2022年概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.设随机变量X 的分布律为概率论习题四可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X10P1/81/2求 E（ X）, E（ X2）,E（ 2X+3） .答案121/81/411111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 12E X 1012;2 1210 2112122158284482842E X;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3E 2 X32E X 321342可

2、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.已知 100 个产品中有10 个次品,求任意取出的5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】 设任取出的5 个产品中的次品数为X,就 X 的分布律为X012345可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1 C4C2 C3C3 C2C5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C510900.34010900.07010900.007C4 C1100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CP90C51000.58351005C1005C1001090C510050100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C

3、故E X 0. 5 8 300. 3 4 010. 0 7 020. 0 0 730.501,5iiD X xE X 2 Pi 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00.50120.432.3.设随机变量X 的分布律为0.58310.50120.34050.50120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X101Pp1p2p3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且已知 E（ X） =0.1,EX2=0.9,求p , p , p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 因 p1p2p31,

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 E X 1p10 p21 p3p3p10.1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E X 2 12p02p12ppp0.9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由联立解得p10.4, p20.1, p30.5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -

5、 - - - - - - - - -4.袋中有 N 只球,其中的白球数X 为一随机变量,已知E（X） =n,问从袋中任取1 球为白球的概率是多少？【解】记 A= 从袋中任取1 球为白球 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A全概率公式NP A | Xkk 0P Xk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NNk1P XkkP Xkk 0 NN k 01E X n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.设随机变量X 的概率密度为NNx,0x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f（ x） =2x,1x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

6、品_精品资料_0,其他.求 E（ X）,D （ X） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】E X xf xdxx2 dx2x2xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 x33023x2x1.31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12E X 2 x2 f xdxx3dxx2 2xdx7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故D X E X0162 E X 21 .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.设随机变量X, Y

7、, Z 相互独立,且E（X） =5, E（ Y）=11, E（Z） =8 ,求以下随机变量的数学期望 .（1） U=2X+3Y+1 .（2） V=YZ4X.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 1EU E2 X3Y12E X 3EY 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25311144.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2EV EYZ4 X EYZ4E X 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因Y , Z独立E Y E Z4E X 1184568.7.设随机变量X,Y 相互独立, 且 E（ X）=E（ Y）=3,D（ X）=12 ,D（

8、Y）=16 ,求 E（ 3X2Y）, D（ 2X3Y） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22【解】 1E3X2Y3E X 2EY 33233.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2D2 X3Y2 D X 3DY412916192.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳

9、 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.设随机变量（X,Y）的概率密度为k,0f（ x, y） =x1,0yx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,试确定常数k,并求 E（XY） .1x1其他.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 因f x, ydxdydxkdyk1, 故 k=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0021x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E XYxyf x, ydxdyxdx002 ydy0.25 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.设

10、 X,Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f X x2x,0x1,fY ye y5 ,y5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 E XY .0,其它;0,其它.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 方法一：先求X 与 Y 的均值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E X 12x 2 xd x,03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EY y e y令 z y 55 yd5zez dzz ezd516.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_500由 X 与 Y 的独立性,得

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E XY E X E Y 264.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立,故联合密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, yfX xfY y2 xe y 5 ,0x1, y5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,其他 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是E XY 1xy 2 xe y5 dxdy12 x2dxye y 5 dy264.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5005310.设随机变量X, Y 的概率密

12、度分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f X x =2e 2 x ,0,x 0,2x0;fY y =4e 4 y , 0,y 0,y0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求（ 1）E XY ;（ 2）E2 X3Y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】E X xf X xdxx 2e02 x dxxe 2xe-2 xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0e 2 xdx1 .02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E Y

13、yY f y d yy 44 ye1.dy04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E Y 2 y 2f ydyy24ey 4dy21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Y0428可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 1E XYEX113E Y.244可编辑资料 -

14、 - - 欢迎下载精品_精品资料_22115可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 E 2 X3Y2 E X 3E Y23288可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11.设随机变量X 的概率密度为f（ x） =cxe 0,k 2 x 2,x0,x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求（ 1） 系数 c ; （ 2） E X ;（ 3）2 2D X .c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 1 由f xdxcxe0k x dx2 k 221 得 ck2 x22k 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) E X xf

15、xd xx 2 k xedx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k 2x2 ek 2 x2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.02 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222k 2 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) E Xxf xdxx2k xedx.20k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故D X E X 2 E X 214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k22 k4k 2 .12.袋中有 12 个零件,其中9 个合格品, 3 个废品

16、 .安装机器时,从袋中一个一个的取出（取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出后不放回） ,设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X , 求E X 和D X .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数,就 X 的可能取值为0,1,2,3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P X0 9120. 7 5 0 ,P X1393219121110912110.204,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P X3292 0. 0 4 1 ,1 21 11

17、0P X30.005.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是,得到X 的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可得E X 00.75010.20420.04130.0050.301.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E X 2 02750120.204220.041320.0050.413可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D X E X 2 E X 20.4130.301 20.322.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）听从指数分布,概率密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 e 4 ,f x40,x0,x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备如在一年内损坏可以调换.如售出一台设备,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -工厂获利100

19、元,而调换一台就缺失200 元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】 厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值： 100 元和200 元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Y1 0 0 PX1114x / 4ex d1 / e4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1/ 41/ 4P Y2 0 0 PX111 / 4e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1/ 4故 EY 100e2001e300e20033.64元.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

20、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14.设X1, X 2 , X n 是相互独立的随机变量,且有E Xi ,D X i 2 , i1,2, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n2记XX i ,S1n X iX 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n i 1n1 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 验证E X =,12D X =.nXn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 验证 S22in1i 1nX .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

21、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 验证E S2 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【证】 1E X EX iEXi E X i nuu.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n i 1ni 1n i 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D X DX i2 D X i Xi 之间相互独立2DX i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n i 1ni 1ni 1可编辑资料 - - - 欢

22、迎下载精品_精品资料_122n 2 nn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 由于nn XX 2 X 22X2 X X n2X 2nXn2 XX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iiiiii 1i 1i 1i 1n22n22X inX2 XnXX inXi 1i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 S212nXin1i 12nX .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 由于E X u, D X 2 ,故 E X 2 D X EX22u2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iiiii可编辑资料 - - - 欢

23、迎下载精品_精品资料_同理由于E X u, D X 22,故 E Xn2u 2 .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而niES2 E1X 2ninX 2 1 E X 2 2nE X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1i 11n

24、2n1i 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1iE X i 1nE X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122n u n1222nu. n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15.对随机变量X 和 Y ,已知D X 2 ,D Y 3 , Cov X ,Y1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算：Cov3 X2Y1, X4Y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 Cov3X2

25、Y1,X4Y33D X 10Cov X , Y8DY 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_321018328可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因常数与任一随机变量独立,故16.设二维随机变量 X ,Y 的概率密度为Cov X ,3CovY ,30 ,其余类似 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ,x2f x, y0,y21,其它.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22试验证 X 和 Y 是不相关的,但X 和 Y 不是相互独立的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 设 D

26、 x, y | xy1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E X xf x, ydxdy122xy1xdxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 1=rcosrdr d0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 00同理 EY=0. （留意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0）而Cov X ,Y xE x yEY f x, ydxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1xydxdy12 12rsincosr drd0 ,可编辑资

27、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2 1 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此得XY0 ,故 X 与 Y 不相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面争论独立性,当x1时, f1 x1222xdy1x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X1 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

28、 - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当y1 时,fY y1 y21 y 21 dx21y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显f X xfY yf x, y,故 X 和 Y 不是相互独立的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17.设随机变量 X , Y 的分布律为XY1/81/81/801/801/81验证 X 和 Y 是不相关的,但1/8X 和1/8Y 不是相互独立的.1/8【解】 联合分布表中含

29、有零元素,X 与 Y 明显不独立,由联合分布律易求得X,Y 及 XY 的分布律,其分布律如下表：X-101323P888Y-101323P888XY-101242P888可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由期望定义易得E X = E Y = E XY =0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 E XY = E X E Y ,再由相关系数性质知xy =0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_331888.即 X 与 Y 的相关系数为0,从而 X 和 Y 是不相关的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

30、精品资料_又 P X1 PY1P X1,Y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 X 与 Y 不是相互独立的18.设二维随机变量（X, Y）在以（ 0, 0）,（ 0,1）,（ 1, 0）为顶点的三角形区域上听从均可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_匀分布,求Cov X ,Y ,xy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 如图, SD= 12,故（ X, Y）的概率密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -