2022年届高中数学竞赛教案讲义直线与圆的方程.docx

《2022年届高中数学竞赛教案讲义直线与圆的方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年届高中数学竞赛教案讲义直线与圆的方程.docx（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2022 届高中数学竞赛教案讲义10直线与圆的方程第十章直线与圆的方程一、基础学问1解析几何的讨论对象是曲线与方程.解析法的实质是用代数 的方法讨论几何.第一是通过映射建立曲线与方程的关系,即假如一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,就方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.如xy=1 是以原点为圆心的单位圆的方程.2求曲线方程的一般步 骤： 1建立适当的直角坐标系.2写出满意条件的点的集合.3 用坐标表示条件,列出方程.4化简方程并确定未知数的取值范 围.（ 5）证明适合方程

2、的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满意方程（实际应用常省略这一步）.3直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于 180 的正角,叫做它的倾斜角.规定平行于x 轴的直线的倾斜角为 0,倾斜角的正切值（假如存在的话）叫做该直线的斜率.依据直线上一点及斜率可求直线方程.4直线方程的几种形式： （ 1）一般式： Ax By C=0.（ 2）点斜式： y-y0=kx-x0.（ 3）斜截式： y=kx b.（ 4）截距式： 0022x.x1y.y1xy.1.（ 5）两点式：.（ 6）法线式方程：xcos.abx2.x1y2.y1.x.x0.tcos.ysin =p（其中 为法线倾斜

3、角, |p|为原点到直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -线的距离）.（ 7）参数式： .y.y0.tsin.（其中 为该直线倾斜角） , t 的几何意义是定点P0（ x0, y0）到动点 P（ x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,如P0P 方向向上就取正,否就取负）.5到角与夹角：如直线l1, l2 的斜率分别为k1, k2

4、,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与l2 重合所转过的最小正角叫l1 到 l2 的角.l1 与 l2 所成的角中不超过90 的正角叫两者的夹角.如记到角为 ,夹角为 ,就 tan =0k.k1k2.k1,tan =2. 1.k1k21.k1k2 6平行与垂直：如直线l1 与 l2 的斜率分别为k1, k2.且两者不重合, 就 l1/l2的充要条件是k1=k2.l1.l2 的充要条件是k1k2=-1. 227 两 点P1x1,y1 与P2x2,y2 间 的 距 离 公 式 ：|P1P2|=x1.x2.y1.y2.8点 Px0, y0到直线 l: Ax By C=0的距离公式： d.|Ax0.B

5、y0.C|A.B22.9直线系的方程：如已知两直线的方程是l1： A1x B1y C1=0 与 l2： A2x B2y C2=0,就过 l1, l2 - 1 -交点的直线方程为 A1x B1y C1 A2x B2y C2=0.由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为（ A1x B1y C1）（ A2x B2y C2） =0.与 l2 平行的直线方程为 A1x B1y C=0C.C1.10二元一次不等式表示的平面区域,如直线 l 方程为 Ax By C=0.如 B0,就 Ax By C0表示的区域为l 上方的部分, Ax By C0 表示的区域为 l 下方的部分.可编辑资料 - - - 欢迎下载

6、精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11解决简洁的线性规划问题的一般步骤：（ 1）确定各变量,并以 x 和 y 表示.（ 2）写出线性约束条件和线性目标函数.（ 3）画出满意约束条件的可行域.（ 4）求出最优解. 12圆的标准方程：圆心是点a, b,半径为 r 的圆的标准方程为x-a y-b=r,其参数方程为 .222.x.a.rco（s. 为参数）. y.b.rsin.2

7、22213 圆 的 一 般 方 程 ： xyDxEyF=0DE-4F0. 其 圆 心为.DE.,.,. 半径为 .22.1D2.E2.4F.如点 Px0, y0为圆上一点, 就过点 P 的切线方程为2.x0.x.y0.y.x0x.y0y.D.E.F.0.22.14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分）,这条直线叫两圆的根轴. 给定如下三个不同的圆： x2 y2 Dix Eiy Fi=0, i=1, 2, 3. 就它们两两的根轴方程分别为 D1-D2x E1-E2y F1-F2=0; D2-D3x E2-E3y F2-F3=0; D3-D1x E3-E1yF3-F1=0.不

8、难证明这三条直线交于一点或者相互平行,这就是闻名的蒙日定理.二、方法与例题1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简洁、对称,以便使方程简洁化简.例 1在 ABC中, AB=AC, A=90,过 A 引中线 BD 的垂线与BC交于点 E,求证： ADB= CDE.- 2 - 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2半径等于某个正三角形高的圆在这个

9、三角形的一条边上滚动.证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为60.2到角公式的使用.例 3设双曲线 xy=1 的两支为C1,C2,正 PQR 三顶点在此双曲线上,求证： P, Q, R 不行能在双曲线的同一支上.3代数形式的几何意义.例 4求函数 fx.4最值问题.例 5已知三条直线l1: mx-y m=0, l2: x my-mm 1=0, l3: m 1x-y m 1=0 围成 ABC,求 m 为何值时, ABC的面积有最大值、 最小值.0x4.3x2.6x.13.x4.x2.1的最大值.- 3 -5线性规划.1.x.y.4例,6设 x, y 满意不等式组 . y.2.|2x.3|

10、.（ 1）求点 x, y所在的平面区域.（ 2）设 a-1,在（ 1）区域里,求函数fx,y=y-ax 的最大值、最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6参数方程的应用.例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x y-1=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到直线 y=2 的距离等于 |PQ| ,求 P 点的轨迹方程.

11、7与圆有关的问题.例 8点 A,B, C 依次在直线l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M是这条垂线上的动点,以A 为圆心, AB 为半径作圆, MT1与MT2 是这个圆的切线,确定 AT1T2垂心的轨迹.- 4 - 22例 9已知圆 x y=1 和直线 y=2x m 相交于 A, B,且 OA, OB 与 x轴正方向所成的角是 和,见图 10-7,求证： sin 是定值.例 10已知 O 是单位圆,正方形ABCD的一边 AB 是 O 的弦,试确定 |OD|的最大值、最小值.例 11当 m 变化且 m 0 时,求证：圆x-2m-1 y-m-1=4m 的圆心在一条定直线上,并求这一

12、系列圆的公切线的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 5 - 22222三、基础训练题1已知两点A-3,4和 B3,2,过点 P2,-1的直线与线段AB 有公共点,就该直线的倾斜角的取值范畴是.2已知 0, ,就 y.3.cos.的取值范畴是. 2.sin.3三条直线2x 3y-6=0, x-y=2, 3x y 2=0围成一个三角形,

13、当点 Px,y在此三角形边上或内部运动时,2x y 的取值范畴是.4如三条直线4x y=4, mx y=0, 2x-3my=4能围成三角形,就m 的范畴是.5如 R.直线 2 x-1 y-232 =0 与点 P-2,2的距离为 d,比较大小： d42.6一圆经过A4,2, B-1,3两点,且在两个坐标轴上的四个截距的和为 14,就此圆的方程为.7自点 A-3,3发出的光线l 射到 x 轴上被 x 轴反射, 其反射光线所在的直线与圆C： xy-4x-4y7=0 相切,就光线l 所在的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.8D=4F 且 E 0 是圆 x y Dx Ey F=0与

14、 x 轴相切的29方程 |x|-1=.y.1 表示的曲线是. 22222条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10已知点 M 到点 A（ 1,0）, B（ a,2）及到 y 轴的距离都相等,如这样的点M 恰好有一个,就a 可能值的个数为.11已知函数S=x y,变量 x, y 满意条件y-2x 0 和 2x y 2,试可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - -

15、- - - - - - - -求 S 的最大值和最小值.12 A, B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a, OB=bab, M 是 y 轴正半轴上的动点.（ 1）求 AMB 的最大值.（ 2）当 AMB 取最大值时,求OM 长.（ 3）当 AMB 取最大值时,求过A, B, M 三点的圆的半径.四、高考水平训练题- 6 - 21已知 ABC的顶点 A3,4,重心 G1,1,顶点 B 在其次象限,垂心在原点O,就点 B 的坐标为.2把直线3x.y.2.0绕点（ -1, 2）旋转30得到的直线方程为.3 M是直线 l:0xy.1上一动点,过M 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为A, B,就在线

16、段43AB 上满意 .2 的点 P 的轨迹方程为.4以相交两圆C1：x y 4xy 1=0 及 C2： x y2x 2y1=0 的公共弦为直径的圆的方程为.5已知 M=x,y|y=2a2.x2,a0,N=x,y|x-1 y-=a,a0.M.N. ,a 的 2222222最大值与最小值的和是.6圆 x y x-6y m=0与直线 x 2y-3=0 交于 P, Q 两点, O 为原点,OP.OQ,就 m=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -

17、欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -7已知对于圆x y-1=1 上任意一点Px,y,使 x y m 0 恒成立,m 范畴是.8当 a 为不等于1 的任何实数时,圆x-2ax y 2a-2y 2=0均与直线 l 相切,就直线l 的方程为.9在 ABC中,三个内角A, B, C 所对应的边分别为a,b,c,如lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,那么直线xsinA ysinA=a 与直线xsinB ysinC=c的位置关系是.10设A=x,y|0 x 2,0 y 2,B=x,y|x 10,y 2,y x-4是坐标平面xOy

18、上的点集,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C=.22222222.x1.x2y1.y2.,x,y.A,x,y.所B围.成图形的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积是. 1122.2.2.222211求圆 C1： x y 2x 6y 9=0与圆 C2： x y-6x 2y 1=0 的公切线方程.12设集合L=直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率.（ 1）点 -2,2 到 L 中的哪条直线的距离最小？（ 2）设 a R,点 P-2, a到 L 中的直线的距离的最小值设为dmin,求 dmin 的表达式.13已知圆 C： x y-6x-8y=0 和

19、 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动点,且 OBA=90, OB 交 C 于 M , AB 交 C 于 N.求 MN 的中点 P 的轨迹.五、联赛一试水平训练题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点.如a为无理数,过点a,0的全部直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有条.2等腰 A

20、BC的底边 BC在直线 xy=0 上,顶点A2,3,假如它的一腰平行于直线x-4y 2=0, 220 - 7 -就另一腰AC所在的直线方程为.3如方程 2mx2 8 m2xy 4my2 6-mx 3m-4y-3=0 表示表示条互相垂直的直线,就m=.4直线 x7y-5=0 分圆 xy=1 所成的两部分弧长之差的肯定值是.25直线y=kx-1与曲线y=.x.2有交点,就k的取值范畴是. 226经过点A0,5且与直线x-2y=0,2xy=0都相切的圆方程为.7在直角坐标平面上,同时满意条件：y 3x, y8平面上的整点到直线y.21x, x y 100 的整点个数是. 354x.的距离中的最小值是

21、. 359y=lg10-mx的定义域为R,直线 y=xsinarctanm10 的倾斜角为.10已知fx=x-6x5,满意 .2.fx.fy.0,的点 x,y构成图形的面积为.fx.fy.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11已知在 ABC边上作匀速运动的点D, E, F,在 t=0 时分别从 A, B,C 动身,各以肯定速度向B,C,A

22、 前进,当时刻t=1 时,分别到达B, C, A.（ 1）证明：运动过程中 DEF的重心不变.（ 2）当 DEF面积取得最小值时,其值是 ABC面积的多少倍？ 12已知矩形ABCD,点 C4,4,点 A 在圆 O： xy=9x0,y0上移 动,且 AB, AD 两边始终分别平行于x 轴、 y 轴.求矩形ABCD面 积的最小值,以及取得最小值时点A 的坐标.13已知直线 l: y=x b 和圆 C：x y 2y=0 相交于不同两点A,B,点P 在直线 l 上,且满意 |PA|.|PB|=2,当 b 变化时,求点P 的轨迹方程.六、联赛二试水平训练题1设点 Px,y为曲线 |5x y| |5x-y

23、|=20上任意一点, 求 x-xy y的最大值、最小值.2给定矩形（长为b,宽为 a）,矩形（长为c、宽为 d）,其中 adcb,求证：矩形能够放入矩形的充要条件是：ac-bdad-bc a-b.3在直角坐标平面内给定凸五边形ABCDE,它的顶点都是整点,求证：见图10-8, A1,B1,C1,D1,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点.4在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证：存在一个同心圆的集合,使得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - -

24、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）每个整点都在此集合的某一圆周上.（ 2）此集合的每个圆周上,有且只有一个整点.5在坐标平面上, 是否存在一个含有无穷多条直线l1,l2,ln, 的直线族,它满意条件：（ 1）点（ 1,1） ln,n=1,2,3,.（ 2） kn 1 an-bn,其中 kn 1 是ln 1 的斜率, an 和 bn 分别是 ln - 8 - 22222222222在 x 轴和 y 轴上的截距, n=1,2,3,.（ 3） knkn 1 0, n=1,2,3,.并证明你的结论.6在坐标平面内, 一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都与此圆相交, l1 交圆于 A,B,l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P, Q,求证： 1111. |OR|OS|OP|OQ|- 9 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载