2022年高等数学知识点归纳.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一. 数列函数 :1. 类型 :第一讲 :极限与连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 数列 :* anf n ;*an 1f an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 初等函数 :3 分段函数 :*f1 xF x,f2 xxx0xx0f x;* F x,axx0;*xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

2、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 复合 含 f 函数 :yf u , ux可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 隐式 方程 :F x, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 参式 数一 ,二:x xty yt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 变限积分函数 :F xxf x, tdta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8

3、 级数和函数 数一 ,三:S xan x , xnn 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 特点 几何 :1 单调性与有界性判别 ; f x 单调x0 , xx0 f xf x0 定号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112 奇偶性与周期性应用 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 反函数与直接函数:yf xx f yy fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二. 极限性质 :1. 类型 :* limnan ;* limxf x含 x

4、;*limxx0f x 含xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 无穷小与无穷大注: 无穷量 :000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 未定型 :, 1 , 0, 0 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 性质 :* 有界性 ,*保号性 ,* 归并性三. 常用结论 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n n1 ,1a n a01 ,an1bncnnm a x ab,c,aa00nn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1xnln n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x0 ,lim xx1

5、 ,l i m0,lim0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xl i mxlnnx, 0x0xexxx0xex,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点四. 必备公式 :1. 等价无穷小 : 当 u x0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

6、s i nuxux;tan u xu x ;1cosu x1 u 2 x ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_eu x 1u x ;ln1u xu x ;1u x1u x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a r c s iun x ux; arctan u xu x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 泰勒公式 :x122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) e1xxo x ;2.可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) ln1xxxo x ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_134(3) sin xxxo x ;3.12145可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) cos x1xxo x ;2.4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 1x1xxo x .2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五. 常规方法 :前提 : 1 精确判定1. 抓大弃小 ,0 ,1 ,0M 其它如 :, 0, 00

8、,0 ;2 变量代换 如: 1t x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 无穷小与有界量乘积M 注:1sin1, xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 1处理 其它如 : 00,0 4. 左右极限 包括 x:11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) x x0 ;2 ex x ;ex x0 ;3 分段函数 :x , x ,maxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 无穷小等价替换因式中的无穷小注 : 非零因子 6. 洛必达法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

9、01 先”处理 ”,后法就 最终方法 ; 留意对比 :limx lnx 与 limx ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x1 1xx0 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v xe11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 幂指型处理 :3 含变限积分 ;4 不能用与不便用u xv x ln u x 如:ex 1exex ex 1 x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 泰勒公式 皮亚诺余项 :处理和式中的无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 极限函数 :f xlimnF x, n 分段函数 可

10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点六. 特别手段1. 收敛准就 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) anf nlimxf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 双边夹 :* bnancn .

11、,*bn , cna.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 单边挤 :an 1f an * a2fa1 .* anM .* f x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 导数定义 洛必达 .:l i mfx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x112n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 积分和 :l i mf ff fxd, x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 中值定理 :lim f xa f x

12、a limf 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 级数和 数一三 :2 n n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) an收敛lim an0 , 如 limn2 lim a1a2an an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1nnnnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 an 与nan1an 1 同敛散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七. 常见应用 :1. 无穷小比较 等价 ,阶:*f xkxn , x

13、0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 f 0f 0f n1 00, f n0af xa xn xn n .a xnn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxn2f t dtkt dt002. 渐近线 含斜 :f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) alim, blimf xaxf xaxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) f xaxb,0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

14、下载精品_精品资料_3. 连续性 :1 间断点判别 个数 ;2分段函数连续性 附:极限函数 ,f x连续性 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八. a, b 上连续函数性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 连通性 :f a, b m, M 注:01, “平均 ”值 :f a1f bf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 介值定理 : 附: 达布定理 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 零点存在定理 :f a f(b) 0f x0 0 根的个数 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

15、下载精品_精品资料_2 f x0xf xdx0.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一. 基本概念 :其次讲 :导数及应用 一元 含中值定理 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

16、精品资料_1. 差商与导数 :f xlimf xxf x;f x0 limf xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx0f 0xf xxx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) f 0lim注: limA f连续 f 00,f 0A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 左右导 :x0x0f x ,f0 x ;x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 可导与连续 ;在 x0 处,x 连续不行导 ;x x 可导 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 微分与导数 :ff xxf xf xxoxdff

17、xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 可微可导 ;2比较f , df 与 0 的大小比较 图示 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二. 求导预备 :1. 基本初等函数求导公式;注:f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx12. 法就 :1四就运算 ;2 复合法就 ;3反函数dyy 三. 各类求导 方法步骤 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定义导 :1f a 与f x;2 分段函数左右导;3 limf xhf xh 可编辑

18、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F xx axx0h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注:f x,ax x0, 求: fx0 ,f x 及f x的连续性 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 初等导 公式加法就 :1 uf g x , 求: u x0 图形题 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) F xf t dt , 求: F x注:f x,t dt , f x,t dt,f t dt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

19、品资料_af1 xx x0aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) y,f2 x, 求 fxx0 x0 , f x0 及f x0 待定系数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyd 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 隐式 f x,y0 导 :,2dxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 存在定理 ;2 微分法 一阶微分的形式不变性.3 对数求导法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxt dyd 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 参式导 数一 ,二:y yt , 求:,2dx

20、dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 高阶导f n x 公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_eax naneax ;1 nabxbn n.n1; abx可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin axn an sin axn ;2cos ax na n cosaxn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uv nun vC1u n 1v C 2u n2 v 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注:fn (0) 与泰勒展式 :f xa0a1xa2 x2nan xf n 0ann .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

22、精品资料_四. 各类应用 :1. 斜率与切线 法线 ;区分 :y f x 上点M 0 和过点M 0 的切线 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 物理 : 相对 变化率速度 ;f3. 曲率 数一二 : x 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f2 x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 边际与弹性 数三 :附: 需求 , 收益 , 成本 , 利润 五. 单调性与极值必求导 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 判别 驻点f x0 0 :可编辑资料

23、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) f x0f x;f x0f x;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 分段函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 fx0零点唯独 ;f x0驻点唯独 必为极值 ,最值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 极值点 :f xf xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 表格 f x 变号 ; 由 lim0, lim0, lim20x0 的特点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

24、品资料_xx0xxx0xxx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 二阶导 f x0 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注1 f 与f , f 的匹配 f 图形中包含的信息;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2实例 : 由f xxf xg x确定点 “xx0 ”的特点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3闭域上最值 应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品_精品资料_3. 不等式证明 f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 区分 :* 单变量与双变量.* x a, b 与 x a,x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 类型 :*f 0,f a0 ;*f 0,f b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

26、- 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_* f 0,f a,f b 0 ;*f x0, f x0 0, fx0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 留意 : 单调性端点值极值凹凸性 .如:f xMfmax xM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点 必求导 .:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.y表格 ; f x0 0 可编辑

27、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 应用 : 1 泰勒估量 ;2f 单调 ;3 凹凸 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七. 罗尔定理与帮助函数:注 : 最值点必为驻点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 结论 :F bF a F f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 帮助函数构造实例:x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 f F xf tdta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) f g f g 0

28、F xf x g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) f g f g 0F xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) f f0F x x dxe f(x) ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.f n 0f x 有 n1 个零点f n1 x有 2 个零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 特例 : 证明f n a 的常规方

29、法 :令 F xf xPn x 有 n1 个零点 Pn x 待定 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 注: 含1 ,2 时,分家 .柯西定理 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 附达布定理 :f x 在 a,b 可导 ,c f a, fb, a,b ,使:f c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八. 拉格朗日中值定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 结论 :f bf af ba;a b,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 估量 :f f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -