2022年初三数学三角形知识点总结归纳 .docx

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1、精品_精品资料_三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种.它的定义是： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三条线段不在同一条直线上的条件,假如三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在.另外三条线段必需首尾顺次相接,这说明三角形这个图形肯定是封闭的.三角形中有三条边,三个角,三个顶点.三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线.这三条线段必需在懂得和把握它的定义的基础上,通过作图加以娴熟把握. 并且对这三条线段必需明确三点：1三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线.2三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、

2、中线,都在三角形内部.而三 角形的高线在当 ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边.3在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发觉它们都交于一点.在以后我们可以给出详细证明. 今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心.三角形的按边分类三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等.所以三角形按的相等关系分类如下：等边三角形是等腰三角形的一种特例.判定三条边能否构成三角形的依据 ABC 的三边

3、长分别是 a、b、c,依据公理 “连接两点的全部线中,线段最短”.可知： a+b c, a+c b, b+c a 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 由、得 ba c,且 bac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 故|a b|c,同理可得 |b c|a, |a c|b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而得到推论：三角形任意两边的差小于第三边.上述定理和推论实际上是一个问题的两种表达方法,定理包含了推论, 推论也可以代替定理.另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据.如：三条线段的长分别是5、4、3 便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就

4、不能构成三角形.判定三条边能否构成三角形对于某一条边来说,如一边a,只要满意 |b-c| a b+c ,就可构成三角形.这是由于|b-c| a, 即 b-c a,且 b-c-a.也就是 a+c b 且 a+b c,再加上 b+c a,便满意任意两边之和大于第三边的条件.反过来,只要a、b、c 三条线段满意能构成三角形的条件,就肯定有|b-c| ab+c .在特殊情形下,假如已知线段a 最大,只要满意 b+ca 就可判定 a、b、c 三条线段能够构成三角形.同时假如已知线段a 最小,只要满意 |b-c| a,就能判定三条线段a、b、c 构成三角形.证明三角形的内角和定理除了课本上给出的证明方法外

5、仍有多种证法,这里再介绍两种证法的思路： 方法 1如图,过顶点A 作 DEBC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运用平行线的性质,可得B 2,C 1,从而证得三角形的内角和等于平角 DAE .方法 2如图,在 ABC 的边 BC 上任取一点 D ,过 D 作 DEAB, DF AC,分别交 AC 、AB 于 E、F,再运用平行线的性质可证得 ABC 的内角和等于平角 BDC .三角形按角分类依据三角形的内角和定理可知,三角形的任一个内角都小于180,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角.三角形按角可分类如下：依据三角形的内角和定理可有如下推论： 推论 1 直角三角形的

6、两个锐角互余.推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.同时我们仍很简洁得到如下几条结论：1一个三角形最多有一个直角或钝角.2一个三角形至少有两个内角是锐角.3一个三角形至少有一个角等于或小于60否就,假设三个内角都大于60.就这个三角形的内角和大于180,这与定理冲突 .4 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于360 .全等三角形的性质全等三角形的两个基本性质1全等三角形的对应边相等.2全等三角形的对应角相等.确定两个全等三角形的对应边和对应角怎样依据已知条件精确快速的找出两个全等三角形的对应

7、边和对应角？其方法主要可归结为：1假设两个角相等,这两个角就是对应角,对应角的对边是对应边.2假设两条边相等,这两条边就是对应边,对应边的对角是对应角.3两个对应角所夹的边是对应边.4两个对应边所夹的角是对应角.由全等三角形的定义判定三角形全等由全等三角形的定义知,要判定两个三角形全等,需要知道三条边,三个角对应相等,但在应用中, 利用定义判定两个三角形全等却是非常麻烦的,因而需要找到能完全确定一个三角形的条件,以便用较少的条件,简便的方法来判定两个三角形的全等.判定两个三角形全等的边、角、边公理内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即SAS .这个判定方法是以公理形式给出的,我们可

8、以通过实践操作去验证它,但验证不等于证明, 这点要区分开来.公理中的题设条件是三个元素：边、角、边,意指两条边和这两条边所夹的角对应相等.不能懂得成两边和其中一个角相等.否就,这两个三角形就不肯定全等.例如 在 ABC 和 AB中C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如右图, AB=AB, A= A, BC=A C,但是 ABC 不全等于AB.C又如,右图,在 ABC 和 AB中C,AB AB, B= B,AC AC,但 ABC 和 ABC不全等.缘由就在于两边和一角对应相等不是公理中所要求的两边和这两条边的夹角对应相等的条件.说明：从以上两例可以看出,SASSSA.判定两个三角

9、形全等的其次个公理内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等即ASA .这个公理也应当通过画图和试验去进一步懂得它.公理强调了两角和这两角的夹边对应相等,这里实质上包含了一个次序关系.千万不能懂得成为在其中一个三角形中是两角和其夹边,而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边.如右图,在 ABC 和 AB中C,A= A, B= B,AB AC,但这两个三角形明显不全等.缘由就是没有留意公理中 “对应 ”二字.公理一中的边、角、边,其次序是不能转变的,即SAS 不能改为 SSA 或 ASS.而 ASA公理却能转变其次序,可转变为AAS 或 SAA ,但两个三角形之间的 “对应 ”二字不能变

10、.同时这个公理反映出有两个角对应相等,实质上是在两个三角形中有三个角对应相等,故在应用过程中只须留意有一条对应边相等就行了.由公理二可知,有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等判定两个三角形全等的边、边、边公理公理：三条边对应相等的两个三角形全等即边、边、边公理.边、边、边公理在判定两个三角形全等时,其对应边就是相等的两条边.这个公理告知我们, 只要一个三角形的三边长度确定了,就这个三角形的外形就完全确定了.这就是三角形的稳固性.判定两个三角形全等通过以上三个公理的学习,可以知道, 在判定两个三角形全等时,无需依据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等,而只需要其中三对条件.三个角和

11、三条边这六个条件中任取三个条件进行组合.无非有如下情形：1三边对应相等.2两边和一角对应相等.3一边和两角对应相等.4三角对应相等.HL 公理我们知道,满意边、边、角对应相等的两个三角形不肯定全等.但是,对于两个直角三角形来说,这个结论却肯定成立.斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等简写为HL .这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等,其本身包含了一个直角相等.这种边、 边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件.由于直角三角形是一种 特殊的三角形,所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

12、_角平分线的性质定理和逆定理性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.逆定理：到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.点在角平分线上点到这个角的两边距离相等.用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理性质定理：P 在 AOB 的平分线上PD OA , PE OBPD PE 逆定理：PD PE, PDOA , PE OB点 P 在 AOB 的平分线上.角平分线定义假如一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线.角的平分线是到角两边距离相等的全部点的集合.三角形角平分线性质三角形三条平分线交于一点,并且交点到三边距离相等.互逆命题在两个命题中, 假如第一个命题

13、的题设是其次个命题的结论,而第一个命题的结论是其次个命题的题设, 那么这两个命题叫做互逆命题,假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.原命题和逆命题的真假性每个命题都有逆命题, 但原命题是真命题, 而它的逆命题不肯定是真命题,原命题和逆命题的真假性一般有四种情形：真、假.真、真.假、假.假、真.互逆定理假如一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.每个命题都有逆命题,但不是全部的定理都有逆定理尺规作图限定用直尺没有刻度和圆规的作图方法叫尺规作图.基本作图最基本最常见的尺规作图称之为基本作图,主要有以下几种：1作一个

14、角等于已知角.2平分已知角.3过一点作已知直线的垂线.4作已知线段的垂直平分线.5过直线外一点作已知直线的平行线.有关概念有两边相等的三角形称为等腰三角形.三边都相等的三角形称为等边三角形,又称为正三角形.有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形.等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例.等腰三角形的有关概念等腰三角形中, 相等的两边称为腰,另一边称为底边,两腰的夹角称为顶角,底边上的两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角称为底角.等腰三角形的主要性质两底角相等.如图, ABC 中 AB AC ,取 BC 中点 D ,连结 AD , 简洁证明： ABDACD, B C.如

15、图, ABC 中为等边三角形,那么,由 AB AC ,得 B C, 由 CA CB ,得 A B,于是 A B C,但 A B C 180, A B C 60如图, ABC 中 AB AC ,且 AD 平分 BAC , 那么由 ABD ACD,可得 BD CD , ADB ADC , 但 ADB ADC 180, ADB 90,从而 AD BC ,由此又可得到另外两个重要推论.两个重要推论等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边.等边三角形各内角相等,且都等于60.等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法三角形中,相等的边所对的角相等.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一.等腰三角形

16、的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边.它们都是证明两条线段相等的重要方法.推论 3在直角三角形中,假如一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.简洁证明： 这个推论的逆命题也是正确的.即：在直角三角形中,假如一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30.运用利用等腰三角形的判定定理和性质定理简洁证明结论：“在一个三角形内, 假如两条边不等, 那么它们所对的角也不等,大边所对的角也较大.反过来,在一个三角形中,假如两个角不 等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大.”对称轴及中心线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分.线段的中点就是它的中心,今后要学习“线段

17、是关于中点对称的中心图形”.线段是以它的中垂线为对称轴的图形.三线合一的定理的逆定理如下图,线段中垂线的性质定理的几何语言为：,于是可以用来判定等腰三角形,其定理实质上是三线合肯定理的逆定理.“距离 ”不同, “心”也不同“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离 ”是指 “两点间的距离 ”,而角平分线的性质定理与逆定理中的 “距离 ”是指 “点到直线的距离 ”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形三条角平分线相交于一点,这点到三边的距离相等这点称为三角形的内心.三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等这点称为三角形的外心 .重要的轨迹图A 所示.到角的两

18、边OA 、OB 的距离相等的点 P1、P2, P3 组成一条射线 OP,即点的集合.如图 B 所示,到线段 AB 的两端点的距离相等的全部点P1、P2、P3 组成一条直线 P1P2,因此这条直线可以看成动点形成的 “轨迹 ”.第十三节轴线称和轴对称图形轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠,假如它能够与另一个图形重合,那么这两个图形叫做关于这条直线对称,也称轴对称.依据定义,两个图形和假如关于直线l 轴对称,就：1和这两个图形的大小及外形完全相同.2把其中一个图形沿l 翻折后,和应完全重合,自然两个图形中的有关对应点也应重合.事实上,直线l 是两个轴对称图形中对应点连线的垂直平分线.所以简洁得到如

19、下性质：性质 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形.性质 2 假如两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.性质 3 两个图形关于某直线对称,假如它们的对应线段或延长线相交,那么交点必在对称轴上.不难看出, 假如两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.轴对称图形假如一个图形沿着一条直线翻折,直线两旁的部分能够相互重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.轴对称和轴对称图形的区分和联系区分轴对称是指两个图形关于某条直线对称,而轴对称图形是一个图形关于某条直线对称.轴对称的对应点分别在两个图形上,而轴对称图形中的对应点都在这一个图形上.轴对称中的

20、对称轴可能在两个图形的外边,而轴对称图形中的对称轴肯定过这个图形.联系都是沿着某一条直线翻折后两边能够完全重合.假如把轴对称的两个图形看成是一个整体,那么这个整体反映出的图形便是一个轴对称图形.反过来,假如把一个轴对称图形中关于对称轴的两边部分看成是两个图形,那么这两部分对应的两个图形就关于这条对称轴而成轴对称.第十四节勾股定理直角三角形直角三角形中,两锐角互余,夹直角的两边叫直角边,直角的对边叫斜边,斜边最长.等腰直角三角形等腰直角三角形是直角三角形中的特例.也是等腰三角形中的特例. 等腰直角三角形的两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_底角都等于 45,顶角等于 90,相等的

21、两条直角边是腰.勾股定理直角三角形中,两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方,即,这就是勾股定理.判定直角三角形假如 ABC 的三边长为 a、b、c,且满意,那么 ABC 是直角三角形,其中C 90.第十五节勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.即： 在ABC 中,假设 a2 b2 c2,就 ABC 为 Rt.如何判定一个三角形是否是直角三角形第一求出最大边如c.验证 c2 与 a2 b2 是否具有相等关系.假设 c2 a2 b2,就 ABC 是以 C 90的直角三角形.假设c2a2 b2,就 ABC 不是直角三角形.*攻

22、关秘技 *方法 1： 证明 “文字表达的几何命题 ”的方法这类题目证明起来较一般几何题要难,但仍是有肯定的思路和方法,一般先对题目进行总体分析,分析内容大致分为以下四点,然后逐步解决. 1分析命题的题设和结论. 2结合题设和结论画出图形. 3综合题设结论和图形写出已知、求证. 4进行证题分析.方法 2： 等腰三角形的边角求值法在解等腰三角形的边角求值题时,应考虑到各种可能的情形,仍要排除不能构成三角形的情形. 特殊在解决线段或角的和差倍半关系时,常利用合成法或分解法,借助添加帮助线来完成.方法 3： 判定一个三角形是直角三角形的方法判定一个直角三角形可利用勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线性质

23、或直角三角形的定义等,这些方法都要求把握并能敏捷运用.方法 4： 作图题几何作图题的每一步都必需有根有据,所以就要求我们把握好已学过的公理、定理等. 要把握好尺规作图,仍要多画多练.学问点： 全等三角形的判定与性质方法：分析法能力：分析与解决问题的才能难度：中等学问点： 全等三角形.角平分线方法： 合成法.分解法能力： 分析与解决问题的才能.规律推理才能难度： 中等偏难可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点：等腰直角三角形的性质. 线段的垂直平分线性质.勾股定理方法： 综合法能力： 分析与解决问题的才能难度： 中等偏难学问点： 线段的性质方法： 数形结合法能力： 空间想象才能.

24、分析与解决问题的才能 难度： 中等偏难专题 1： 一题多问、一题多图和多题一解提高分析问题和解决问题才能的方法是多种多样的,而仔细的设计课本中例题、习题的变式,挖掘其潜能也是方法之一.课本中的例题、习题为中考命题供应了丰富的源泉,它们具有丰富的内涵, 在由学问转化为才能上具有示范性和启示性,在解题思路和方法上具有典型性和代表性. 假如我们不以得到解答为满意,而是在解完之后, 深化其中作进一步的挖掘和多方位探究, 不仅可得到一系列的新命题,也可从 “题海 ”中解脱出来, 到达事半功倍的成效.而且通过不同角度、 不同方位去摸索问题,探究不同的解答方案,从而拓宽了思路,培育了思维的敏捷性和应变才能.

25、专题 2： 利用扩、剖、串、改提高解题才能学习几何时, 感到例题好学易懂, 但对稍加变化拓宽引申的问题束手无策, 缘由是把例题的学习看成是孤立的学一道题, 学完就了事, 致使解题时缺乏应变才能, 但假如平常能重视对题目的扩充、剖解、串联和改编,就能较好的解决这一问题.1. 扩充：将原题条件拓展,使结论更加丰富充分.2. 剖解：分析原题,将较复杂的图形肢解为假设干个基本图形,使问题化隐为显.3. 串联：由例题的形式条件、结论等,联想与它相像、相近、相反的问题.4. 改编：转变原题的条件形式,探究结论是否成立？ 专题 3： 分析、综合、帮助线我们讨论不等式的有关问题时,会发觉许多奇妙的方法, 仍会

26、不断学习把握类比的数学思想,形数结合的思想,从未知向已知转化的化归思想,通过讨论这些不断变化的问题,全面把握不等式及不等式组的解法,从而提高我们分析问题、解决问题的才能.专题 4： 不等式的假设干应用在平面几何里,证题思路主要有： 1分析法,即从结论入手,逐步逆推,直至到达已知事实后为止. 2综合法,先从已知条件入手,运用已学过的公式、定理、性质等推出证明的结论.3两头凑,就是将综合法和分析法有机的结合起来摸索：一方面“从已知推可知 ”,从已知看可以推出哪些结论.另一方面“由未知看需知 ”,从所求结论逆推看需要什么条件, 一旦可知与需知沟通, 证题思路即有了. 添加帮助线是证明几何题的重要手段

27、,也是学习中的难点之一.专题 5： 几何证题的基本方法有两种：一种是从条件动身,通过一系列已确立的命题逐步向前推演,直到到达证题目的,简言之,这是由因导果的方法,我们称之为直接证法或综合法,综合法证题的程序如下：欲证AB , 由于 AC , CD , , x,而 xB ,故 AB.另一种就反过来, 先假定命题的结论成立,考虑到达目的需具备什么条件,通过一系列的逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推直到回朔到已知条件为止.简言之,这是执果索因的方法, 我们称之为分析法, 分析法证题的程序如下：欲证 “AB”,也就是 BA ,假设能分析出 BC,CD , , x,而 xA ,就断言

28、BA ,也就是 AB .在实际操作上, 往往把这两种方法结合起来,先分析探求铺路,再综合解题胜利,简言之就是“倒着推,顺着走 ”.平移、旋转、对称在几何证题中, 常需要将一个图形进行适当的变换,常见的几何变换有全等变换,等积变换和相像变换.本章只讲全等变换,也就是不转变图形的外形和大小,只转变图形位置的变换.常见的全等变换的形式有三：1. 平移：将图形中的某些线段乃至整个图形平行移动到某一适当位置,作出帮助图形,使问题得到解决.平移的基本特点是：任一线段在平移过程中,其长度保持不变.2. 旋转：将平面图形绕平面内肯定点M 旋转一个定角得到与原先外形和大小相同的图形, 这样的变换叫做旋转变换,M

29、 叫旋转中心, 角叫旋转角.旋转变换的主要性质： 1变换后的图形与原图形全等. 2原图中任一线段与旋转后的对应线段所成的角等于旋转角.3. 对称：将一个图形或它的一部分围着一条直线翻转180 ,得一个与原先外形、大小完全相同的图形, 这种变换称为轴对称变换,轴对称变换的主要特点是：对称轴是一切翻转前后对应点连线的垂直平分线.除轴对称外,仍有中心对称,这一点我们将在下一章四边形中讲到.方法总结：复杂的图形都是由较简洁的基本图形组成,故可将复杂的图形分解成几个基本图形这样使问题显而易见.当直接证题有困难时,常通过添加帮助线构造基本图形以到达解题的目的.综合法是从已知条件动身探究解题途径的方法.分析法是从结论动身,用倒推来查找证明思路的方法.两头 “凑”的方法,也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路.又叫分析 综合法.转化思想就是将复杂问题转化、分解为简洁的问题. 或将生疏的问题转化为熟识的问题来处理的一种思想.可编辑资料 - - - 欢迎下载