA1esin xA2ecosxc 待定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx2x2exdxeA1xA2xA3c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2B1xB2xBexdxeA1xA2xA3c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2组合法：Isin x1dxsin x2 cos xIcos x2dxsin x2 cos xI1I 21 dxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2I 1I 2ln

19、 sin x2 cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 补充学问（课外补充）【例谈不定积分的运算方法】1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（ 1）定义： 如函数 fx在区间 I 上连续,就 fx在区间 I 上存在原函数.其中x=Fx+c0,c 0 为某个常数）,就 x=Fx+c0 属于函数族 Fx+c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x积分号被积函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x积分变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdx被积表达式可编辑资料 - - -

20、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论：如 f xnkifi xdxi 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就： f x dxkii 1fi x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）一般积分方法值得留意的问题：第一,一般积分方

21、法并不肯定是最简便的方法,要留意综合使用各种积分方法,简便运算.其次,初等函数的原函数并不肯定是初等函数,因此不肯定都能 够积出.不能用一般方法积出的积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例如： e xdx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x xdx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2 xdx1dxln x1dx1x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11.x3dxk2sin2 xdx 0K 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、特殊类型不定积分求解方

22、法汇总（ 1）多次分部积分的规律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uv n 1dxuv nu vn dxuv nu v n 1u vn 1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uv nu v n 1u vn 2.1 n 1u n

23、1v dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）对于a cos x c cos xb sin x dsin xdx的积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求解方法为：令a cos xb sin xAccos xdsin x Bccos xdsinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：求3 cos xsin xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 3cosxsin

24、xAcosxsin xBcos xsin x即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）简洁无理函数的积分被积函数为简洁式的有理式,可以通过根式代换化为有理函数的积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R x, n axaxbdxb设tnaxbaxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R x, ndx cxd令tncxd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R x, n axb, m axbdx令tp axb, 其中p是m,n的最小公倍数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

25、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）求Idxdx, 其中abk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法： Isin xa sinxb1sin xa xbdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinabsin xa) sinxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

26、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）求： In xa n1dx1 xb) n 1dx, 其中,xn为自然数a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法： I xa xbn x xdx,令tnaxbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6）求 I解法：令x m ax2x1tbxcdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7）统一公式eax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1Ieaxsinbx dxa 2b2 ax a sin bxb c

27、osbxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Ieaxcosbx dxea2b2a cosbxb sin bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（8）运算技巧同时显现同时显现x 和 1x 和 1x时,令 xx时,令 xtan2 tsin 2 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同时显现1x2 和arcsinx时,令 xsin t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同时显现1x2 和arccos x

28、时,令 xcos t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（9）求1a 2x2dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法：令 I1 2aax axdxaxax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结：几分钟含有根号,应当考虑采纳合适的方法去掉根号再进行运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -

29、- - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（10）当遇到形如dx2axbx的不定积分,可以分为c以下三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0时,可将原式化为： xx1 xx2 其中,x1 , x为ax 2bxc0的两个解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就原不定积分为：dxdx1d xx1d xx2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax 2bxc xx1 xx2 x2x1xx1xx2可编辑资料

30、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1xx1lncx2x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0时,可以利用完全平方公式,然后化为： xk 2d xk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0时,可以先给分母进行配方,然后化成：1x2adx的形式求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（11）三角函数的积分：sin m xcos nxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m和n中有一个奇正数时利用恒等式：sin 2 x1cos2x 或 cos2 x1sin 2x.最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后将得到形如：cosp xsin xdx或sin q xcos xdx.这两个积分可以直接得到：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品